《新編高三數(shù)學理,山東版一輪備課寶典 第四章　平面向量》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《新編高三數(shù)學理,山東版一輪備課寶典 第四章　平面向量（41頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、新編高考數(shù)學復習資料第四章平面向量第一節(jié)平面向量的基本概念及線性運算考情展望1.在平面幾何圖形中考查向量運算的平行四邊形法則及三角形法則.2.以四種命題及充分必要條件為知識載體，考查向量的有關(guān)概念.3.借助共線向量定理探求點線關(guān)系或求參數(shù)的值一、向量的有關(guān)概念1向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度(或模)2零向量：長度為0的向量，其方向是任意的3單位向量：長度等于1個單位的向量4平行向量：方向相同或相反的非零向量平行向量又叫共線向量規(guī)定：0與任一向量平行5相等向量：長度相等且方向相同的向量6相反向量：長度相等且方向相反的向量二、向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義

2、)運算律加法求兩個向量和的運算三角形法則平行四邊形法則(1)交換律：abba.(2)結(jié)合律：(ab)ca(bc)減法求a與b的相反向量b的和的運算叫做a與b的差三角形法則aba(b)數(shù)乘求實數(shù)與向量a的積的運算(1)|a|a|；(2)當0時，a的方向與a的方向相同；當0時，a的方向與a的方向相反；當0時，a0.(a)a；()aaa；(ab)ab向量加減法運算的兩個關(guān)鍵點：加法的三角形法則關(guān)鍵是“首尾相接，指向終點”，并可推廣為多個向量相加的“多邊形法則”；減法的三角形法則關(guān)鍵是“起點重合，指向被減向量”三、平面向量共線定理向量b與a(a0)共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)，使得ba.巧用系數(shù)判

3、共線(，R)，若A，B，C三點共線，則1；反之，也成立1化簡的結(jié)果為()A.B.C.D.【解析】 ()().【答案】D2下列給出的命題正確的是()A零向量是唯一沒有方向的向量B平面內(nèi)的單位向量有且僅有一個Ca與b是共線向量，b與c是平行向量，則a與c是方向相同的向量D相等的向量必是共線向量【解析】 零向量方向任意，而不是沒有方向，故A錯；平面內(nèi)單位向量有無數(shù)個，故B錯；若b0，b與a、c都平行，但a、c不一定共線，故C錯；相等的向量方向相同，必是共線向量，故D正確【答案】D3設(shè)a，b為不共線向量，a2b，4ab，5a3b，則下列關(guān)系式中正確的是()A. B.2C. D.2【解析】 (a2b)(

4、4ab)(5a3b)8a2b2(4ab)2.【答案】B4已知a與b是兩個不共線向量，且向量ab與(b3a)共線，則的值為()A1 B1 C. D【解析】 由題意知abk(b3a)kb3ka，解得【答案】D5(2012四川高考)設(shè)a、b都是非零向量，下列四個條件中，使成立的充分條件是()Aab BabCa2b Dab且|a|b|【解析】 表示與a同向的單位向量，表示與b同向的單位向量，只要a與b同向，就有，觀察選擇項易知C滿足題意【答案】C6(2013四川高考)在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，則_.【解析】 由向量加法的平行四邊形法則，得.又O是AC的中點，AC2AO，2，2.

5、又，2.【答案】2考向一 071平面向量的有關(guān)概念給出下列四個命題：若|a|b|，則ab或ab；若，則四邊形ABCD為平行四邊形；若a與b同向，且|a|b|，則ab；，為實數(shù)，若ab，則a與b共線其中假命題的個數(shù)為()A1B2C3D4【思路點撥】以概念為判斷依據(jù)，或通過舉反例來說明其不正確【嘗試解答】不正確|a|b|但a、b的方向不確定，故a，b不一定相等；不正確因為，A、B、C、D可能在同一直線上，所以ABCD不一定是四邊形不正確兩向量不能比較大小不正確當0時，a與b可以為任意向量，滿足ab，但a與b不一定共線【答案】D規(guī)律方法11.(1)易忽視零向量這一特殊向量，誤認為是正確的；(2)充分

6、利用反例進行否定是對向量的有關(guān)概念題進行判定的行之有效的方法.2.準確理解向量的基本概念是解決這類題目的關(guān)鍵.(1)相等向量具有傳遞性，非零向量平行也具有傳遞性.(2)共線向量(平行向量)和相等向量均與向量的起點無關(guān).3.“向量”和“有向線段”是兩個不同的概念，向量只有兩個要素：大小、方向；而有向線段有三個要素：起點、方向、長度.對點訓練給出下列四個命題：兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同；若ab，bc，則ac；若ab，bc，則ac；ab的充要條件是|a|b|且ab.其中假命題的個數(shù)為()A1B2C3D4【解析】 不正確兩個向量起點相同，終點相同，則兩向量相等；但兩個向量相等，不一定有相

7、同的起點和終點正確根據(jù)向量相等的定義知不正確若b0時，b與a、c都平行，但a、c不一定平行不正確ab的充要條件是|a|b|且a，b同向【答案】C考向二 072平面向量的線性運算(2014寧波模擬)(1)在ABC中，若D是AB邊上一點，且2，則()A.B.CD(2)若O是ABC所在平面內(nèi)一點，D為BC邊中點，且20，那么()A. B.2C.3 D2【思路點撥】(1)D是AB邊上的三等分點，把用、表示；(2)由D為BC邊中點可得2，代入已知條件即可求解【嘗試解答】(1)()，所以，故選A.(2)因為D為BC邊中點，2，又20，220，即，故選A.【答案】(1)A(2)A規(guī)律方法21.解答本例(1)

8、的關(guān)鍵是利用向量的加法與減法把用、表示出來.解答本例(2)的關(guān)鍵是2.2.進行向量的線性運算時，要盡可能轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，選用從同一頂點出發(fā)的基本向量或首尾相連的向量，運用向量加、減法運算及數(shù)乘運算來解.對點訓練圖411(1)如圖411所示，向量a，b，c，A、B、C在一條直線上，若3，則()AcabBcabCca2bDca2b(2)若|2，則|_.【解析】 (1)33()33，23，cab.(2)|2，ABC是邊長為2的正三角形，|為三角形高的2倍，所以|2.【答案】(1)A(2)2考向三 073共線向量定理的應(yīng)用設(shè)兩個非零向量e1和e2不共線(1)如果e1e2，3e12e2，8e

9、12e2，求證：A、C、D三點共線(2)如果e1e2，2e13e2，3e1ke2，且A、C、F三點共線，求k的值【思路點撥】(1)A、C、D三點共線存在實數(shù)使.(2)A、C、F三點共線存在實數(shù)，使.【嘗試解答】(1)e1e2，3e12e2，4e1e2，又8e12e2，所以2，與共線，又與有公共點C，A、C、D三點共線(2)e1e2，2e13e2，3e12e2.A、C、F三點共線，從而存在實數(shù)，使得.3e12e23e1ke2，又e1，e2是不共線的非零向量，因此k2.所以實數(shù)k的值為2. 規(guī)律方法31.向量b與非零向量a共線的充要條件是存在唯一實數(shù)，使ba.要注意通常只有非零向量才能表示與之共線

10、的其他向量，要注意待定系數(shù)法和方程思想的運用.2.證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線.對點訓練(1)已知向量a，b不共線，ckab(kR)，dab.如果cd，那么()Ak1且c與d同向Bk1且c與d反向Ck1且c與d同向 Dk1且c與d反向(2)(2014洛陽模擬)對于非零向量a、b，“ab0”是“ab”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件【解析】 (1)cd，cd，即kab(ab)ab，k1，故選D.(2)由ab0知道a與b互為相反向量，從而ab，充分性成立由ab知ab，1時，ab0，必要性不成立【答

11、案】(1)D(2)A易錯易誤之八忽視零向量的特殊性致誤1個示范例1個防錯練(2014荊州模擬)下列命題正確的是()A向量a、b共線的充要條件是有且僅有一個實數(shù)，使baB在ABC中，0C不等式|a|b|ab|a|b|中兩個等號不可能同時成立D向量a、b不共線，則向量ab與向量ab必不共線【解析】 A不正確，當ab0時，有無數(shù)個實數(shù)滿足ba.此處在求解時，常因忽視“共線向量定理中的條件a0”而致誤B不正確，在ABC中，0.此處在求解時，常因混淆向量與數(shù)量的關(guān)系致誤，0是向量，其模為0，而0是數(shù)量，沒有方向C不正確，當b0時，不等式|a|a|a|顯然成立此處在求解時，常受代數(shù)不等式|a|b|ab|a

12、|b|的影響，而忽略了向量中0的作用導致錯誤D正確向量a與b不共線，a，b，ab與ab均不為零向量若ab與ab平行，則存在實數(shù)，使ab(ab)，即(1)a(1)b，無解，故假設(shè)不成立，即ab與ab不平行，故選D.【防范措施】 (1)共線向量定理中，ba要求a0，否則值可能不存在(2)向量的加減及數(shù)乘運算的結(jié)果，仍然是一個向量，而不是一個數(shù)(3)應(yīng)熟練掌握向量不等式|a|b|ab|a|b|等號成立的條件下列說法不正確的有_若ab，則a與b的方向相同或相反；若a0，則0；相反向量必不相等；若ae1e2，b2e1，R，且0，則ab 的充要條件是e20.【解析】 不正確，如a0.不正確，a0，則0或a

13、0.不正確，00.不正確，當e1e2時該命題也成立【答案】第二節(jié)平面向量基本定理及坐標表示考情展望1.考查用平面向量的坐標運算進行向量的線性運算.2.考查應(yīng)用平面向量基本定理進行向量的線性運算.3.以向量的坐標運算及共線向量定理為載體，考查學生分析問題和解決問題的能力一、平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于該平面內(nèi)任一向量a，有且只有一對實數(shù)1，2，使a1e12e2，其中e1，e2是一組基底二、平面向量的坐標運算及向量平行的坐標表示1平面向量的坐標運算(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)(b0)，則ab(x1x2，y1y2)(2)若A(x1，y1)，B(x

14、2，y2)，則(x2x1，y2y1)，|.(3)若a(x，y)，R，則a(x，y)2向量平行的坐標表示(1)如果a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件為x1y2x2y10.(2)三點A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)共線的充要條件為(x2x1)(y3y1)(x3x1)(y2y1)0.共線向量的坐標表示若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件不能表示成，因為x2，y2有可能等于0，所以應(yīng)表示為x1y2x2y10.1下列各組向量：e1(1,2)，e2(5,7)；e1(3,5)，e2(6,10)；e1(2，3)，e2(，)，能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向

15、量基底的是()ABCD【解析】 中，e22e1，e1與e2共線；中e14e2，e1與e2共線，故選A.【答案】A2若a(3,2)，b(0，1)，則2ba的坐標是()A(3，4) B(3,4)C(3,4) D(3，4)【解析】 2ba2(0，1)(3,2)(3，4)【答案】D3已知a(4,5)，b(8，y)且ab，則y等于()A5 B10 C. D15【解析】 ab，4y400，y10.【答案】B4在平行四邊形ABCD中，若(1,3)，(2,5)，則_，_.【解析】 (2,5)(1,3)(1,2)，(1,2)(1,3)(0，1)【答案】(1,2)(0，1)5(2013廣東高考)設(shè)a是已知的平面向

16、量且a0.關(guān)于向量a的分解，有如下四個命題：給定向量b，總存在向量c，使abc；給定向量b和c，總存在實數(shù)和，使ab c；給定單位向量b和正數(shù)，總存在單位向量c和實數(shù)，使ab c；給定正數(shù)和，總存在單位向量b和單位向量c，使ab c.上述命題中的向量b，c和a在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，則真命題的個數(shù)是()A1B2C3D4【解析】 顯然命題是正確的對于，以a的終點作長度為的圓，這個圓必須和向量b有交點，這個不一定能滿足，是錯的，對于命題，若1，|a|2時，與|a|bc|b|c|2矛盾，則不正確【答案】B6(2013北京高考)向量a，b，c在正方形圖421網(wǎng)格中的位置如圖421所示，若cab(，R

17、)，則_.【解析】 以向量a的終點為原點，過該點的水平和豎直的網(wǎng)格線所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標系，設(shè)一個小正方形網(wǎng)格的邊長為1，則a(1,1)，b(6,2)，c(1，3)由ca b，即(1，3)(1,1)(6,2)，得61，23，故2，則4.【答案】4考向一 074平面向量基本定理及其應(yīng)用(1)(2014長春模擬)在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點若，其中，R，則_.圖422(2)如圖422，在四邊形ABCD中，AC和BD相交于點O，設(shè)a，b，若2，則_(用向量a和b表示)【思路點撥】(1)以，為基底分別表示，根據(jù)平面向量基本定理列方程組求解(2)2借助三角形法則

18、表示.【嘗試解答】(1)選擇，作為平面向量的一組基底，則，又()()，于是得解得所以.(2)由2知，ABDC且|2|，從而|2|.()(ab)，b(ab)ab.【答案】(1)(2)a規(guī)律方法11.解答本例(1)的關(guān)鍵是根據(jù)平面向量基本定理列出關(guān)于，的方程組2(1)利用平面向量基本定理表示向量時，要選擇一組恰當?shù)幕讈肀硎酒渌蛄?，即用特殊向量表示一般向量常與待定系數(shù)法、方程思想緊密聯(lián)系在一起解決問題(2)利用已知向量表示未知向量，實質(zhì)就是利用三角形法則進行向量的加減運算，在解題時，注意方程思想的運用對點訓練(2013江蘇高考)設(shè)D，E分別是ABC的邊AB，BC上的點，ADAB，BEBC.若12

19、(1，2為實數(shù))，則12的值為_【解析】 由題意()，于是1，2，故12.【答案】考向二 075平面向量的坐標運算已知O(0,0)，A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)設(shè)a，b，c，且3c，2b，(1)求：3ab3c；(2)求滿足ambnc的實數(shù)m，n；(3)求M、N的坐標及向量的坐標【思路點撥】利用向量的坐標運算及向量的坐標與其起點、終點坐標的關(guān)系求解【嘗試解答】a(3(2)，14)(5，5)，b(33，4(1)(6，3)，c(2(3)，4(4)(1,8)(1)3ab3c(15，15)(6，3)(3,24)(1563，15324)(6，42)(2)由ambnc，得(5，5)(6m，3m)

20、(n,8n)(6mn，3m8n)解得(3)3c，3c(3,24)(3，4)(0,20)M(0,20)又2b，2b(12,6)(3，4)(9,2)，N(9,2)(9，18)規(guī)律方法21.向量的坐標運算主要是利用向量加減、數(shù)乘運算的法則進行.若已知有向線段兩端點的坐標，則應(yīng)先求向量的坐標，注意方程思想的應(yīng)用.2.平面向量的坐標運算的引入為向量提供了新的語言“坐標語言”，實質(zhì)是“形”化為“數(shù)”.向量的坐標運算，使得向量的線性運算都可用坐標來進行，實現(xiàn)了向量運算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結(jié)合起來.對點訓練如圖423，已知平行四邊形的三個頂點坐標分別為A(4,3)，B(3，1)，C(1，2)，求第四個頂點

21、D的坐標圖423【解】設(shè)頂點D(x，y)若平行四邊形四個頂點的順序為ABCD，則(34，13)(1，4)，(1x，2y)由，得解得故第四個頂點D的坐標為(2,2)；若平行四邊形四個頂點的順序為ACBD，則(14，23)(3，5)，(3x，1y)由，得解得故第四個頂點D的坐標為(6,4)；若平行四邊形四個頂點的順序為ABDC，則(34，13)(1，4)，(x1，y2)由，得解得故第四個頂點D的坐標為(0，6)綜上，第四個頂點D的坐標是(2,2)或(6,4)或(0，6)考向三 076平面向量共線的坐標表示(1)設(shè)向量a，b滿足|a|2，b(2,1)，且a與b的方向相反，則a的坐標為_(2)(201

22、4青島期中)向量a，b(cos ，1)，且ab，則cos 2()AB.CD.【思路點撥】(1)根據(jù)a與b的關(guān)系，設(shè)出a的坐標，再根據(jù)|a|2求解；(2)由向量平行關(guān)系的坐標表示列出等式，求出sin 后，再利用二倍角公式進行求解【嘗試解答】(1)a與b的方向相反且b(2,1)，設(shè)ab(2，)，0，又|a|2，42220，即24，又0，2，因此a(4，2)(2)a，b(cos ，1)，又由ab可知tan cos ，即sin ，cos 212sin21.【答案】(1)(4，2)(2)D規(guī)律方法31.兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件是x1

23、y2x2y10；(2)若ab(a0)，則ba.2向量共線的坐標表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù)當兩向量的坐標均非零時，也可以利用坐標對應(yīng)成比例來求解對點訓練(1)已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)若為實數(shù)，(ab)c，則()A.B.C1D2(2)已知向量(3，4)，(6，3)，(5m，3m)，若點A、B、C能構(gòu)成三角形，則實數(shù)m滿足的條件是_【解析】 (1)a(1,2)，b(1,0)，ab(1,2)(1,0)(1，2)，由于(ab)c，且c(3,4)，4(1)60，解得.(2)因為(3，4)，(6，3)，(5m，3m)，所以(3,1)，(m1，m)由于點A、B、C能構(gòu)

24、成三角形，所以與不共線，而當與共線時，有，解得m，故當點A、B、C能構(gòu)成三角形時實數(shù)m滿足的條件是m.【答案】(1)B(2)m思想方法之十二待定系數(shù)法在向量運算中的應(yīng)用根據(jù)向量之間的關(guān)系，利用待定系數(shù)法列出一個含有待定系數(shù)的恒等式，然后根據(jù)恒等式的性質(zhì)求出各待定系數(shù)的值或消去這些待定系數(shù)，找出原來那些系數(shù)之間的關(guān)系，從而使問題得到解決1個示范例1個對點練如圖424所示，在OAB中，AD與BC交于點M，設(shè)a，圖424b，利用a和b表示向量.【解】設(shè)manb，則manba(m1)anb.ba.因為A、M、D三點共線，所以存在實數(shù)，使，即(m1)anbab.所以消去，得m2n1，同理manbaanb

25、，ba，因為C、M、B三點共線，所以存在實數(shù)t，使t，即anbt.所以消去t，得4mn1，聯(lián)立，得m，n，所以ab.圖425如圖425所示，M是ABC內(nèi)一點，且滿足條件230，延長CM交AB于N，令a，試用a表示.【解】因為，所以由230，得()2()30，所以3230.又因為A，N，B三點共線，C，M，N三點共線，由平面向量基本定理，設(shè)，所以3230.所以(2)(33)0.由于和不共線，由平面向量基本定理，得所以所以，22a. 第三節(jié)平面向量的數(shù)量積考情展望1.以客觀題的形式考查平面向量數(shù)量積的計算，向量垂直條件與數(shù)量積的性質(zhì).2.以平面向量數(shù)量積為工具，與平面幾何、三角函數(shù)、解析幾何等知識

26、交匯命題，主要考查運算能力及數(shù)形結(jié)合思想一、平面向量的數(shù)量積1數(shù)量積的定義：已知兩個非零向量a和b，它們的夾角為，則向量a與b的數(shù)量積是數(shù)量|a|b|cos ，記作ab，即ab|a|b|cos .規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.2向量的投影：設(shè)為a與b的夾角，則向量a在b方向上的投影是|a|cos ；向量b在a方向上的投影是|b|cos .3數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 的乘積二、平面向量數(shù)量積的運算律1交換律：abba；2數(shù)乘結(jié)合律：(a)b(ab)a(b)；3分配律：a(bc)abac.三、平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標表示已知非零向量

27、a(x1，y1)，b(x2，y2)，為向量a，b的夾角結(jié)論幾何表示坐標表示模|a|a|數(shù)量積ab|a|b|cos abx1x2y1y2夾角cos cos ab的充要條件ab0x1x2y1y20|ab|與|a|b|的關(guān)系|ab|a|b|(當且僅當ab時等號成立)|x1x2y1y2|1已知a(1，3)，b(4,6)，c(2,3)，則(bc)a等于()A(26，78)B(28，42)C52 D78【解析】 bc426326，(bc)a(26，78)【答案】A2已知向量a、b滿足|a|1，|b|4，且ab2，則a與b的夾角為()A.B.C.D.【解析】 向量a、b滿足|a|1，|b|4，且ab2，設(shè)a

28、與b的夾角為，則cos ，.【答案】C3已知向量a，b和實數(shù)，下列選項中錯誤的是()A|a| B|ab|a|b|C(ab)ab D|ab|a|b|【解析】 |ab|a|b|cos |，故B錯誤【答案】B4已知向量a，b滿足ab0，|a|1，|b|2，則|2ab|()A0 B2 C4 D8【解析】 |a|1，|b|2，ab0|2ab|2.【答案】B5(2013湖北高考)已知點A(1,1)，B(1,2)，C(2，1)，D(3,4)，則向量在方向上的投影為()A. B.C D【解析】 由已知得(2,1)，(5,5)，因此在方向上的投影為.【答案】A6(2013課標全國卷)已知兩個單位向量a，b的夾角

29、為60，cta(1t)b，若bc0，則t_.【解析】 |a|b|1，a，b60.cta(1t)b，bctab(1t)b2t11(1t)11t1.bc0，10，t2.【答案】2考向一 077平面向量數(shù)量積的運算(1)(2012浙江高考)在ABC中，M是BC的中點，AM3，BC10，則_.(2)(2012北京高考)已知正方形ABCD的邊長為1，點E是AB邊上的動點，則的值為_；的最大值為_【思路點撥】(1)把，用，或表示；(2)建立平面直角坐標系，把向量用坐標表示或用數(shù)量積的幾何意義求解【嘗試解答】(1)如圖所示，()()22|2|292516.(2)法一如圖所示，以AB，AD所在的直線分別為x軸

30、和y軸建立平面直角坐標系，由于正方形邊長為1，故B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)又E在AB邊上，故設(shè)E(t,0)(0t1)則(t，1)，(0，1)故1.又(1,0)，(t，1)(1,0)t.又0t1，的最大值為1.法二ABCD是正方形，.|cosEDA|cosEDA|21.又E點在線段AB上運動，故為點E與點B重合時，在上的投影最大，此時|cos 451.所以的最大值為1.【答案】(1)16(2)11規(guī)律方法11.平面向量的數(shù)量積的運算有兩種形式，一是依據(jù)長度與夾角，二是利用坐標來計算.2.要有“基底”意識，關(guān)鍵用基向量表示題目中所求相關(guān)向量，如本例(1)中用、表示、等.注意向量夾角的

31、大小，以及夾角0，90，180三種特殊情形.對點訓練(1)(2013江西高考)設(shè)e1，e2為單位向量， 且e1，e2的夾角為，若ae13e2，b2e1，則向量a在b方向上的投影為_(2)(2014濟南模擬)在邊長為1的正三角形ABC中，設(shè)2，3，則_.【解析】 (1)由于ae13e2，b2e1，所以|b|2，ab(e13e2)2e12e6e1e2265，所以a在b方向上的投影為|a|cosa，b.(2)2，3，點D是線段BC的中點，點E是線段CA的三等分點，以向量，作為基向量，()，()()22，又|1，且，.|cos .【答案】(1)(2)考向二 078平面向量的夾角與垂直(1)(2013安

32、徽高考)若非零向量a，b滿足|a|3|b|a2b|，則a與b夾角的余弦值為_(2)(2013山東高考)已知向量與的夾角為120，且|3，|2.若，且，則實數(shù)的值為_【思路點撥】(1)由|a|a2b|平方得出ab，然后代入夾角公式cosa，b求解(2)把轉(zhuǎn)化為，再通過0求解【嘗試解答】(1)由|a|a2b|，兩邊平方，得|a|2(a2b)2|a|24|b|24ab，所以ab|b|2.又|a|3|b|，所以cosa，b.(2)，0.又，()()0，即(1)220，(1)|cos 120940.(1)32940.解得.【答案】(1)(2)規(guī)律方法21.當a，b以非坐標形式給出時，求a，b的關(guān)鍵是借助

33、已知條件求出|a|、|b|與ab的關(guān)系.2.(1)非零向量垂直的充要條件：abab0|ab|ab|x1x2y1y20.(2)本例(2)中常見的錯誤是不會借助向量減法法則把表示成，導致求解受阻.對點訓練(1)已知a，b都是非零向量，且|a|b|ab|，則a與ab的夾角為_(2)已知a與b為兩個不共線的單位向量，k為實數(shù)，若向量ab與向量kab垂直，則k_.【解析】 (1)由|a|b|ab|得，|a|2|b|2，|b|2a22abb2，所以aba2.而|ab|2|a|22ab|b|22|a|22|a|23|a|2，所以|ab|a|.設(shè)a與ab的夾角為，則cos ，由于0180，所以30.(2)a與

34、b是不共線的單位向量，|a|b|1.又kab與ab垂直，(ab)(kab)0，即ka2kababb20.k1kabab0.即k1kcos cos 0.(為a與b的夾角)(k1)(1cos )0.又a與b不共線，cos 1，k1.【答案】(1)30(2)1考向三 079平面向量的模及其應(yīng)用(1)(2014威海模擬)設(shè)x，yR，向量a(x,1)，b(1，y)，c(2，4)，且ac，bc，則|ab|()A.B.C2D10(2)(2014鄭州模擬)已知(cos ，sin )，(1sin ，1cos )，其中0，求|的取值范圍及|取得最大值時的值【思路點撥】(1)由ac求x的值，由bc求y的值，求ab，

35、求|ab|.(2)【嘗試解答】(1)a(x,1)，b(1，y)，c(2，4)，由ac得ac0，即2x40，x2.由bc得1(4)2y0，y2.a(2,1)，b(1，2)ab(3，1)，|ab|.【答案】B(2)(1sin cos ，1cos sin )，|P|2(1sin cos )2(1cos sin )244sin cos 42sin 2.0，1sin 21，|22,6，|，當sin 21，即時，|取得最大值規(guī)律方法31.x1y2x2y10與x1x2y1y20不同，前者是a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)共線的充要條件，而后者是它們垂直的充要條件.2.求解向量的長度問題一般可以

36、從兩個方面考慮：(1)利用向量的幾何意義，即利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用余弦定理等方法求解；(2)利用公式|a|及(ab)2|a|22ab|b|2把長度問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的運算問題解決.對點訓練(1)(2012安徽高考)設(shè)向量a(1,2m)，b(m1,1)，c(2，m)若(ac)b，則|a|_.(2)已知向量a(sin ，1)，b(1，cos )，.若ab，則_.若|ab|的最大值為1，則_.【解析】 (1)ac(1,2m)(2，m)(3,3m)(ac)b，(ac)b(3,3m)(m1,1)6m30，m.a(1，1)，|a|.(2)由ab得sin cos 0，tan

37、 1.，.|ab|a22abb2sin212sincos2132sin.，.當，即時|ab|2最大為32，而1.|ab|取最大值1時，.【答案】(1)(2)易錯易誤之九忽略向量共線條件致誤1個示范例1個防錯練(2014廣州模擬)已知a(1,2)，b(1,1)，且a與ab的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍為_【解析】 a與ab均為非零向量，且夾角為銳角，a(ab)0，即(1,2)(1，2)0，(1)2(2)0，當a與 ab共線時，存在實數(shù)m，使abma，此處在求解時，常因忽略“a與ab共線”的情形致誤，出現(xiàn)錯誤的原因是誤認為ab0與a，b為銳角等價.即(1，2)m(1,2)，0，即當0時，a與ab共

38、線綜上可知，的取值范圍為.【防范措施】 1.a，b的夾角為銳角并不等價于ab0，ab0等價于a與b夾角為銳角或0.2.依據(jù)兩向量的夾角求向量坐標中的參數(shù)時，要注意0或180的情形.其中cos 010，cos 18010.)已知a(2，1)，b(，3)，若a與b的夾角為鈍角，則的取值范圍是_【解析】 由ab0，即230，解得.又當ab時，6，故所求的范圍為且6.【答案】第四節(jié)平面向量應(yīng)用舉例考情展望1.用向量的方法解決某些簡單的平面幾何證明問題.2.與三角函數(shù)、解析幾何等知識交匯命題，體現(xiàn)向量運算的工具性一、向量在平面幾何中的應(yīng)用1平面向量在平面幾何中的應(yīng)用主要是用向量的線性運算及數(shù)量積解決平面

39、幾何中的平行、垂直、平移、全等、相似、長度、夾角等問題2用向量解決常見平面幾何問題的技巧問題類型所用知識公式表示線平行、點共線、相似等問題共線向量定理ababx1y2x2y10(b0)其中a(x1，y1)，b(x2，y2)垂直問題數(shù)量積的運算性質(zhì)abab0x1x2y1y20a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中a，b為非零向量夾角問題數(shù)量積的定義cos (為向量a，b的夾角)二、向量在物理中的應(yīng)用1向量的加法、減法在力的分解與合成中的應(yīng)用2向量在速度的分解與合成中的應(yīng)用3向量的數(shù)量積在合力做功問題中的應(yīng)用：Wfs.1已知三個力f1，f2，f3作用于物體同一點，使物體處于平衡狀態(tài)，若f1(2,

40、2)，f2(2,3)，則|f3|為()A2.5B4C2D5【解析】 由題意知f1f2f30，f3(f1f2)(0，5)，|f3|5.【答案】D2已知O是ABC所在平面上一點，若，則O是ABC的()A內(nèi)心 B重心 C外心 D垂心【解析】 ()0，0OBAC.同理：OABC，OCAB，O是ABC的垂心【答案】D3若20，則ABC為()A鈍角三角形 B銳角三角形C等腰直角三角形 D直角三角形【解析】 20可化為()0，即0，所以.所以ABC為直角三角形【答案】D4已知兩個力F1、F2的夾角為90，它們的合力F的大小為10 N，合力與F1的夾角為60，那么F1的大小為_【解析】 如圖所示|F1|F|c

41、os 60105(N)【答案】5 N5(2012湖南高考)在ABC中，AB2，AC3，1，則BC()A. B. C2 D.【解析】 1，且AB2，1|cos(B)，|cos B.在ABC中，|AC|2|AB|2|BC|22|AB|BC|cos B，即94|BC|222.|BC|.【答案】A6(2013福建高考)在四邊形ABCD中，(1,2)，(4,2)，則該四邊形的面積為()A. B2 C5 D10【解析】 (1,2)(4,2)440，S四邊形ABCD|25.【答案】C考向一 080向量在平面幾何中的應(yīng)用(1)(2014長沙模擬)在ABC中，已知向量與滿足0，且，則ABC為()A等邊三角形B直

42、角三角形C等腰非等邊三角形 D三邊均不相等的三角形(2)(2014濟南模擬)設(shè)a，b，c為同一平面內(nèi)具有相同起點的任意三個非零向量，且a與b不共線，ac，|a|c|，則|bc|的值一定等于()A以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積B以b，c為兩邊的三角形面積C以a，b為兩邊的三角形面積D以b，c為鄰邊的平行四邊形的面積(3)已知ABC的三邊長AC3，BC4，AB5，P為AB邊上任意一點，則()的最大值為_【思路點撥】(1)是單位向量，結(jié)合平行四邊形法則及0分析AB與AC的關(guān)系，借助數(shù)量積的定義求CBA，進而得出ABC的形狀(2)借助數(shù)量積的定義及三角函數(shù)誘導公式求解(3)可采用坐標法和基向量法分別

43、求解本題【嘗試解答】(1)因為0，所以BAC的平分線垂直于BC，所以ABAC.又，所以cosBAC，即BAC，所以ABC為等邊三角形(2)依題意可得|bc|b|c|cosb，c|b|c|sina，bS平行四邊形|bc|的值一定等于以b，c為鄰邊的平行四邊形的面積(3)法一(坐標法)以C為原點，建立平面直角坐標系如圖，設(shè)P點坐標為(x，y)且0y3,0x4，則()(x，y)(0,3)3y，當y3時，取得最大值9.法二(基向量法)，()()299|cosBAC93|cosBAC，cosBAC為正且為定值，當|最小即|0時，()取得最大值9.【答案】(1)A(2)D(3)9規(guī)律方法11.向量在平面幾

44、何中的三大應(yīng)用：一是借助運算判斷圖形的形狀，二是借助模、數(shù)量積等分析幾何圖形的面積；三是借助向量探尋函數(shù)的最值表達式，進而求最值.2.平面幾何問題的向量解法(1)坐標法,把幾何圖形放在適當?shù)淖鴺讼抵?，就賦予了有關(guān)點與向量具體的坐標，這樣就能進行相應(yīng)的代數(shù)運算和向量運算，從而使問題得到解決.(2)基向量法,適當選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量共線構(gòu)造關(guān)于設(shè)定未知量的方程來進行求解.對點訓練(1)已知點O，N，P在ABC所在平面內(nèi)，且|，0，則點O，N，P依次是ABC的()A重心、外心、垂心B重心、外心、內(nèi)心C外心、重心、垂心 D外心、重心、內(nèi)心(注：三角形的三條高線交于一點，此點稱為三

45、角形的垂心)(2)(2013課標全國卷)已知正方形ABCD的邊長為2，E為CD的中點，則_.【解析】 (1)|，即點O到A，B，C三點的距離相等，點O為ABC的外心如圖，設(shè)D為BC邊的中心，則2，0，20，2，A，D，N三點共線，點N在BC邊的中線上同理，點N也在AB，AC邊的中線上，點N是ABC的重心，0，()0，0，.同理，點P是ABC的垂心(2)如圖，以A為坐標原點，AB所在的直線為x軸，AD所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系，則A(0,0)，B(2,0)，D(0,2)，E(1,2)，(1,2)，(2,2)，1(2)222.【答案】(1)C(2)2考向二 081向量在物理中的應(yīng)用(1)

46、一質(zhì)點受到平面上的三個力F1、F2、F3(單位：牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài)已知F1、F2成60角，且F1、F2的大小分別為2和4，則F3的大小為()A2B2C2D6圖441(2)如圖441所示，已知力F與水平方向的夾角為30(斜向上)，F(xiàn)的大小為50 N，F(xiàn)拉著一個重80 N的木塊在摩擦因數(shù)0.02的水平平面上運動了20 m，問F、摩擦力f所做的功分別為多少？【思路點撥】(1)利用F1F2F30，結(jié)合向量模的求法求解(2)力在位移上所做的功，是向量數(shù)量積的物理含義，要先求出力F，f和位移的夾角【嘗試解答】(1)如圖所示，由已知得F1F2F30，F(xiàn)3(F1F2)FFF2F1F2FF2|F1|F2

47、|cos 6028.|F3|2.【答案】A(2)設(shè)木塊的位移為s，則Fs|F|s|cos 305020500 J，F(xiàn)在豎直方向上的分力大小為|F|sin 305025(N)，所以摩擦力f的大小為|f|(8025)0.021.1(N)，所以fs|f|s|cos 1801.120(1)22 J.F，f所做的功分別是500 J，22 J規(guī)律方法21.物理學中的“功”可看作是向量的數(shù)量積的原型.2.應(yīng)善于將平面向量知識與物理有關(guān)知識進行類比.例如，向量加法的平行四邊形法則可與物理中力的合成進行類比，平面向量基本定理可與物理中力的分解進行類比.3.用向量方法解決物理問題的步驟：一是把物理問題中的相關(guān)量用

48、向量表示；二是轉(zhuǎn)化為向量問題的模型，通過向量運算解決問題；三是將結(jié)果還原為物理問題.考向三 082向量在三角函數(shù)中的應(yīng)用(2013遼寧高考)設(shè)向量a(sin x，sin x)，b(cos x，sin x)，x.(1)若|a|b|，求x的值；(2)設(shè)函數(shù)f(x)ab，求f(x)的最大值【思路點撥】分別表示兩向量的模，利用相等求解x的值；利用數(shù)量積運算及輔助角公式化為一個角的一種函數(shù)求解【嘗試解答】(1)由|a|2(sin x)2sin2 x4sin2x，|b|2cos2xsin2x1，及|a|b|，得4sin2x1.又x，從而sin x，所以x.(2)f(x)absin xcos xsin2xs

49、in 2xcos 2xsin，當x時，sin取最大值1.所以f(x)的最大值為.規(guī)律方法3平面向量與三角函數(shù)結(jié)合的題目的解題思路通常是將向量的數(shù)量積與模經(jīng)過坐標運算后轉(zhuǎn)化為三角問題，然后利用三角函數(shù)基本公式求解.對點訓練已知O為坐標原點，向量(sin ，1)，(cos ，0)，(sin ，2)，點P滿足.(1)記函數(shù)f()，求函數(shù)f()的最小正周期；(2)若O、P、C三點共線，求|的值【解】(1)(cos sin ，1)，設(shè)(x，y)，則(xcos ，y)，由得x2cos sin ，y1，故(2cos sin ，1)(sin cos ，1)，(2sin ，1)，f()(sin cos ，1)(2sin ，1)2sin22sin cos 1(sin 2cos 2)sin，f()的最小正周期T.(2)由O、P