《新版高考數學文復習檢測：專題三 高考解答題鑒賞數列 課時作業(yè)35 Word版含答案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《新版高考數學文復習檢測：專題三 高考解答題鑒賞數列 課時作業(yè)35 Word版含答案（5頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 1

2、 1 課時作業(yè)35　高考解答題鑒賞——數列 1．(20xx·新課標全國卷Ⅰ)已知{an}是公差為3的等差數列，數列{bn}滿足b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn. (Ⅰ)求{an}的通項公式； (Ⅱ)求{bn}的前n項和． 解：(Ⅰ)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝，得a1＝2.所以數列{an}是首項為2，公差為3的等差數列．通項公式為an＝

3、3n－1. (Ⅱ)由(Ⅰ)和anbn＋1＋bn＋1＝nbn，得bn＋1＝，因此數列{bn}是首項為1，公比為的等比數列，記{bn}的前n項和為Sn，則Sn＝＝－. 2．已知數列{an}的前n項和為Sn，且an是Sn和1的等差中項，等差數列{bn}滿足b1＝a1，b4＝S3. (1)求數列{an}，{bn}的通項公式； (2)設cn＝，數列{cn}的前n項和為Tn，求Tn的取值范圍． 解：(1)∵an是Sn和1的等差中項， ∴Sn＝2an－1， 當n＝1時，a1＝S1＝2a1－1，∴a1＝1. 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(2an－1)－(2an－1－1)＝2an－2an－

4、1，∴an＝2an－1，即＝2. ∴數列{an}是以a1＝1為首項，2為公比的等比數列，∴an＝2n－1，Sn＝2n－1， 設{bn}的公差為d，b1＝a1＝1，b4＝1＋3d＝7， ∴d＝2，∴bn＝1＋(n－1)×2＝2n－1. (2)cn＝＝ ＝， ∴Tn＝ ＝＝， ∵n∈N*，∴Tn＝<， 又Tn－Tn－1＝－ ＝>0， ∴數列{Tn}是一個遞增數列， ∴Tn≥T1＝. 綜上所述，≤Tn<. 3．設各項均為正數的數列{an}的前n項和為Sn，且Sn滿足S－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0，n∈N*. (1)求a1的值； (2)求數列{an}的

5、通項公式； (3)證明：對一切正整數n，有＋＋…＋<. 解：(1)令n＝1代入得a1＝2(負值舍去)． (2)由S－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0，n∈N*得[Sn－(n2＋n)](Sn＋3)＝0. 又已知各項均為正數，故Sn＝n2＋n. 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n， 當n＝1時，a1＝2也滿足上式，所以an＝2n，n∈N*. (3)證明：k∈N*,4k2＋2k－(3k2＋3k)＝k2－k＝k(k－1)≥0，∴4k2＋2k≥3k2＋3k， ∴＝ ＝≤＝. ∴＋＋…＋ ≤ ＝<. ∴不等式成立． 4．已知函數f

6、(x)滿足f(x＋y)＝f(x)·f(y)且f(1)＝. (1)當n∈N*時，求f(n)的表達式； (2)設an＝n·f(n)，n∈N*，求證：a1＋a2＋a3＋…＋an<2； (3)設bn＝(9－n)，n∈N*，Sn為{bn}的前n項和，當Sn最大時，求n的值． 解：(1)令x＝n，y＝1，得f(n＋1)＝f(n)·f(1)＝f(n)， ∴{f(n)}是首項為，公比為的等比數列，∴f(n)＝n. (2)證明：設Tn為{an}的前n項和， ∵an＝n·f(n)＝n·n， ∴Tn＝＋2×2＋3×3＋…＋n×n， Tn＝2＋2×3＋3×4＋…＋(n－1)×n＋n×n＋1， 兩式

7、相減得Tn＝＋2＋3＋…＋n－n×n＋1， ∴Tn＝2－n－1－n×n<2. 即a1＋a2＋a3＋…＋an<2. (3)∵f(n)＝n， ∴bn＝(9－n)·＝(9－n)＝， ∴當n≤8時，bn>0； 當n＝9時，bn＝0； 當n>9時，bn<0. ∴當n＝8或9時，Sn取得最大值． 1．已知數列{an}滿足an＋1＝2an＋n＋1(n∈N*)． (1)若{an}是等差數列，求其首項a1和公差d； (2)證明{an}不可能是等比數列； (3)若a1＝－1，是否存在實數k和b使得數列{an＋kn＋b}是等比數列？若存在，求出數列{an}的通項公式；若不存在，請說明理由

8、． 解：(1)由題意知，a2＝2a1＋2，a3＝2a2＋3＝4a1＋7. 因為{an}是等差數列，所以2a2＝a1＋a3，所以a1＝－3，a2＝－4，所以公差d＝－1. (2)證明：假設{an}是等比數列，則a＝a1a3，即(2a1＋2)2＝a1(4a1＋7)， 解得a1＝－4，從而a2＝－6，a3＝－9. 又a4＝2a3＋4＝－14，所以a2，a3，a4不成等比數列，這與假設矛盾． 故{an}不可能是等比數列． (3)假設存在滿足條件的k，b，則對任意n∈N*有＝＝ 恒為常數，則 ，解得 所以數列{an＋n＋2}是首項為a1＋1＋2＝－1＋1＋2＝2，公比為2的等比數列，

9、 從而an＋n＋2＝2n，故an＝2n－n－2. 2．設數列{an}的前n項和為Sn，如果為常數，則稱數列{an}為“幸福數列”． (1)等差數列{bn}的首項為1，公差不為零，若{bn}為“幸福數列”，求{bn}的通項公式； (2)數列{cn}的各項都是正數，其前n項和為Sn，若c＋c＋c＋…＋c＝S對任意的n∈N*都成立，試推斷數列{cn}是否為“幸福數列”？并說明理由． 解：(1)設等差數列{bn}的公差為d(d≠0)，前n項和為Tn，則＝k，因為b1＝1. 則n＋n(n－1)d＝k[2n＋·2n(2n－1)d]，即2＋(n－1)d＝4k＋2k(2n－1)d. 整理得，(4

10、k－1)dn＋(2k－1)(2－d)＝0. 因為對任意正整數n上式恒成立，則 ，解得. 故數列{bn}的通項公式是bn＝2n－1. (2)由已知，當n＝1時，c＝S＝c. 因為c1>0，所以c1＝1. 當n≥2時，c＋c＋c＋…＋c＝S，c＋c＋c＋…＋c＝S. 兩式相減，得c＝S－S＝(Sn－Sn－1)(Sn＋Sn－1)＝cn·(Sn＋Sn－1)． 因為cn>0，所以c＝Sn＋Sn－1＝2Sn－cn. 顯然c1＝1適合上式， 所以當n≥2時，c＝2Sn－1－cn－1. 于是c－c＝2(Sn－Sn－1)－cn＋cn－1＝2cn－cn＋cn－1＝cn＋cn－1. 因為cn＋cn－1>0，則cn－cn－1＝1，所以數列{cn}是首項為1，公差為1的等差數列，所以cn＝n，Sn＝. 所以＝＝不為常數，故數列{cn}不是“幸福數列”．