《高中數(shù)學(xué)人教A版選修41學(xué)案：第2講 1 圓周角定理 Word版含解析》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué)人教A版選修41學(xué)案：第2講 1 圓周角定理 Word版含解析（19頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 一　圓周角定理 1．理解圓周角定理及其兩個推論，并能解決有關(guān)問題．(重點(diǎn)、難點(diǎn)) 2．了解圓心角定理． [基礎(chǔ)·初探] 教材整理1　圓周角定理及其推論 閱讀教材P24～P26，完成下列問題 1．圓周角定理 圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半． 2．推論1 同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等． 3．推論2 半圓(或直徑)所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑． 如圖2-1-1，在⊙O中，∠BAC＝60°，則∠BDC＝(　　) 圖2-1-1 A．30° B．45°

2、　　　 C．60°　　　 D．75° 【解析】　在⊙O中，∠BAC與∠BDC都是所對的圓周角，故∠BDC＝∠BAC＝60°. 【答案】　C 教材整理2　圓心角定理 閱讀教材P25～P26，完成下列問題． 圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)． 在半徑為R的圓中有一條長度為R的弦，則該弦所對的圓周角的度數(shù)是 (　　) A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120° 【解析】　弦所對的圓心角為60°，又弦所對的圓周角有兩個且互補(bǔ)，故選B. 【答案】　B [質(zhì)疑·手記] 預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流： 疑問1：　 解惑：

3、　 疑問2：　 解惑：　 疑問3：　 解惑：　 [小組合作型] 　 利用圓周角定理和圓心角 定理進(jìn)行計(jì)算 　在半徑為5 cm的圓內(nèi)有長為5 cm的弦，求此弦所對的圓周角． 【精彩點(diǎn)撥】　過圓心作弦的垂線構(gòu)造直角三角形．先求弦所對的圓心角度數(shù)，再分兩種情況求弦所對的圓周角的度數(shù)． 【自主解答】　如圖所示，過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D. ∵OD⊥AB，OD經(jīng)過圓心O， ∴AD＝BD＝ cm. 在Rt△AOD中， OD＝＝ cm， ∴∠OAD＝30°，∴∠AOD＝60°， ∴∠AOB＝2∠AOD＝120°， ∴∠ACB＝∠AOB＝60°. ∵∠AOB＝120

4、°，∴劣弧的度數(shù)為120°，優(yōu)弧的度數(shù)為240°. ∴∠AEB＝×240°＝120°， ∴此弦所對的圓周角為60°或120°. 1．解答本題時應(yīng)注意弦所對的圓周角有兩個，它們互為補(bǔ)角． 2．和圓周角定理有關(guān)的線段、角的計(jì)算，不僅可以通過計(jì)算弧、圓心角、圓周角的度數(shù)來求相關(guān)的角、線段，有時還可以通過比例線段，相似比來計(jì)算． [再練一題] 1．如圖2-1-2，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，＝，點(diǎn)D是上任意一點(diǎn)，AD＝6 cm，BD＝5 cm，CD＝3 cm，求DE的長． 圖2-1-2 【解】　∵＝， ∴∠ADB＝∠CDE. 又∵＝， ∴∠BAD＝∠ECD， ∴

5、△ABD∽△CED， ∴＝，即＝. ∴DE＝2.5 cm. 　直徑所對的圓周角問題 　如圖2-1-3所示，AB是半圓的直徑，AC為弦，且AC∶BC＝4∶3，AB＝10 cm，OD⊥AC于D.求四邊形OBCD的面積． 圖2-1-3 【精彩點(diǎn)撥】　由AB是半圓的直徑知∠C＝90°，再由條件求出OD，CD，BC的長可得四邊形OBCD的面積． 【自主解答】　∵AB是半圓的直徑，∴∠C＝90°. ∵AC∶BC＝4∶3，AB＝10 cm， ∴AC＝8 cm，BC＝6 cm. 又∵OD⊥AC，∴OD∥BC. ∴OD是△ABC的中位線， ∴CD＝AC＝4 cm，OD＝BC＝3

6、cm. ∴S四邊形OBCD＝(OD＋BC)·DC ＝×(3＋6)×4＝18 cm2. 在圓中，直徑是一條特殊的弦，其所對的圓周角是直角，所對的弧是半圓，利用此性質(zhì)既可以計(jì)算角大小、線段長度，又可以證明線線垂直、平行等位置關(guān)系，還可以證明比例式相等. [再練一題] 2.如圖2-1-4，已知等腰三角形ABC中，以腰AC為直徑作半圓交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，若∠BAC＝50°，則的度數(shù)為(　　) 圖2-1-4 A．25°　　　 B．50° C．100° D．120° 【解析】　如圖，連接AF. ∵AC為⊙O的直徑， ∴∠AFC＝90°， ∴AF⊥BC.

7、 ∵AB＝AC， ∴∠BAF＝∠BAC＝25°， ∴的度數(shù)為50°. 【答案】　B [探究共研型] 圓周角定理 探究1　圓的一條弦所對的圓周角都相等嗎？ 【提示】　不一定相等．一般有兩種情況：相等或互補(bǔ)，弦所對的優(yōu)弧與所對劣弧上的點(diǎn)所成的圓周角互補(bǔ)，所對同一條弧上的圓周角都相等，直徑所對的圓周角既相等又互補(bǔ)． 探究2　“相等的圓周角所對的弧相等”，正確嗎？ 【提示】　不正確．“相等的圓周角所對的弧相等”是在“同圓或等圓中”這一大前提下成立，如圖． 若AB∥DG，則∠BAC＝∠EDF，但≠. 　如圖2-1-5，△ABC的角平分線AD的延長線交它的外接圓于點(diǎn)E.

8、 圖2-1-5 (1)證明：△ABE∽△ADC； (2)若△ABC的面積S＝AD·AE，求∠BAC的大小． 【精彩點(diǎn)撥】　(1)通過證明角相等來證明三角形相似． (2)利用(1)的結(jié)論及面積相等求sin∠BAC的大小，從而求∠BAC的大?。? 【自主解答】　(1)證明：由已知條件，可得∠BAE＝∠CAD. 因?yàn)椤螦EB與∠ACB是同弧上的圓周角，所以∠AEB＝∠ACD. 故△ABE∽△ADC. (2)因?yàn)椤鰽BE∽△ADC，所以＝，即AB·AC＝AD·AE. 又S＝AB·ACsin∠BAC且S＝AD·AE， 故AB·ACsin∠BAC＝AD·AE， 則sin∠BAC＝1，又

9、∠BAC為三角形內(nèi)角，所以∠BAC＝90°. 1．解答本題(2)時關(guān)鍵是利用AB·AC＝AD·AE以及面積S＝AB·ACsin∠BAC確定sin∠BAC的值． 2．利用圓中角的關(guān)系證明時應(yīng)注意的問題 (1)分析已知和所證，找好所在的三角形，并根據(jù)三角形所在圓上的特殊性，尋求相關(guān)的圓周角作為橋梁； (2)當(dāng)圓中出現(xiàn)直徑時，要注意尋找直徑所對的圓周角，然后在直角三角形中處理相關(guān)問題． [再練一題] 3.如圖2-1-6，AB是圓O的直徑，D，E為圓O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，連接BD并延長至點(diǎn)C，使BD＝DC，連接AC，AE，DE. 求證：∠E＝∠C. 圖2-1-6 【

10、證明】　如圖，連接OD，因?yàn)锽D＝DC，O為AB的中點(diǎn)， 所以O(shè)D∥AC，于是∠ODB＝∠C. 因?yàn)镺B＝OD，所以∠ODB＝∠ B. 于是∠B＝∠C. 因?yàn)辄c(diǎn)A，E，B，D都在圓O上，且D，E為圓O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，所以∠E和∠B為同弧所對的圓周角， 故∠E＝∠B，所以∠E＝∠C. [構(gòu)建·體系] 1．如圖2-1-7，在⊙O中，∠BOC＝50°，則∠A的大小為(　　) 圖2-1-7 A．25°　　　 B．50° C．75° D．100° 【解析】　由圓周角定理得 ∠A＝∠BOC＝25°. 【答案】　A 2．如圖2-1-8，已知AB是半圓O的直徑

11、，弦AD，BC相交于點(diǎn)P，若CD＝3，AB＝4，則tan∠BPD等于(　　) 圖2-1-8 A. B. C. D. 【解析】　連接BD，則∠BDP＝90°， ∵∠DCP＝∠BAP，∠CDP＝∠ABP， ∴△CPD∽△APB，∴＝＝， 在Rt△BPD中，cos∠BPD＝，∴cos∠BPD＝， ∴tan∠BPD＝.故選D. 【答案】　D 3．如圖2-1-9，A，B，C是⊙O的圓周上三點(diǎn)，若∠BOC＝3∠BOA，則∠CAB是∠ACB的________倍． 圖2-1-9 【解析】　∵∠BOC＝3∠BOA，∴＝3， ∴∠CAB＝3∠ACB. 【答案】　3 4

12、．如圖2-1-10所示，兩個同心圓中，的度數(shù)是30°，且大圓半徑R＝4，小圓半徑r＝2，則的度數(shù)是________． 圖2-1-10 【解析】　的度數(shù)等于∠AOB，又的度數(shù)等于∠AOB，則的度數(shù)是30°. 【答案】　30° 5．如圖2-1-11，已知A，B，C，D是⊙O上的四個點(diǎn)，AB＝BC，BD交AC于點(diǎn)E，連接CD，AD. 圖2-1-11 (1)求證：DB平分∠ADC； (2)若BE＝3，ED＝6，求AB的長． 【解】　(1)證明：∵AB＝BC， ∴＝， ∴∠BDC＝∠ADB， ∴DB平分∠ADC. (2)由(1)可知＝， ∴∠BAC＝∠ADB. ∵∠A

13、BE＝∠ABD. ∴△ABE∽△DBA，∴＝. ∵BE＝3，ED＝6，∴BD＝9， ∴AB2＝BE·BD＝3×9＝27， ∴AB＝3. 我還有這些不足： (1)　 (2)　 我的課下提升方案： (1)　 (2)　 學(xué)業(yè)分層測評(六) (建議用時：45分鐘) [學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)] 一、選擇題 1．如圖2-1-12所示，若圓內(nèi)接四邊形的對角線相交于E，則圖中相似三角形有(　　) 圖2-1-12 A．1對　　　　　　 B．2對 C．3對 D．4對 【解析】　由推論知：∠ADB＝∠ACB，∠ABD＝∠ACD，∠BAC＝∠BDC，∠CAD＝∠CBD，∴△

14、AEB∽△DEC，△AED∽△BEC. 【答案】　B 2．如圖2-1-13所示，圓O上一點(diǎn)C在直徑AB上的射影為D，CD＝4，BD＝8，則圓O的半徑等于(　　) 圖2-1-13 A．6 B．8 C．4 D．5 【解析】　∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°. 又∵CD⊥AB， 由射影定理可知，CD2＝AD·BD， ∴42＝8AD，∴AD＝2， ∴AB＝BD＋AD＝8＋2＝10， ∴圓O的半徑為5. 【答案】　D 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝2，則此三角形外接圓半徑為(　　) A. B．2 C．2 D．4 【解析】　由推論2知A

15、B為Rt△ABC的外接圓的直徑，又AB＝＝4，故外接圓半徑r＝AB＝2. 【答案】　B 4．如圖2-1-14所示，等腰△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝AC，∠A＝40°，D是的中點(diǎn)，E是的中點(diǎn)，分別連接BD，DE，BE，則△BDE的三內(nèi)角的度數(shù)分別是(　　) 圖2-1-14 A．50°，30°，100° B．55°，20°，105° C．60°，10°，110° D．40°，20°，120° 【解析】　如圖所示，連接AD. ∵AB＝AC，D是的中點(diǎn)， ∴AD過圓心O. ∵∠A＝40°， ∴∠BED＝∠BAD＝20°， ∠CBD＝∠CAD＝20°. ∵E是的中點(diǎn)， ∴

16、∠CBE＝∠CBA＝35°， ∴∠EBD＝∠CBE＋∠CBD＝55°， ∴∠BDE＝180°－20°－55°＝105°， 故選B. 【答案】　B 5．如圖2-1-15，點(diǎn)A，B，C是圓O上的點(diǎn)，且AB＝4，∠ACB＝30°，則圓O的面積等于(　　) 圖2-1-15 A．4π B．8π C．12π D．16π 【解析】　連接OA，OB. ∵∠ACB＝30°， ∴∠AOB＝60°. 又∵OA＝OB， ∴△AOB為等邊三角形． 又AB＝4，∴OA＝OB＝4， ∴S⊙O＝π·42＝16π. 【答案】　D 二、填空題 6．如圖2-1-16，已知Rt△ABC的兩

17、條直角邊AC，BC的長分別為3 cm，4 cm，以AC為直徑的圓與AB交于點(diǎn)D，則＝________. 圖2-1-16 【解析】　連接CD，∵AC是⊙O的直徑， ∴∠CDA＝90°.由射影定理得BC2＝BD·AB，AC2＝AD·AB， ∴＝，即＝. 【答案】　 7．(2016·天津高考)如圖2-1-17，AB是圓的直徑，弦CD與AB相交于點(diǎn)E，BE＝2AE＝2，BD＝ED，則線段CE的長為________． 圖2-1-17 【解析】　如圖，設(shè)圓心為O，連接OD，則OB＝OD. 因?yàn)锳B是圓的直徑，BE＝2AE＝2，所以AE＝1，OB＝. 又BD＝ED，∠B為△BOD

18、與△BDE的公共底角， 所以△BOD∽△BDE，所以＝， 所以BD2＝BO·BE＝3，所以BD＝DE＝. 因?yàn)锳E·BE＝CE·DE，所以CE＝＝. 【答案】　 8.如圖2-1-18，AB為⊙O的直徑，弦AC，BD交于點(diǎn)P，若AB＝3，CD＝1，則sin∠APD＝__________. 圖2-1-18 【解析】　由于AB為⊙O的直徑，則∠ADP＝90°， 所以△APD是直角三角形， 則sin∠APD＝，cos∠APD＝， 由題意知，∠DCP＝∠ABP，∠CDP＝∠BAP， 所以△PCD∽△PBA. 所以＝，又AB＝3，CD＝1，則＝. ∴cos∠APD＝.又∵si

19、n2∠APD＋cos2∠APD＝1， ∴sin∠APD＝. 【答案】　 三、解答題 9．如圖2-1-19所示，⊙O中和的中點(diǎn)分別為點(diǎn)E和點(diǎn)F，直線EF交AC于點(diǎn)P，交AB于點(diǎn)Q.求證：△APQ為等腰三角形． 圖2-1-19 【證明】　連接AF，AE. ∵E是的中點(diǎn)，即＝， ∴∠AFP＝∠EAQ， 同理∠FAP＝∠AEQ. 又∵∠AQP＝∠EAQ＋∠AEQ，∠APQ＝∠AFP＋∠FAP， ∴∠AQP＝∠APQ，即△APQ為等腰三角形． 10．如圖2-1-20(1)所示，在圓內(nèi)接△ABC中，AB＝AC，D是BC邊上的一點(diǎn)，E是直線AD和△ABC外接圓的交點(diǎn)． 圖2

20、-1-20 (1)求證：AB2＝AD·AE； (2)如圖2-1-20(2)所示，當(dāng)D為BC延長線上的一點(diǎn)時，第(1)題的結(jié)論成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由． 【解】　(1)證明：如圖(3)， 連接BE. ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB. ∵∠ACB＝∠AEB， ∴∠ABC＝∠AEB. 又∠BAD＝∠EAB， ∴△ABD∽△AEB， ∴AB∶AE＝AD∶AB， 即AB2＝AD·AE. (2)如圖(4)，連接BE， 結(jié)論仍然成立，證法同(1)． [能力提升] 1．如圖2-1-21，已知AB是半圓O的直徑，弦AD，BC相交于點(diǎn)P，那么等于(　　)

21、 圖2-1-21 A．sin∠BPD B．cos∠BPD C．tan∠BPD D．以上答案都不對 【解析】　連接BD，由BA是直徑， 知△ADB是直角三角形． 由∠DCB＝∠DAB， ∠CDA＝∠CBA，∠CPD＝∠BPA，得△CPD∽△APB， ＝＝cos ∠BPD. 【答案】　B 2．如圖2-1-22所示，已知⊙O為△ABC的外接圓，AB＝AC＝6，弦AE交BC于D，若AD＝4，則AE＝__________. 圖2-1-22 【解析】　連接CE，則∠AEC＝∠ABC， 又△ABC中，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠AEC＝∠ACB， ∴

22、△ADC∽△ACE， ∴＝， ∴AE＝＝9. 【答案】　9 3．如圖2-1-23，在⊙O中，已知∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝3，則△ABC的周長是__________． 圖2-1-23 【解析】　由圓周角定理， 得∠A＝∠D＝∠ACB＝60°， ∴AB＝BC， ∴△ABC為等邊三角形． ∴周長等于9. 【答案】　9 4.如圖2-1-24，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D，連接BE，AD交于點(diǎn)P.求證： 圖2-1-24 (1)D是BC的中點(diǎn)； (2)△BEC∽△ADC； (3)AB·CE＝2DP·AD. 【證明

23、】　(1)因?yàn)锳B是⊙O的直徑， 所以∠ADB＝90°，即AD⊥BC， 因?yàn)锳B＝AC，所以D是BC的中點(diǎn)． (2)因?yàn)锳B是⊙O的直徑， 所以∠AEB＝∠ADB＝90°， 即∠CEB＝∠CDA＝90°， 因?yàn)椤螩是公共角， 所以△BEC∽△ADC. (3)因?yàn)椤鰾EC∽△ADC， 所以∠CBE＝∠CAD. 因?yàn)锳B＝AC，BD＝CD， 所以∠BAD＝∠CAD， 所以∠BAD＝∠CBE， 因?yàn)椤螦DB＝∠BEC＝90°， 所以△ABD∽△BCE， 所以＝，所以＝， 因?yàn)椤螧DP＝∠BEC＝90°，∠PBD＝∠CBE， 所以△BPD∽△BCE， 所以＝. 因?yàn)锽C＝2BD，所以＝， 所以AB·CE＝2DP·AD. 最新精品資料