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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 第3講 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 一、選擇題 1．已知集合A＝{(x，y)|x，y為實(shí)數(shù)，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y為實(shí)數(shù)，且x＋y＝1}，則A∩B的元素個(gè)數(shù)為(　　)． A．4 B．3 C．2 D．1 解析　法一　(直接法)集合A表示圓，集合B表 示一條直線，又圓心(0,0)到直線x＋y＝1的距離 d＝＝＜1＝r，所以直線與圓相交，故選C. 法二　(數(shù)形結(jié)合法)畫(huà)圖可得，故選C. 答案　C 2．若直線x－y＋1＝0與圓(x－a)2＋y2＝2有公共點(diǎn)，則實(shí)

2、數(shù)a的取值范圍是 (　　)． A．[－3，－1] B．[－1,3] C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞) 解析　由題意可得，圓的圓心為(a,0)，半徑為， ∴≤，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1. 答案　C 3．若圓(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始終平分圓(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周長(zhǎng)，則a，b滿足的關(guān)系是(　　) A．a(chǎn)2＋2a＋2b－3＝0 B．a(chǎn)2＋b2＋2a＋2b＋5＝0 C．a(chǎn)2＋2a＋2b＋5＝0 D．a(chǎn)2－2a－2b＋5＝0 解析 即兩圓的公共弦必過(guò)(x＋1)2＋

3、(y＋1)2＝4的圓心， 兩圓相減得相交弦的方程為－2(a＋1)x－2(b＋1)y＋a2＋1＝0， 將圓心坐標(biāo)(－1，－1)代入可得a2＋2a＋2b＋5＝0. 答案　C 4．若圓C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)與圓C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0(b∈R)恰有三條切線，則a＋b的最大值為 (　　)． A．－3 B．－3 C．3 D．3 解析　易知圓C1的圓心為C1(－a,0)，半徑為r1＝2； 圓C2的圓心為C2(0，b)，半徑為r2＝1. ∵兩圓恰有三條切線，∴兩圓外切， ∴|C1C2|＝r1＋r2，即a2＋b2＝9.∵

4、2≤， ∴a＋b≤3(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)取“＝”)， ∴a＋b的最大值為3. 答案　D 5．若曲線C1：x2＋y2－2x＝0與曲線C2：y(y－mx－m)＝0有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 (　　)． A. B.∪ C. D.∪ 解析　C1：(x－1)2＋y2＝1，C2：y＝0或y＝mx＋m＝m(x＋1)． 當(dāng)m＝0時(shí)，C2：y＝0，此時(shí)C1與C2顯然只有兩個(gè)交點(diǎn)； 當(dāng)m≠0時(shí)，要滿足題意，需圓(x－1)2＋y2＝1與直線y＝m(x＋1)有兩交點(diǎn)，當(dāng)圓與直線相切時(shí)，m＝±，即直線處于兩切線之間時(shí)滿足題意， 則－

5、0

6、1OO1＝θ，故∠M1O1A＝∠M1OO1＋∠OM1O1＝2θ.大圓圓弧的長(zhǎng)為l1＝θ×2＝2θ，小圓圓弧的長(zhǎng)為l2＝2θ×1＝2θ，則l1＝l2，即小圓的兩段圓弧與的長(zhǎng)相等，故點(diǎn)M1與點(diǎn)M′重合．即動(dòng)點(diǎn)M在線段MO上運(yùn)動(dòng)，同理可知，此時(shí)點(diǎn)N在線段OB上運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)A在其他象限類似可得，故M，N的軌跡為相互垂直的線段．觀察各選項(xiàng)知，只有選項(xiàng)A符合．故選A. 答案　A 二、填空題 7．直線y＝x被圓x2＋(y－2)2＝4截得的弦長(zhǎng)為_(kāi)_______． 解析　由題意得，圓x2＋(y－2)2＝4的圓心為(0,2)，半徑為2，圓心到直線x－y＝0的距離d＝＝. 設(shè)截得的弦長(zhǎng)為l，則由2＋()2＝

7、22，得l＝2. 答案　2 8．設(shè)集合A＝(x，y)(x－2)2＋y2≤m2，x，y∈R，B＝{(x，y)|2m≤x＋y≤2m＋1，x，y∈R}，若A∩B＝?，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________． 解析　∵A∩B≠?，∴A≠?， ∴m2≥.∴m≥或m≤0.顯然B≠?. 要使A∩B≠?，只需圓(x－2)2＋y2＝m2(m≠0)與x＋y＝2m或x＋y＝2m＋1有交點(diǎn)，即≤|m|或≤|m|，∴≤m≤2＋. 又∵m≥或m≤0，∴≤m≤2＋. 當(dāng)m＝0時(shí)，(2,0)不在0≤x＋y≤1內(nèi)． 綜上所述，滿足條件的m的取值范圍為. 答案　 9．從原點(diǎn)向圓x2＋y2－12y＋27＝0作兩條

8、切線，則該圓夾在兩條切線間的劣弧長(zhǎng)為_(kāi)_______． 解析　(數(shù)形結(jié)合法)如圖，圓x2＋y2－12y＋27＝0 可化為x2＋(y－6)2＝9，圓心坐標(biāo)為(0,6)，半徑為3. 在Rt△OBC中可得：∠OCB＝，∴∠ACB＝， ∴所求劣弧長(zhǎng)為2π. 答案　2 π 10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓x2＋y2＝4上有且只有四個(gè)點(diǎn)到直線12x－5y＋c＝0的距離為1，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是________． 解析　畫(huà)圖可知，圓上有且只有四個(gè)點(diǎn)到直線12x－5y＋c＝0的距離為1，該圓半徑為2即圓心O(0,0)到直線12x－5y＋c＝0的距離d＜1，即0＜＜1，∴－13＜c＜13.

9、 答案　(－13,13) 三、解答題 11．已知：圓C：x2＋y2－8y＋12＝0，直線l：ax＋y＋2a＝0. (1)當(dāng)a為何值時(shí)，直線l與圓C相切； (2)當(dāng)直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝2時(shí)，求直線l的方程． 解　將圓C的方程x2＋y2－8y＋12＝0化成標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y－4)2＝4，則此圓的圓心為(0,4)，半徑為2. (1)若直線l與圓C相切，則有＝2，解得a＝－. (2)過(guò)圓心C作CD⊥AB，則根據(jù)題意和圓的性質(zhì)， 得 解得a＝－7或a＝－1. 故所求直線方程為7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0. 12．已知與圓C：x2＋y2－2x－2y＋1＝

10、0相切的直線l交x軸，y軸于A，B兩點(diǎn)，|OA|＝a，|OB|＝b(a>2，b>2)． (1)求證：(a－2)(b－2)＝2； (2)求線段AB中點(diǎn)的軌跡方程； (3)求△AOB面積的最小值． 解 (1)證明：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x－1)2＋(y－1)2＝1，設(shè)直線方程為＋＝1，即bx＋ay－ab＝0，圓心到該直線的距離d＝＝1， 即a2＋b2＋a2b2＋2ab－2a2b－2ab2＝a2＋b2，即a2b2＋2ab－2a2b－2ab2＝0， 即ab＋2－2a－2b＝0，即(a－2)(b－2)＝2. (2)設(shè)AB中點(diǎn)M(x，y)，則a＝2x，b＝2y，代入(a－2)(b－2)＝2，

11、得(x－1)(y－1)＝(x>1，y>1)． (3)由(a－2)(b－2)＝2得ab＋2＝2(a＋b)≥4， 解得≥2＋(舍去≤2－)， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，ab取最小值6＋4， 所以△AOB面積的最小值是3＋2. 13．設(shè)直線l的方程為y＝kx＋b(其中k的值與b無(wú)關(guān))，圓M的方程為x2＋y2－2x－4＝0. (1)如果不論k取何值，直線l與圓M總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求b的取值范圍； (2)b＝1時(shí)，l與圓交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|的最大值和最小值． 解　圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋y2＝5， ∴圓心M的坐標(biāo)為(1,0)，半徑為r＝. (1)∵不論k取何值，直線l總過(guò)點(diǎn)P(

12、0，b)， ∴欲使l與圓M總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，必須且只需點(diǎn)P在圓M的內(nèi)部，即|MP|<，即1＋b2<5， ∴－2