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1、曲線運動、運動的合成與分解編稿：周軍 審稿：吳楠楠【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、知道曲線運動中速度的方向，理解曲線運動是一種變速運動；2、知道物體做曲線運動的條件，理解牛頓第二定律對物體做曲線運動條件的解釋；3、理解合運動與分運動的關(guān)系、具體問題能夠正確區(qū)分合運動與分運動；4、掌握運動的合成與分解的方法，能夠熟練的應(yīng)用平行四邊形法則作圖將合運動與分運動統(tǒng)一在一個平行四邊形中并進(jìn)行計算；5、學(xué)會用數(shù)學(xué)的方法研究物體的運動，并從物體的運動軌跡方程判斷物體的運動性質(zhì)。【要點梳理】要點一、曲線運動速度的方向要點詮釋：1、曲線運動速度方向的獲取途徑其一，生活中的現(xiàn)象如：砂輪邊緣飛出的鐵屑、雨天車輪甩出的雨滴、彎曲的水

2、管中噴出的水流等；其二，由瞬時速度的定義，瞬時速度等于平均速度在時間間隔趨于零時的極限，從理論上得到曲線運動瞬時速度的方向。2、曲線運動速度的方向質(zhì)點在某一點的速度，沿曲線在這一點的切線方向，指向前進(jìn)的一側(cè)3、曲線運動的性質(zhì)曲線運動的速度方向時刻在變化，速度是矢量，曲線運動的速度時刻在變化，曲線運動一定是變速運動，一定具有加速度，曲線運動受到的合外力一定不等于零。要點二、物體做曲線運動的條件要點詮釋：1、物體做曲線運動的條件的獲得途徑其一，由實際的曲線運動的受力情況可以知道；其二，通過理性分析可以得知，如在垂直于運動的方向上物體受到了合外力的作用，物體的運動方向便失去了對稱性，必然向著受力的方

3、向偏轉(zhuǎn)而成為曲線運動。2、物體做直線運動條件當(dāng)物體受到的合外力與速度的方向在一條直線上或者物體受到的合外力為零時，物體做直線運動。3、物體做曲線運動條件物體做曲線運動條件是：當(dāng)物體受到的合外力與它的速度方向不在同一條直線上時，物體做曲線運動。也就是說物體做曲線運動，必有：物體具有初速度，即v00；物體受到合外力的作用，即F合0，或者說加速度a0；合外力（加速度）與速度不在同一條直線上。4、曲線運動中合外力的切向分量和法向分量的作用對于做曲線運動的物體，把合外力F沿曲線的切線方向和法線方向（與切線垂直的方向）分解，沿切線方向的分力F1使質(zhì)點產(chǎn)生切線方向的加速度a1，當(dāng)a1和v同向時，速度增大，如

4、圖1所示，此時的合外力方向一定與速度方向成銳角； 當(dāng)a1和v反向時，速度減小，如圖2所示，此時的合外力方向一定與速度方向成鈍角；如果物體做曲線運動的速率不變，說明a10，即F10，此時的合外力方向一定與速度方向垂直。圖1vFa1F1F2a2圖2vFa1F1F2a2沿法線方向的分力F2產(chǎn)生法線方向上的加速度a2，由于力F2與速度方向垂直，所以力F2不能改變速度的大小，只能改變速度的方向。由于曲線運動的速度方向時刻在改變，合外力的這一作用效果對任何曲線運動總是存在的?？梢姡谇€運動中合外力的作用效果可分成兩個方面：切向分量產(chǎn)生切線方向的加速度a1，改變速度的大小當(dāng)合外力的切向分量與速度的方向相同

5、時，物體做加速曲線運動，相反時做減速曲線運動。法向分量產(chǎn)生法線方向的加速度a2，改變速度的方向只有使物體偏離原來方向的效果，不能改變速度的大小。這正是物體做曲線運動的原因。若a10，則物體的運動為勻速率曲線運動；而若a20，則物體的運動為直線運動。5、物體做曲線運動的軌跡彎曲規(guī)律根據(jù)鋼球在磁鐵吸引下的曲線運動、石子拋出后的曲線運動以及人造地球衛(wèi)星的曲線運動等實例，可得到結(jié)論：物體的運動軌跡必定在物體速度方向和所受合外力方向之間。由于曲線運動物體的速度方向是時刻改變的，物體在某一點的速度方向就是沿曲線上該點的切線方向，而曲線上任一點的切線總在曲線的外側(cè)，因此，運動物體的曲線軌跡必定向合外力方向彎

6、曲，也即合外力方向指向曲線的內(nèi)側(cè)。若已知物體的運動軌跡，可判斷出物體所受合外力的大致方向。如物體在從M運動到N的過程中，在運動到點P時，其受力方向一定是向上的而不可能向下。要點三、質(zhì)點在平面內(nèi)的運動要點詮釋：1、平面曲線運動的描寫（1）直線運動的描寫：用一維坐標(biāo)系x=x(t)便可以描寫質(zhì)點的位置、速度、加速度（2）平面曲線運動：可以用平面直角坐標(biāo)系xoy描寫質(zhì)點的位置（x，y）、速度(vx，vy)和加速度(ax，ay)，即可以通過兩個方向上的分運動去認(rèn)識或解決平面曲線運動。（也可以用極坐標(biāo)來描寫平面曲線運動，高中階段不做要求）2、平面曲線運動位置的確定（1）確定分運動的性質(zhì)：首先弄清楚質(zhì)點沿著

7、X方向和Y方向做什么運動。這要通過具體分析質(zhì)點在這兩個方向上的受力情況和初始條件而獲得，即要通過Fx與vx、Fy與vy的特點和方向關(guān)系具體明確。（2）寫出質(zhì)點在x、y兩個方向的位移時間關(guān)系例如，一個質(zhì)點在x方向上受到的合外力為零而初速度不為零，則這個質(zhì)點在x方向上就做勻速運動；如果這個質(zhì)點在y方向上受到恒定的合外力而初速度不為零且與合外力方向相反，則這個質(zhì)點在y方向上就做勻減速運動，這個質(zhì)點任意時刻的位置坐標(biāo)可以表達(dá)為：x=vxt，。3、 平面曲線運動軌跡的確定（1）已知x y兩個分運動，求質(zhì)點的運動軌跡：只要寫出x y兩個方向的位移時間關(guān)系x=x(t)和y=y(t) ，由此消除時間t，得到軌

8、跡方程y=f(x)，便知道軌跡是什么形狀。例如質(zhì)點在x、y方向上都做勻速直線運動，其速度分別是vx、vy，求其運動的軌跡方程。第一：寫位移方程 x=vxt、y=vyt ；第二：消時間t得到軌跡方程；可見兩個勻速直線運動的合運動的軌跡仍然是直線。（2）定性的判斷兩個分運動的合運動的軌跡是直線還是曲線：由曲線運動的條件知，只要看質(zhì)點的初速度方向和它受到的合外力的方向是否共線便知。例如，船在流水中渡河問題，船同時參與了沿垂直于河岸OA的方向和沿著水流動方向OB的兩個勻速運動，船實際進(jìn)行的是沿OC方向的運動，所以O(shè)C是合運動，由于兩個方向的運動都是勻速運動，其合外力為零，所以船實際的運動軌跡是一條直線

9、。如果船頭對準(zhǔn)對岸()做初速為零的勻加速直線運動，所以有垂直河岸向上的合外力，而合速度方向則是偏向下游的，所以船的實際運動(合運動)是曲線運動。要點四、運動的合成和分解要點詮釋：1、運動的合成與分解由描寫各分運動的量，求合運動的相關(guān)量叫運動的合成；由描寫合運動的量求各個分運動相關(guān)量叫運動的分解。2、在平面曲線運動中由分運動的加速度、速度、位移，求質(zhì)點的合加速度速度和位移 （1）加速度、速度和位移都是矢量，其合成和分解都遵守平行四邊形法則；（2）平面運動任意時刻的加速度、速度、位移：加速度的大小 加速度的方向 合速度的大小 合速度的方向 合位移的大小 合位移的方向ay a ax y s xvy

10、v vx vx 3、由合運動的加速度、速度及位移求分運動的加速度、速度及位移描寫合運動的物理量和描寫分運動的相關(guān)物理量，被統(tǒng)一在同一個相關(guān)的平行四邊形中，運動的分解是運動合成的逆運算，因此，由合運動的加速度、速度及位移求分運動的加速度、速度及位移的方法與運動的合成完全一樣。例如：由上面的平行四邊形可得分運動的位移、速度、加速度（運用已知條件解三角形）4. 合運動的判斷方法物體實際進(jìn)行的運動就是合運動。要點五、合運動與分運動、分運動與分運動之間的關(guān)系要點詮釋：1、等時性質(zhì)點所做的各個分運動在同一時間里完成，各個分運動也當(dāng)然的和合運動在同一時間里完成，也就是說，在一個具體問題的某一過程中，由一個分

11、運動求得的時間和由合運動求得的時間是相同的。2、等效性各個分運動合成后的綜合效果與合運動的效果是完全相同的，否則運動的合成和分解便失去了意義。 3、獨立性同時參與的各個分運動是互相獨立、互不影響的，即每一個方向上的運動僅由這一方向質(zhì)點的受力情況和初始條件決定。 【典型例題】類型一、曲線運動的條件和性質(zhì)例1、（2015 海拉爾二中期末考）質(zhì)點做曲線運動，它的軌跡如圖所示，由A向C運動，關(guān)于它通過B點時的速度v的方向和加速度a的方向正確的是（ ）【答案】B【解析】因質(zhì)點由A向C運動，速度方向沿軌跡切線方向，又因加速度方向與物體受合外力方向一致，沿軌跡的凹面，因此B正確。【點評】做曲線運動的物體所受

12、到合外力的切向分量和法向分量分別起著改變速度的大小和方向的作用。做曲線運動的物體其所受合外力方向一定指向軌跡的內(nèi)側(cè)。例2、一個質(zhì)點受兩個互成銳角的力的作用，由靜止開始運動，若運動中保持二力方向不變，但突然增大到，則此質(zhì)點以后的運動（）A. 一定做勻變速曲線運動 B. 在相等時間內(nèi)速度的變化一定相等C. 可能做勻速直線運動 D. 可能做變加速曲線運動【思路點撥】分析F1變化后引起合力的變化、特點以及合力與速度方向的關(guān)系?！敬鸢浮緼B【解析】F1變化后引起合力的變大，其方向發(fā)生變化，導(dǎo)致合外力與速度不共線，物體做曲線運動，但突然增大到后合力仍為恒力，所以物體做勻變速曲線運動，正確的答案是AB。舉一

13、反三【高清課程：運動的合成與分解 例1】【變式】某質(zhì)點在恒力F作用下，從A點沿下圖中曲線運動到B點，到達(dá)B點后，質(zhì)點受到的力大小仍為F，但方向相反，則它從B點開始的運動軌跡可能是圖中的（ ） A曲線a B直線b C曲線c D三條曲線均有可能【答案】A類型二、分運動與合運動的特點和應(yīng)用例3、下列說法正確的是（）A. 兩勻速直線運動合運動的軌跡必是直線B. 兩勻變速直線運動合運動的軌跡必是直線C. 一個勻變速直線運動和一個勻速直線運動的合運動軌跡是曲線D. 幾個初速度為零的勻變速直線運動的合運動的軌跡是直線【思路點撥】正確地運用物體做曲線運動和直線運動的條件，結(jié)合運動的合成法則，考慮到兩個分運動夾

14、角的不同情況，逐一做出判斷?！敬鸢浮緼D【解析】物體做曲線運動的條件F合和有一個夾角。物體做勻速運動，F(xiàn)合0，所以A正確。做勻變速直線運動的物體受到恒力的作用，兩個勻變速直線運動的合成時，合外力仍是恒力，但此力與的方向是否在一條直線上無法判斷，所以B錯。當(dāng)兩個分運動在一條直線上時，即合力與初速度在一直線上，合運動軌跡仍是直線，所以C錯。幾個初速度為零的勻變速直線運動的合成時，合外力是一恒力，所以合運動的方向一定沿合力的方向，所以是直線運動，即D正確。【總結(jié)升華】兩個直線運動的合運動不一定是直線運動要具體情況具體分析。兩個勻速直線運動的合運動一定是勻速直線運動?；コ山嵌鹊囊粋€勻速直線運動和一個勻

15、變速直線運動的合運動一定是曲線運動。互成角度的兩個初速度為零的勻變速直線運動的合運動一定是勻變速直線運動；互成角度的兩個初速度不為零的勻變速直線運動的合運動可能是勻加速直線運動（合速度與合加速度的方向不在同一條直線上），也可能是勻變速曲線運動（合速度與合加速度的方向不在同一直線上）。舉一反三【變式1】關(guān)于運動的合成與分解，下述說法中正確的是（）A、合運動的速度大小等于分運動的速度大小之和 B、物體的兩個分運動是直線運動，則它的合運動一定是直線運動 C、合運動和分運動具有同時性 D、合運動是曲線運動，則其分運動中至少有一個是曲線運動 【答案】C【解析】運動的合成與分解遵循平行四邊形定則，故合速度

16、的大小介于兩分運動速度大小之差與兩分運動速度大小之和之間，故A選項錯誤；物體的兩個分運動是直線運動，說明兩個分力與兩分速度各自在同一直線上，但兩個分力的合力、兩分速度的合速度方向卻不一定在同一直線上，即兩分運動是直線運動，合運動不一定是直線運動；反之，合運動是曲線運動，分運動也不一定就是曲線運動，故B、D選項錯誤。當(dāng)一個運動分解為兩個分運動或幾個分運動時，幾個分運動各自遵循獨立的運動規(guī)律而不相互干擾，但合運動與分運動，分運動與分運動間運動時間相同，同時進(jìn)行，具有等時性，故選項C正確。 【變式2】（2015 揚州二模）在學(xué)習(xí)運動的合成與分解時我們做過如圖所示的實驗，在長約80cm-100cm一段

17、封閉的玻璃管中注滿清水，水中放一個用紅蠟做成的小圓柱體（小圓柱體恰能在管中勻速上?。瑢⒉ＡЧ艿拈_口端用膠塞塞緊，然后將玻璃管豎直倒置，在紅蠟燭勻速上浮的同時使玻璃管緊貼黑板面在水平方向上勻加速移動，你正對黑板面將看到紅蠟塊相對于黑板面的移動軌跡可能是下列選項中的（ ）【答案】C【解析】蠟塊參加了兩個分運動，豎直方向在管中以速度勻速上浮，水平方向向右勻加速直線運動，速度不斷變大，將與合成，如圖由于曲線運動的速度沿著曲線上該點的切線方向，又由于不變，不斷變大，故不斷變小，即切線方向與水平方向的夾角不斷變小，故C正確。類型三、渡河問題例4、河寬為d，水流速度為，小汽艇在靜水中航行的速度為，且，如果

18、小汽艇航向與河岸成角，斜向上游航行，求：（1）它過河需要多少時間？（2）到達(dá)對岸的位置？（3）若以最短的時間渡河，航向應(yīng)如何？（4）若要直達(dá)正對岸，航向又應(yīng)怎樣？【思路點撥】船同時參與了相對于水流的運動和隨水流順?biāo)聝蓚€運動，船對地的運動是這兩個運動的合運動。同時參與的各個分運動是互相獨立、互不影響的，可根據(jù)各個分運動的規(guī)律來求解問題。【解析】如圖， （1）根據(jù)分運動與合運動的獨立性和等時性，過河時間可按下列三種方法計算： 根據(jù)本題可知。 （2）如上圖，C點是O點正對岸上的一點，以v1 、v2 為鄰邊做平行四邊形，合速度的方向沿著OA ，則 （3）要用最短的時間過河，船過河所用的時間，可以看

19、出，當(dāng)即船頭指向正對岸時，最小。 （4）如果直達(dá)正對岸，即 ， 則有，即 。【總結(jié)升華】（1）由解題過程可以看出，靈活運用合運動和分運動的等時性，可以簡化解題過程；（2）解決綜合性問題必須重視分析物理現(xiàn)象發(fā)生的條件，如用最短時間過河必須使船具有垂直于河岸最大的速度，當(dāng)時，船垂直于河岸的速度分量最大是v2；用最短的位移過河時合速度的方向必須與河岸垂直。例5、河寬60m，水流速度為，小船在靜水中速度是，則它渡河的最短時間是多少？最短船程是多少？【答案】20s 120m【解析】（1）根據(jù)上題的結(jié)論，當(dāng)時，渡河時間最短，（2）本題中水速大于船在靜水中的速度，這種情況不論船頭指向如何，船總要被水沖向下游

20、。要使實際航程最短，船頭需朝上游轉(zhuǎn)過一角，可由幾何方法求得。即以的末端為圓心，以的長度為半徑作圓，從的始端作圓的切線的方向，即為最短航程的方向。船頭應(yīng)偏向上游 另解：速度矢量三角形與相似。 舉一反三【高清課程：運動的合成與分解 例3】【變式】在抗洪搶險中，戰(zhàn)士駕駛摩托艇救人.假設(shè)江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度為v1，摩托艇在靜水中的航速為v2戰(zhàn)士救人的地點A離岸邊最近處O的距離為d如戰(zhàn)士想在最短時間內(nèi)將人送上岸，則摩托艇登陸的地點離O點的距離為( )【答案】C類型四、關(guān)聯(lián)速度問題例6、如圖所示，汽車以速度v勻速行駛，當(dāng)汽車到達(dá)P點時，繩子與水平方向的夾角是，此時物體M的速度的大?。?/p>

21、【思路點撥】物體M的速率即右端繩子上移的速率，而右端繩子上移的速率與左端繩子在沿繩子方向的速率是相等的，此速率可以由左端繩子與汽車相連的端點的運動速度分解而得到，這個端點實際上是和汽車一起水平向左以速度v運動。實際速度v即是合速度?！窘馕觥课矬wM的速率即右端繩子上移的速率，而右端繩子上移的速率與左端繩子在沿繩子方向的速率是相等的，此速率可以由左端繩子與汽車相連的端點的運動速度分解而得到，這個端點實際上是和汽車一起水平向左以速度v運動。實際速度v即是合速度。左端繩子有兩個運動效果，一是沿繩的方向拉長；二是繞滑輪順時針轉(zhuǎn)動。如圖所示把v分解到沿繩子的方向和與繩子垂直的方向，則沿繩的方向的速率即是物體M的速率。由平行四邊形法則得：即是M的速率?！究偨Y(jié)升華】汽車運動的過程，與汽車相連接的繩子同時發(fā)生了延長和轉(zhuǎn)動，因此汽車的運動分解為沿著繩子和垂直于繩子兩個方向上的運動是正確的。弄清哪個是合運動是解題的關(guān)鍵。舉一反三【變式】 如圖示，以速度沿豎直桿勻速下滑的物體A，用細(xì)繩通過定滑輪拉物體B在水平面上運動，當(dāng)繩與水平面夾角為時，物體B運動的速率是_。【解析】此沿桿豎直向下的速度即是物體A的合速度，B的速度是在沿繩子方向上的一個分速度，也就是說，物體 A的速度分解為沿著繩子方向上的v1和垂直于繩子方向的速度v2 ，做出的平行四邊形是矩形，由此得到B物體的速度是v1=。