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1、10.10 抽樣方法 總體分布的估計(jì)一、明確復(fù)習(xí)目標(biāo) 1.會(huì)用隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣等常用的抽樣方法從總體中抽取樣本2.會(huì)用樣本頻率分布去估計(jì)總體分布 3.了解正態(tài)分布的意義及主要性質(zhì) 4.了解線性回歸的方法和簡(jiǎn)單應(yīng)用二建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)1.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣：設(shè)一個(gè)總體的個(gè)體數(shù)為N如果通過(guò)逐個(gè)抽取的方法從中抽取一個(gè)樣本，且每次抽取時(shí)各個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等，就稱這樣的抽樣為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣. 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的特點(diǎn):逐個(gè)抽取，不放回抽樣,各個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法是其他更復(fù)雜抽樣方法的基礎(chǔ)(2)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的兩種方法:抽簽法：編號(hào)寫(xiě)簽,攪拌均勻，逐個(gè)抽取.先后抽取概率均等.抽簽法簡(jiǎn)便易行，

2、適用于個(gè)體數(shù)不太多總體 隨機(jī)數(shù)表法：“三步曲”：第一步，將總體中的個(gè)體編號(hào)；第二步，選定開(kāi)始的數(shù)字；第三步，獲取樣本號(hào)碼 2.系統(tǒng)抽樣:當(dāng)總體中的個(gè)體數(shù)較多時(shí)，可將總體分成均衡的幾個(gè)部分，然后按預(yù)先定出的規(guī)則，從每一部分抽取一個(gè)個(gè)體，得到需要的樣本，這種抽樣叫做系統(tǒng)抽樣系統(tǒng)抽樣的步驟：（總體中的個(gè)體的個(gè)數(shù)為N，樣本容量為n）采用隨機(jī)的方式將總體中的個(gè)體編號(hào).為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，有時(shí)可直接采用個(gè)體所帶有的號(hào)碼，如考生的準(zhǔn)考證號(hào)、街道上各戶的門(mén)牌號(hào)，等等 確定分段(部分)的間隔k當(dāng)是整數(shù)時(shí)，k=;當(dāng)不是整數(shù)時(shí)，先從總體中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣剔除一些個(gè)體,使剩下的總體中個(gè)體數(shù)能被n整除，取k=.在第一段用簡(jiǎn)單隨機(jī)

3、抽樣確定起始的個(gè)體編號(hào). 按照事先確定的規(guī)則抽取樣本（通常是將加上間隔k，得到第2個(gè)編號(hào)+k,第3個(gè)編號(hào)+2k，）與簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣一樣，系統(tǒng)抽樣是等概率抽樣，它是客觀的、公平的.可以證明:當(dāng)n不能整除N時(shí),先刎除的個(gè)體與其它個(gè)體一樣,被抽的概率也是1/N.3.分層抽樣: 當(dāng)已知總體由差異明顯的幾部分組成時(shí)，為了使樣本更充分地反映總體的情況，常將總體分成幾部分，然后按照各部分所占的比例進(jìn)行抽樣，這種抽樣叫做分層抽樣，所分成的部分叫做層.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣,系統(tǒng)抽樣,分層抽樣都是等概率抽樣,簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是基礎(chǔ),系統(tǒng)抽樣的第一部分和分層抽樣的每一層都采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣. 隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣都是不放回

4、抽樣4.頻率分布：用樣本估計(jì)總體，是研究統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的基本思想方法，樣本中所有數(shù)據(jù)（或數(shù)據(jù)組）的頻數(shù)和樣本容量的比，就是該數(shù)據(jù)的頻率.所有數(shù)據(jù)（或數(shù)據(jù)組）的頻率的分布變化規(guī)律叫做樣本的頻率分布.可以用樣本頻率表、樣本頻率分布條形圖或頻率分布直方圖來(lái)表示.5.總體分布：從總體中抽取一個(gè)個(gè)體，就是一次隨機(jī)試驗(yàn)，從總體中抽取一個(gè)容量為n的樣本，就是進(jìn)行了n次試驗(yàn)，試驗(yàn)連同所出現(xiàn)的結(jié)果叫隨機(jī)事件，所有這些事件的概率分布規(guī)律稱為總體分布.總體分布是不易知道的,通常用“樣本頻率分布估計(jì)總體分布”，這是統(tǒng)計(jì)的基本思想方法，樣本容量越大,估計(jì)越精確.總體密度曲線baxOy6.總體密度曲線:如果是連續(xù)型隨機(jī)變量,就

5、把的取值區(qū)間分組,當(dāng)樣本容量無(wú)限增大，分組的組距無(wú)限縮小，各組的頻率就越接近于總體在相應(yīng)各組取值的概率,那么頻率分布直方圖就會(huì)無(wú)限接近于一條光滑曲線,這條曲線叫做總體密度曲線它反映了總體在各個(gè)范圍內(nèi)取值的概率根據(jù)這條曲線，可求出總體在區(qū)間（a，b）內(nèi)取值的概率等于該區(qū)間上總體密度曲線與x軸、直線x=a、x=b所圍成曲邊梯形的面積。總體分布密度密度曲線函數(shù)y=f(x)的兩條基本性質(zhì)：f(x) 0(xR)；由曲線y=f(x)與x軸圍成面積為1。7.正態(tài)分布:象測(cè)量的誤差、產(chǎn)品的尺寸等總體分布密度曲線可用，（0，-x）近似表示,這樣的分布中正態(tài)分布, 記為,f(x)叫正態(tài)分布密度函數(shù).其中是圓周率；

6、e是自然對(duì)數(shù)的底；x是隨機(jī)變量的取值；為正態(tài)分布的均值；是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差.(1)正態(tài)分布由參數(shù)、唯一確定，如果隨機(jī)變量N(，2)，根據(jù)定義有：=E，=D。(2)正態(tài)曲線具有以下性質(zhì)：在x軸的上方，與x軸不相交。關(guān)于直線x =對(duì)稱。在x =時(shí)位于最高點(diǎn)。當(dāng)x 時(shí)，曲線下降。并且當(dāng)曲線向左、右兩邊無(wú)限延伸時(shí)，以x軸為漸近線，向它無(wú)限靠近。當(dāng)一定時(shí)，曲線的形狀由確定。越大，曲線越“矮胖”，表示總體越分散；越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中。8.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線:當(dāng)=0、=l時(shí)，叫標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體， 分布密度函數(shù):，（-x+）,相應(yīng)的曲線叫標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體N（0，1）中，總體取值小于的概率

7、，P(x0時(shí),可由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表查得.當(dāng)時(shí)，；（0）=0.5.任何正態(tài)分布的概率問(wèn)題均可通過(guò)轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體.9.假設(shè)檢驗(yàn)的思想:小概率事件不能發(fā)生假設(shè)某種指標(biāo)服從正態(tài)分布N（，2）；（2）確定一次試驗(yàn)中的取值a；（2）作出統(tǒng)計(jì)推斷：若a（3，+3），則接受假設(shè)，若a（3，+3），則拒絕假設(shè).10線性回歸:變量與變量之間的關(guān)系大致可分為為兩類(lèi):確定的函數(shù)關(guān)系,和不確定的相關(guān)關(guān)系,不確定的兩變量之間也有規(guī)律可循,回歸分析就是研究這種相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法.如果n組數(shù)據(jù)(x1,y1), (x2,y2),(xn,yn)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)大致分布在一條直線附近,這條直線就叫回歸直線,方程為，其中a、b是待

8、定系數(shù)，,三、雙基題目練練手1.一個(gè)容量為n的樣本，分成若干組，已知某數(shù)的頻數(shù)和頻率分別為40、0.125，則n的值為 ( )A.640 B.320 C.240 D.1602.(2006江蘇)某人5次上班途中所花的時(shí)間（單位：分鐘）分別為x，y，10，11，9.已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為2，則xy的值為（ ）（A）1（B）2（C）3（D）4 3.（2006重慶）為了了解某地區(qū)高三學(xué)生的身體發(fā)育情況，抽查了該地區(qū)100名年齡為歲18歲的男生體重（），得到頻率分布直方圖如下：根據(jù)上圖可得這100名學(xué)生中體重在的學(xué)生人數(shù)是 ( )（A）20 （B）30 （C）40 （D）504.某廠生產(chǎn)的零

9、件外直徑N（8.0，1.52）（mm），今從該廠上、下午生產(chǎn)的零件中各隨機(jī)取出一個(gè)，測(cè)得其外直徑分別為7.9 mm和7.5 mm，則可認(rèn)為A.上、下午生產(chǎn)情況均為正常B.上、下午生產(chǎn)情況均為異常C.上午生產(chǎn)情況正常，下午生產(chǎn)情況異常D.上午生產(chǎn)情況異常，下午生產(chǎn)情況正常5. 隨機(jī)變量N（0，1），如果P（1）=0.8413，則P（10）=_.6.為考慮廣告費(fèi)用x與銷(xiāo)售額y之間的關(guān)系，抽取了5家餐廳，得到如下數(shù)據(jù)：(表中單位是千元)廣告費(fèi)1.04.06.010.014.0銷(xiāo)售額19.044.040.052.053.0現(xiàn)要使銷(xiāo)售額達(dá)到6萬(wàn)元，則需廣告費(fèi)用為_(kāi).（保留兩位有效數(shù)字）答案:1-4.BD

10、CC; 4.根據(jù)3原則，在8+31.5=8.45,與831.5=7.55,之外時(shí)為異常.答案：C; 5.P（10）=P（01）=（1）（0）=0.84130.5=0.3413.6.先求出回歸方程=bx+a，令=6，得x=1.5萬(wàn)元. 答案：1.5萬(wàn)元四、經(jīng)典例題做一做【例1】某批零件共160個(gè)，其中，一級(jí)品48個(gè)，二級(jí)品64個(gè)，三級(jí)品32個(gè)，等外品16個(gè).從中抽取一個(gè)容量為20的樣本.請(qǐng)說(shuō)明分別用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣法抽取時(shí)總體中的每個(gè)個(gè)體被取到的概率均相同.解：（1）簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法：可采取抽簽法，將160個(gè)零件按1160編號(hào)，相應(yīng)地制作1160號(hào)的160個(gè)簽，從中隨機(jī)抽20個(gè).顯

11、然每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為=.（2）系統(tǒng)抽樣法：將160個(gè)零件從1至160編上號(hào)，按編號(hào)順序分成20組，每組8個(gè).然后在第1組用抽簽法隨機(jī)抽取一個(gè)號(hào)碼，如它是第k號(hào)（1k8），則在其余組中分別抽取第k+8n（n=1，2，3，19）號(hào)，此時(shí)每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為.（3）分層抽樣法：按比例=，分別在一級(jí)品、二級(jí)品、三級(jí)品、等外品中抽取48=6個(gè)，64=8個(gè)，32=4個(gè)，16=2個(gè)，每個(gè)個(gè)體被抽到的概率分別為，即都是.綜上可知，無(wú)論采取哪種抽樣，總體的每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都是.點(diǎn)評(píng)：三種抽樣方法的共同點(diǎn)就是每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相同，這樣樣本的抽取體現(xiàn)了公平性和客觀性.yaox3x21【例2】設(shè)隨機(jī)變量

12、的概率密度函數(shù)為,求(1)常數(shù)a的值; (2)P(2)及F(x)=P(x)解(1)f(1)=a,f(3)=0,如圖,密度曲線與x軸圍成三角形面積.(2)f(2)=, f(2)=.F(x)=P(x)=【例3】將溫度調(diào)節(jié)器放置在貯存著某種液體的容器內(nèi)，調(diào)節(jié)器設(shè)定在d ，液體的溫度（單位：）是一個(gè)隨機(jī)變量，且N（d，0.52）.（1）若d=90，求89的概率；（2）若要保持液體的溫度至少為80 的概率不低于0.99，問(wèn)d至少是多少?（其中若N（0，1），則（2）=P（2）=0.9772，（2.327）=P（2.327）=0.01）.分析：需轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的數(shù)值.解：（1）P（89）=F（89）=

13、（）=（2）=1（2）=10.9772=0.0228.（2）由已知d滿足0.99P（80），即1P（80）10.01，P（80）0.01.（）0.01=（2.327）.2.327. d81.1635.故d至少為81.1635.提煉方法：（1）若N（，），則=N（0，1）.（2）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，x0時(shí)，f（x）為減函數(shù).【例4】 (2006湖北)在某校舉行的數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，全體參賽學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)近似服從正態(tài)分布N（70，100）。已知成績(jī)?cè)?0分以上（含90分）的學(xué)生有12名。（）試問(wèn)此次參賽的學(xué)生總數(shù)約為多少人？（）若該校計(jì)劃獎(jiǎng)勵(lì)競(jìng)賽成績(jī)排在前50名的學(xué)生，試問(wèn)設(shè)獎(jiǎng)的分?jǐn)?shù)約

14、為多少分？可供查閱的（部分）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表x001234567891.20.88490.88690.88880.89070.89250.89440.89620.89800.89970.90151.30.90320.90490.90660.90820.90990.91150.91310.91470.91620.91771.40.91920.92070.92220.92360.92510.92650.92780.92920.93060.93191.90.97130.97190.97260.97320.97380.97440.97500.97560.97620.97672.00.97720.9778

15、0.97830.97880.97930.97980.98030.98080.98120.98172.10.98210.98260.98300.98340.98380.98420.98460.98500.98540.9857解：（1）設(shè)參賽學(xué)生的分布數(shù)為，因?yàn)镹(70,100)，由條件知： 這說(shuō)明成績(jī)?cè)?0分以上（含90分）的學(xué)生人數(shù)約占全體參賽人數(shù)的2.28因此，參賽總?cè)藬?shù)約為（2）假定設(shè)獎(jiǎng)的分?jǐn)?shù)線為分，則即，查表得，解得故設(shè)獎(jiǎng)的分?jǐn)?shù)線約為83分.【研討.欣賞】 設(shè)有一樣本x1，x2，xn，其標(biāo)準(zhǔn)差為sx，另有一樣本y1，y2，yn，其中yi=3xi+2（i=1，2，n），其標(biāo)準(zhǔn)差為sy，求證

16、：sy=3sx.證明：=，=3+2.sy2=（y12+y22+yn2）n 2=（3x1+2）2+（3x2+2）2+（3xn+2）2n（3+2）2=9（x12+x22+xn2）+12（x1+x2+xn）+4nn（92+12+4）=（x12+x22+xn2）n2=9sx2.sx0，sy0， sy=3sx.五提煉總結(jié)以為師1、理解三種抽樣方法的特點(diǎn)；2、用樣本的頻率去估計(jì)總體分布；3、正態(tài)分布的意義、主要性質(zhì)及應(yīng)用；4、了解線性回歸的方法，會(huì)求線性回歸方程。同步練習(xí) 10.10 抽樣方法 總體分布的估計(jì) 【選擇題】1.一個(gè)總體中共有10個(gè)個(gè)體，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從中抽取一容量為3的樣本，則某特定個(gè)

17、體入樣的概率是A.B.C.D. 2. 某公司在甲、乙、丙、丁四個(gè)地區(qū)分別有150個(gè)、120個(gè)、180個(gè)、150個(gè)銷(xiāo)售點(diǎn).公司為了調(diào)查產(chǎn)品銷(xiāo)售的情況，需從這600個(gè)銷(xiāo)售點(diǎn)中抽取一個(gè)容量為100的樣本，記這項(xiàng)調(diào)查為；在丙地區(qū)中有20個(gè)特大型銷(xiāo)售點(diǎn)，要從中抽取7個(gè)調(diào)查其銷(xiāo)售收入和售后服務(wù)情況，記這項(xiàng)調(diào)查為.則完成、這兩項(xiàng)調(diào)查宜采用的抽樣方法依次是A.分層抽樣法，系統(tǒng)抽樣法B.分層抽樣法，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法C.系統(tǒng)抽樣法，分層抽樣法D.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法，分層抽樣法分析：此題為抽樣方法的選取問(wèn)題.當(dāng)總體中個(gè)體較多時(shí)宜采用系統(tǒng)抽樣；當(dāng)總體中的個(gè)體差異較大時(shí)，宜采用分層抽樣；當(dāng)總體中個(gè)體較少時(shí)，宜采用隨機(jī)抽樣.3

18、.（2004年江蘇，6）某校為了了解學(xué)生的課外閱讀情況，隨機(jī)調(diào)查了50名學(xué)生，得到他們?cè)谀骋惶旄髯哉n外閱讀所用時(shí)間的數(shù)據(jù)，結(jié)果用下面的條形圖表示.根據(jù)條形圖可得這50名學(xué)生這一天平均每人的課外閱讀時(shí)間為( )A.0.6 hB.0.9 hC.1.0 hD.1.5 h4.如果隨機(jī)變量N（，2），且E=3，D=1，則P（11）等于 ( ) A.2（1）1 B.（4）（2）C.（2）（4） D.（4）（2）【填空題】5.（2003全國(guó)）某公司生產(chǎn)三種型號(hào)的轎車(chē)，產(chǎn)量分別為1200輛、6000輛和2000輛，為檢驗(yàn)該公司的產(chǎn)品質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取46輛進(jìn)行檢驗(yàn)，這三種型號(hào)的轎車(chē)依次應(yīng)抽取_輛、_

19、輛、_輛.6.（2006全國(guó)）一個(gè)社會(huì)調(diào)查機(jī)構(gòu)就某地居民的月收入調(diào)查了10 000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫(huà)了樣本的頻率分布直方圖（如下圖）。為了分析居民的收入與年齡、學(xué)歷、職業(yè)等方面的關(guān)系，要從這10000人中再用分層抽樣方法抽出100人作進(jìn)一步調(diào)查，則在（元）月收入段應(yīng)抽出_人。練習(xí)簡(jiǎn)答：1-4.CBBB; 3.一天平均每人的課外閱讀時(shí)間應(yīng)為一天的總閱讀時(shí)間與學(xué)生數(shù)的比，即=0.9 h.,答案：B4.對(duì)正態(tài)分布，=E=3，2=D=1，故P（11）=（13）（13）=（2）（4）=（4）（2）.答案：B5. 分層抽樣，抽樣比例為=，分別有6輛、30輛、10輛; 6.25人.【解答題】7. 某批零件

20、共160個(gè)，其中，一級(jí)品48個(gè)，二級(jí)品64個(gè)，三級(jí)品32個(gè)，等外品16個(gè).從中抽取一個(gè)容量為20的樣本.請(qǐng)說(shuō)明分別用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣法抽取時(shí)總體中的每個(gè)個(gè)體被取到的概率均相同.剖析：要說(shuō)明每個(gè)個(gè)體被取到的概率相同，只需計(jì)算出用三種抽樣方法抽取個(gè)體時(shí)，每個(gè)個(gè)體被取到的概率.解：（1）簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法：可采取抽簽法，將160個(gè)零件按1160編號(hào)，相應(yīng)地制作1160號(hào)的160個(gè)簽，從中隨機(jī)抽20個(gè).顯然每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為=.（2）系統(tǒng)抽樣法：將160個(gè)零件從1至160編上號(hào)，按編號(hào)順序分成20組，每組8個(gè).然后在第1組用抽簽法隨機(jī)抽取一個(gè)號(hào)碼，如它是第k號(hào)（1k8），則在其余組中分

21、別抽取第k+8n（n=1，2，3，19）號(hào)，此時(shí)每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為.（3）分層抽樣法：按比例=，分別在一級(jí)品、二級(jí)品、三級(jí)品、等外品中抽取48=6個(gè)，64=8個(gè)，32=4個(gè)，16=2個(gè)，每個(gè)個(gè)體被抽到的概率分別為，即都是.綜上可知，無(wú)論采取哪種抽樣，總體的每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都是.評(píng)述：三種抽樣方法的共同點(diǎn)就是每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相同，這樣樣本的抽取體現(xiàn)了公平性和客觀性.8. 已知連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)，且f(x) 0，求常數(shù)k的值，并計(jì)算概率P(1.55）=1P（x5）=1F（5）=1（）=1（1）=11（1）=（1）=0.8413.對(duì)第二個(gè)方案，有xN（6，22），于是P（x5）

22、=1P（x5）=1F（5）=1（）=1（0.5）=（0.5）=0.6915.相比之下，“利潤(rùn)超過(guò)5萬(wàn)元”的概率以第一個(gè)方案為好，可選第一個(gè)方案.10.公共汽車(chē)門(mén)的高度是按照確保99%以上的成年男子頭部不跟車(chē)門(mén)頂部碰撞設(shè)計(jì)的，如果某地成年男子的身高N（173，72）（cm），問(wèn)車(chē)門(mén)應(yīng)設(shè)計(jì)多高？解：設(shè)公共汽車(chē)門(mén)的設(shè)計(jì)高度為x cm，由題意，需使P（x）1%.N（173，72），P（x）=（）0.99.查表得2.33，x189.31，即公共汽車(chē)門(mén)的高度應(yīng)設(shè)計(jì)為190 cm，可確保99%以上的成年男子頭部不跟車(chē)門(mén)頂部碰撞.【探索題】已知測(cè)量誤差N（2，100）（cm），必須進(jìn)行多少次測(cè)量，才能使至少有一次測(cè)量誤差的絕對(duì)值不超過(guò)8 cm的頻率大于0.9?解：設(shè)表示n次測(cè)量中絕對(duì)誤差不超過(guò)8 cm的次數(shù)，則B（n，p）.其中P=P（|0.9，n應(yīng)滿足P（1）=1P（=0）=1（1p）n0.9，n=2.75.因此，至少要進(jìn)行3次測(cè)量，才能使至少有一次誤差的絕對(duì)值不超過(guò)8 cm的概率大于0.9.