《新版高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 文科 第六章 數(shù)列 第2節(jié) 數(shù)列的通項公式與求和》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《新版高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 文科 第六章 數(shù)列 第2節(jié) 數(shù)列的通項公式與求和(26頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、 1 1第2節(jié) 數(shù)列的通項公式與求和題型74 數(shù)列通項公式的求解1. (20xx安徽文19)設(shè)數(shù)列滿足,且對任意,函數(shù)滿足.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)若,求數(shù)列的前項和.1. 分析 (1)求導(dǎo),代入,并對所得式子進行變形,從而證明數(shù)列是等差數(shù)列,再由題目條件求基本量,得通項公式.(2)將代入化簡,利用分組求和法,結(jié)合等差、等比數(shù)列的前項和公式計算.解析 (1)由題設(shè)可得.對任意,即,故為等差數(shù)列.由,可得數(shù)列的公差,所以.(2)由知,.2.(20xx廣東文19)設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為,滿足,,且構(gòu)成等比數(shù)列(1) 證明:;(2) 求數(shù)列的通項公式;(3) 證明:對一切正整數(shù),有2.
2、分析 (1)把代入遞推式,可以得到和的關(guān)系式,變形可得.(2)鑒于遞推式含有的特點,常用公式進行化異為同,得到和的遞推式,構(gòu)造等差數(shù)列,進而求出數(shù)列的通項.(3)要證的不等式的左邊是一個新數(shù)列的前項和,因此要求和、化簡,因為是一個分式,常常通過裂項相消法逐項相消,然后再通過放縮,得出結(jié)論.解析 (1)證明:由,得,即,所以.因為,所以.(2)因為 所以當時, 由-得,即.因為,所以,即.因為成等比數(shù)列,所以,即,解得.又由(1)知,所以,所以.綜上知,所以數(shù)列是首項為,公差為的等差數(shù)列.所以.所以數(shù)列的通項公式為.(3)證明:由(2)知,所以.3. (20xx江西文16)正項數(shù)列滿足:.(1)
3、 求數(shù)列的通項公式; (2) 令,數(shù)列的前項和為3.分析 (1)根據(jù)已知的和的關(guān)系式進行因式分解,通過得到數(shù)列的通項公式;(2)把數(shù)列的通項公式代入的表達式,利用裂項法求出數(shù)列的前項和. 解析 (1)由,得.由于是正項數(shù)列,所以.(2)由,則,.4. (20xx重慶文16)設(shè)數(shù)列滿足:.(1)求的通項公式及前項和;(2)已知是等差數(shù)列,為其前項和,且,求.4.分析 根據(jù)等比、等差數(shù)列的通項公式及前項和公式直接運算求解.解析 (1)由題設(shè)知是首項為,公比為的等比數(shù)列,所以.(2),所以公差,故.5. (20xx湖南文19)設(shè)為數(shù)列的前項和,已知,2,.(1)求,并求數(shù)列的通項公式;(2)求數(shù)列的
4、前項和. 5.分析 根據(jù)消去得到關(guān)于的關(guān)系式,求其通項;利用錯位相減法求前項和.解析 (1)令,得,即.因為,所以.令,得,解得.當時,由,即.于是數(shù)列是首項為.公比為的等比數(shù)列.因此,.所以的通項公式為.(2)由(1)知,.記數(shù)列的前項和為,于是, . ,得.從而.6.(20xx陜西文4)根據(jù)如圖所示框圖,對大于的整數(shù),輸出的數(shù)列的通項公式是( ).A. B. C. D.7.(20xx新課標文16)數(shù)列滿足,則 .8.(20xx江西文17)(本小題滿分12分) 已知數(shù)列的前項和.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)求證:對任意,都有,使得成等比數(shù)列.9.(20xx大綱文17)(本小題滿分10分)數(shù)
5、列滿足.(1)設(shè),證明是等差數(shù)列;(2)求的通項公式.10.(20xx廣東文19)(本小題滿分14分)設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為,且滿足.(1) 求的值;(2) 求數(shù)列的通項公式;(3) 求證:對一切正整數(shù),有.11.(20xx湖南文16)(本小題滿分12分)已知數(shù)列的前項和.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項和.12.(20xx陜西文16)觀察下列等式:據(jù)此規(guī)律,第個等式可為_.12.解析 觀察等式知,第個等式的左邊有個數(shù)相加減,奇數(shù)項為正,偶數(shù)項為負,且分子為,分母是到的連續(xù)正整數(shù),等式的右邊是.故答案為.13.(20xx江蘇卷11)設(shè)數(shù)列滿足,且,則數(shù)列前項的和為 13.
6、解析 解法一:可以考慮算出前項,但運算化簡較繁瑣解法二:由題意得,故累加得,從而,當時,滿足通項故,則有14.(20xx安徽理18)已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列,且,.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設(shè)為數(shù)列的前項和,求數(shù)列的前項和.14.解析 (1)因為是等比數(shù)列,且,所以.聯(lián)立,又為遞增的等比數(shù)列,即.解得或(舍),可得,得.所以.(2)由(1)可知,所以,所以.故.15.(20xx北京文16)已知等差數(shù)列滿足,.(1)求的通項公式;(2)設(shè)等比數(shù)列滿足,;問:與數(shù)列的第幾項相等?15.解析(1)依題意,設(shè)等差數(shù)列的公差為, 得,.數(shù)列的通項公式為.(2)等比數(shù)列中,設(shè)等比數(shù)列的公比為,.,得,
7、則與數(shù)列的第項相等.16.(20xx福建文17)在等差數(shù)列中,(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設(shè),求的值16.分析(1)利用基本量法可求得,進而求的通項公式;(2)求數(shù)列前項和,首先考慮其通項公式,根據(jù)通項公式的不同特點,選擇相應(yīng)的求和方法,本題,故可采取分組求和法求其前項和解析 (1)設(shè)等差數(shù)列的公差為由已知得,解得所以(2)由(1)可得,所以.17.(20xx廣東文19)設(shè)數(shù)列的前項和為,已知,且當時,(1)求的值;(2)求證:為等比數(shù)列;(3)求數(shù)列的通項公式17.解析(1)當時,即,解得.(2)因為(),所以(),即(),亦即,則.當時,滿足上式.故數(shù)列是以為首項,公比為的等比數(shù)列.(3
8、)由(2)可得,即,所以數(shù)列是以為首項,為公差的等差數(shù)列,所以,即,所以數(shù)列的通項公式是.18.(20xx湖北文19)設(shè)等差數(shù)列的公差為,前項和為,等比數(shù)列的公比為,已知,.(1)求數(shù)列,的通項公式;(2)當時,記,求數(shù)列的前項和.18.解析 (1)由題意有,即.解得,或.故或.(2)由,知,故,于是, . 式式可得.故. 19.(20xx山東文19)已知數(shù)列是首項為正數(shù)的等差數(shù)列,數(shù)列的前項和為.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項和.19.解析(1)設(shè)數(shù)列的公差為,令,得,即. 令,得,即.聯(lián)立,解得,.所以.(2)由(1)知,得到,從而,得,所以.19.(20xx四川文16)設(shè)
9、數(shù)列()的前項和滿足,且,成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設(shè)數(shù)列的前項和為,求. 19.解析(1)由已知,可得,即.則,.又因為,成等差數(shù)列,即.所以,解得.所以數(shù)列是首項為2,公比為2的等比數(shù)列.故.(2)由(1)可得,所以.20.(20xx天津文18)已知是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,是等差數(shù)列,且,.(1)求和的通項公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項和.20.分析(1)列出關(guān)于與的方程組,通過解方程組求出,即可確定通項;(2)用錯位相減法求和.解析 (1)設(shè)的公比為,的公差為,由題意,由已知,有,消去得,解得,所以的通項公式為,的通項公式為.(2)由(1)有,設(shè)的前項和為,則,兩式相減得
10、,所以.21.(20xx浙江文17)已知數(shù)列和滿足,.(1)求與;(2)記數(shù)列的前項和為,求.21.解析 (1)由題意知是等比數(shù)列,所以.當時,所以,所以,所以,又,所以.(或采用累乘法)(2),所以,所以,所以.22.(20xx重慶文16)已知等差數(shù)列滿足,前3項和.(1)求的通項公式;(2)設(shè)等比數(shù)列滿足,求前項和. 22.解析(1)設(shè)的公差為,則由已知條件得,化簡得,解得,故通項公式,(2)由(1)得,.設(shè)的公比為,則,從而,故的前項和.23.(20xx浙江文17)設(shè)數(shù)列的前項和為.已知,.(1)求通項公式;(2)求數(shù)列的前項和.23.解析 (1)由題意得,則.因為,所以,得.又知,所以
11、數(shù)列的通項公式為,.(2)對于,當時,有.設(shè),當時,有.設(shè)數(shù)列的前項和為,則,.當時,時也滿足此式,所以.24.(20xx全國3文17)設(shè)數(shù)列滿足.(1)求的通項公式;(2)求數(shù)列的前項和.24.解析 (1)令 ,則有 ,即.當時, 得,即,得.當時,也符合,所以.(2)令, 所以.評注 本題具有一定的難度,第一問要求學(xué)生具備一定的轉(zhuǎn)化與化歸的思想,將不熟悉的表達形式轉(zhuǎn)化為常規(guī)數(shù)列求通項問題才能迎刃而解.第二問屬于常規(guī)裂項相消問題,沒有難度,如果學(xué)生第一問求解時出現(xiàn)困難的話,可以用找規(guī)律的方法求出其通項,這樣可以拿到第二問的分數(shù),不失為一種靈活變通的處理方法.25.(20xx山東文19)已知是
12、各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,且,. (1)求數(shù)列的通項公式;(2)為各項非零的等差數(shù)列,其前項和,已知,求數(shù)列的前項和.25.解析 (1)設(shè)數(shù)列的公比為,由題意知,.又,解得,所以.(2)由題意知,.又,所以.令,則,因此,又,兩式相減得,所以.題型75 數(shù)列的求和1.(20xx湖南文5)執(zhí)行如圖所示的程序框圖,如果輸入,則輸出的( ). A. B. C. D.1.解析 由題意,輸出的為數(shù)列的前項和,即.故選B.2.(20xx安徽理18)已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列,且,.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設(shè)為數(shù)列的前項和,求數(shù)列的前項和.2.解析 (1)因為是等比數(shù)列,且,所以.聯(lián)立,又為遞增的等比數(shù)列
13、,即.解得或(舍),可得,得.所以.(2)由(1)可知,所以,所以.故.3. (20xx安徽文18)(本小題滿分12分)數(shù)列滿足,.(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列;(2)設(shè),求數(shù)列的前項和.3. 解析 (I)由已知可得,即.所以是以為首項,1為公差的等差數(shù)列.(II)由(I)得,所以.從而.,.得.所以.評注 本題考查等差數(shù)列定義的應(yīng)用,錯位相減法求數(shù)列的前項和,解題時利用題(I)提示對遞推關(guān)系進行變形是關(guān)鍵.4.(20xx福建文17)在等差數(shù)列中,(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設(shè),求的值4.分析(1)利用基本量法可求得,進而求的通項公式;(2)求數(shù)列前項和,首先考慮其通項公式,根據(jù)通項公式的不同
14、特點,選擇相應(yīng)的求和方法,本題,故可采取分組求和法求其前項和解析 (1)設(shè)等差數(shù)列的公差為由已知得,解得所以(2)由(1)可得,所以.5.(20xx湖北文19)設(shè)等差數(shù)列的公差為,前項和為,等比數(shù)列的公比為,已知,.(1)求數(shù)列,的通項公式(2)當時,記,求數(shù)列的前項和.5.解析 (1)由題意有,即.解得,或.故或.(2)由,知,故,于是,. 式式可得.故. 6.(20xx湖南文19)設(shè)數(shù)列的前項和為,已知,且.(1)證明:;(2)求.6.解析(1)由條件,對任意,有,因而對任意,有,兩式相減,得,即,又,所以,故對一切,.(2)由(1)知,所以,于是數(shù)列是首項,公比為的等比數(shù)列,數(shù)列是首項,
15、公比為的等比數(shù)列,所以,(于是,從而,綜上所述,.7.(20xx山東文19)已知數(shù)列是首項為正數(shù)的等差數(shù)列,數(shù)列的前項和為.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項和.7.解析(1)設(shè)數(shù)列的公差為,令,得,即 令,得,即 聯(lián)立,解得,.所以.(2)由(1)知,得到,從而,得,所以.8.(20xx四川文16)設(shè)數(shù)列()的前項和滿足,且,成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設(shè)數(shù)列的前項和為,求. 8.解析(1)由已知,可得,即.則,.又因為,成等差數(shù)列,即.所以,解得.所以數(shù)列是首項為2,公比為2的等比數(shù)列.故.(2)由(1)可得,所以.9.(20xx天津文18)已知是各項均為正數(shù)的等
16、比數(shù)列,是等差數(shù)列,且,.(1)求和的通項公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項和.9.分析(1)列出關(guān)于與的方程組,通過解方程組求出,即可確定通項;(2)用錯位相減法求和.解析(1)設(shè)的公比為,的公差為,由題意,由已知,有,消去得,解得,所以的通項公式為,的通項公式為.(2)由(1)有,設(shè)的前項和為,則,兩式相減得,所以.10.(20xx浙江文17)已知數(shù)列和滿足,.(1)求與;(2)記數(shù)列的前項和為,求.10.解析 (1)由題意知是等比數(shù)列,所以.當時,所以,所以,所以.又,所以(或采用累乘法).(2),所以,所以,所以.11.(20xx重慶文16)已知等差數(shù)列滿足,前3項和.(1)求的通項公式;(
17、2)設(shè)等比數(shù)列滿足,求前項和. 11.解析 (1)設(shè)的公差為,則由已知條件得,化簡得,解得,故通項公式,(2)由(1)得,.設(shè)的公比為,則,從而,故的前項和.12.(20xx北京文15)已知是等差數(shù)列,是等比數(shù)列,且,.(1)求的通項公式;(2)設(shè) ,求數(shù)列的前項和.12.解析 (1)等比數(shù)列的公比,所以,.設(shè)等差數(shù)列的公差為.因為,所以,即.所以.(2)由(1)知,.因此.從而數(shù)列的前項和.13.(20xx山東文19)已知數(shù)列的前項和,是等差數(shù)列,且.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)令.求數(shù)列的前n項和.13.解析 (1)由題意當時,當時,所以.設(shè)數(shù)列的公差為,由,即,解得,所以.(2)由(1
18、)知,又,即,所以,以上兩式兩邊相減得.所以.14.(20xx浙江文17)設(shè)數(shù)列的前項和為.已知,.(1)求通項公式;(2)求數(shù)列的前項和.14.解析 (1)由題意得:,則.因為,所以,得.又知,所以數(shù)列的通項公式為,.(2)對于,當時,有.設(shè),當時,有.設(shè)數(shù)列的前項和為,則,.當時,時也滿足此式,所以.15.(20xx全國3文17)設(shè)數(shù)列滿足.(1)求的通項公式;(2)求數(shù)列的前項和.15.解析 (1)令 ,則有 ,即.當時, 得,即,得.當時,也符合,所以.(2)令, 所以.評注 本題具有一定的難度,第一問要求學(xué)生具備一定的轉(zhuǎn)化與化歸的思想,將不熟悉的表達形式轉(zhuǎn)化為常規(guī)數(shù)列求通項問題才能迎刃而解.第二問屬于常規(guī)裂項相消問題,沒有難度,如果學(xué)生第一問求解時出現(xiàn)困難的話,可以用找規(guī)律的方法求出其通項,這樣可以拿到第二問的分數(shù),不失為一種靈活變通的處理方法.16.(20xx山東文19)已知是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,且,. (1)求數(shù)列的通項公式;(2)為各項非零的等差數(shù)列,其前項和,已知,求數(shù)列的前項和.16.解析 (1)設(shè)數(shù)列的公比為,由題意知,.又,解得,所以.(2)由題意知,.又,所以.令,則,因此,又,兩式相減得,所以.歡迎訪問“高中試卷網(wǎng)”http:/sj.fjjy.org