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1、【走向高考】（全國通用）20xx高考數(shù)學二輪復習 第一部分 微專題強化練 專題28 幾何證明選講（含解析）一、填空題1(文)如圖，在ABC中，A60，ACB70，CF是ABC的邊AB上的高，F(xiàn)PBC于點P，F(xiàn)QAC于點Q，則CQP的大小為_答案50解析由PFBC，F(xiàn)QAC，得C、Q、F、P四點共圓，所以CQPCFPB180(AC)180(6070)50.(理)如圖，已知PA是圓O的切線，切點為A，PO交圓O于B、C兩點，AC，PAB30，則線段PB的長為_答案1解析因為PA是圓O的切線，PAB30，由弦切角定理可得ACBPAB30，而CAB90，ABC60，所以ABBC，又因為AC，所以AB1

2、，BC2，PBA120，所以APBPAB30，PBAB1.2(文)如圖，已知圓中兩條弦AB與CD相交于點F，E是AB延長線上一點，且DFCF，AFFBBE421.若CE與圓相切，則線段CE的長為_答案解析設BEa，則AF4a，F(xiàn)B2a，根據(jù)相交弦定理：DFFCAFFB，則28a2，a2，由切割線定理：EC2BEAE7a2，EC2，EC.(理)(20xx湖南理，12)如圖，已知AB、BC是O的兩條弦，AOBC，AB，BC2，則O的半徑等于_答案解析本題考查勾股定理、相交弦定理設線段AO交BC于點D，延長AO交圓于另外一點E，則BDDC，在三角形ABD中由勾股定理可得AD1，由相交弦定理可得BDD

3、CADDE，DE2，則直徑AE3r，故填.3(20xx湖北理，15)如圖，PA是圓的切線，A為切點，PBC是圓的割線，且BC3PB，則_.答案解析設PBa，則BC3a，由PA2PBPC可得PA2a；又因為PAB PCA，所以由可解得.故本題正確答案為.4(文)如圖，AB為圓O的直徑，PA為圓O的切線，PB與圓O相交于D，若PA3，PDDB916，則PD_，AB_.答案，4解析由于PDDB916，設PD9a，則DB16a，根據(jù)切割線定理有PA2PDPB有a，所以PD，在直角PBA中，AB2PB2AP216，所以AB4.(理) (20xx重慶理，14)如圖，圓O的弦AB，CD相交于點E，過點A作圓

4、O的切線與DC的延長線交于點P，若PA6，AE9，PC3，CEED21，則BE_.答案2解析此題主要考查切割線定理，屬于簡單題型由切割線定理知PA2PCPD，易得PD12，故CDPDPC9，因為CEED21，故CE6，ED3.由相交弦定理可得AEEBCEED，又因為AE9，CE6，ED3，易得EB2.5(文)(20xx廣東理，15)如圖，已知AB是圓O的直徑，AB4，EC是圓O的切線，切點為C，BC1.過圓心O作BC的平行線，分別交EC和AC于點D和點P，則OD_.答案8解析本題考查直線與圓、直角三角形的射影定理，屬于中檔題如下圖所示，連接OC，因為ODBC，又BCAC，所以OPAC，又O為A

5、B線段的中點，所以OPBC，在RtOCD中，OCAB2，由直角三角形的射影定理可得OC2OPOD，所以OD8.(理)在平行四邊形ABCD中，點E在線段AB上，且AEEB，連接DE、AC，若AC與DE相交于點F，AEF的面積為1cm2，則AFD的面積為_cm2.答案3解析ABCD，AEFCDF，3，3，SAFD3SAFE3cm2.6(文)如圖，ABC為圓的內接三角形，BD為圓的弦，且BDAC過點A作圓的切線與DB的延長線交于點E，AD與BC交于點F.若ABAC，AE6，BD5，則線段CF的長為_答案解析如圖所示：AE為圓的切線，AE2BEED，設BEx，36x(5x)，x25x360，x4.AB

6、AC，ACBABC，又EABACB，EABABC，AEBC，又EBAC，四邊形BCAE為平行四邊形，BCAE6，ACBE4，DFBAFC，F(xiàn)C.(理)如圖，在ABC中，ACB90，BAC60，過C作ABC的外接圓的切線CD，BDCD于D，BD與外接圓交于點E，已知DE5，則ABC的外接圓的半徑為_答案10解析利用切割線定理和正弦定理求解因為CD是圓的切線，所以BCDBAC60，所以DBDC又由切割線定理可得DC2DEDB5DC，則DC5，所以BC2DC10.在直角三角形ABC中，由正弦定理可得2RAB20，所以ABC的外接圓的半徑R10.二、解答題7. (20xx遼寧葫蘆島市一模)如圖，P是O

7、外一點，PA是切線，A為切點，割線PBC與O相交于點B，C，PC2PA，D為PC的中點，AD的延長線交O于點E，證明： (1)BEEC；(2)ADDE2PB2.證明(1)連接AB，AC由題設知PAPD，故PADPDA因為PDADACDCA，PADBADPAB，DCAPAB，所以DACBAD，因此BEEC(2)由切割線定理得PA2PBPC因為PAPDDC，所以PD2(PDBD)2PD，PD2BD，DC2PB，BDPB由相交弦定理得ADDEBDDC，所以ADDE2PB2.8(文)(20xx沈陽市質檢)如圖，ABC內接于圓O，AD平分BAC交圓O于點D，過點B作圓O的切線交直線AD于點E.(1)求證

8、：EBDCBD；(2)求證：ABBEAEDC解析(1)BE為圓O的切線，EBDBAD，又AD平分BAC，BADCAD，EBDCAD又CBDCAD，EBDCBD(2)在EBD和EAB中，EE，EBDEAB，EBDEAB，ABBEAEBD，又AD平分BAC，BDDC，故ABBEAEDC(理)(20xx唐山市二模)如圖，E是圓O內兩弦AB和CD的交點，過AD延長線上一點F作圓O的切線FG，G為切點，已知EFFG.求證：(1)DEFEAF；(2)EFCB分析(1)欲證DEFEAF，可證兩個三角形有兩內角對應相等，亦可證兩個三角形有兩邊對應成比例，夾角對應相等，由已知條件，F(xiàn)G、FA分別是圓的切線、割線

9、及EFFG可知兩個三角形有兩條邊對應成比例，關鍵是其夾角相等，而夾角是公共角，第一問獲證(2)欲證EFCB，由圓想到可證角相等(同位角、內錯角)，注意利用圓的有關角的性質和(1)的結論解析(1)由切割線定理得FG2FAFD又EFFG，所以EF2FAFD，即.因為EFADFE，所以DEFEAF.(2)由(1)得FEDFAE.因為FAEDABDCB，所以FEDBCD，所以EFCB9(文) (20xx洛陽市質量監(jiān)測)如圖，AB是O的切線，B為切點，ADE是O的割線，C是O外一點，且ABAC，連接BD，BE，CD，CE，CD交O于F，CE交O于G.(1)求證：BECDBDCE；(2)求證：FGAC證明

10、(1)由已知得ABDAEB，而BADEAB，ABDAEB，所以，又ABAC，所以BDAEABBE，且，又CADEAC，ADCACE，所以，即DCAEACCE.由兩式相除可得BECDBDCE.(2)由ADCACE得，ACDAEC，又D，F(xiàn)，G，E四點共圓，GFCAEC，因此GFCACD，所以FGAC(理)(20xx河南八市質量監(jiān)測)已知BC為圓O的直徑，點A為圓周上一點，ADBC于點D，過點A作圓O的切線交BC的延長線于點P，過點B作BE垂直PA的延長線于點E.求證：(1)PAPDPEPC；(2)ADAE.證明(1)因為ADBP，BEAP，所以APDBPE，所以，所以APPEPDPB，又因為PA

11、，PB分別為圓O的切線和割線，所以PA2PBPC，所以，所以PAPDPEPC(2)連接AC，DE，因為BC為圓O的直徑，所以BAC90，即ABAC，因為，所以ACDE，所以ABDE，又因為BEAP，ADPB，所以A，D，B，E四點共圓且AB為直徑，又因為ABDE，所以ADAE.10圓的兩條弦AB、CD交于點F，從F點引BC的平行線和直線DA的延長線交于點P，再從點P引這個圓的切線，切點是Q.求證：PFPQ.分析要證PFPQ，因為PQ為圓的切線，PQ2PAPD，故只須證PF2PAPD，觀察圖形及條件可以發(fā)現(xiàn)，PF與PA在APF中，PF與PD在EPD中，若能證得這兩個三角形相似，則問題獲解，由于兩

12、個三角形有公共角APF，只須再找一角相等即可由圓的幾何性質不難證得AFPADF，故APFFPD證明因為A、B、C、D四點共圓，所以ADFABC因為PFBC，所以AFPABC，所以AFPADF.又因為APFFPD，所以APFFPD，所以，所以PF2PAPD因為PQ與圓相切，所以PQ2PAPD所以PF2PQ2，所以PFPQ.11(文)如圖，CD為ABC外接圓的切線，AB的延長線交直線CD于點D，E、F分別為弦AB與弦AC上的點，且BCAEDCAF，B、E、F、C四點共圓(1)證明：CA是ABC外接圓的直徑；(2)若DBBEEA，求過B、E、F、C四點的圓的面積與ABC外接圓面積的比值解析(1)因為

13、CD為ABC外接圓的切線，所以DCBA，由題設知，故CDBAEF，所以DBCEFA因為B、E、F、C四點共圓，所以CFEDBC，故EFACFE90，所以CBA90，因此CA是ABC外接圓的直徑(2)連接CE，因為CBE90，所以過B、E、F、C四點的圓的直徑為CE，由DBBE，有CEDC，又BC2DBBA2DB2，所以CA24DB2BC26DB2.而CE2DC2DBDA3DB2，故過B、E、F、C四點的圓的面積與ABC外接圓面積的比值為.(理)(20xx唐山市一模)如圖，AE是圓O的切線，A是切點，ADOE于D，割線EC交圓O于B、C兩點(1)證明：O、D、B、C四點共圓；(2)設DBC50，

14、OBC30，求OEC的大小分析(1)由EA、EC分別為切線和割線，可利用切割線定理，由EA為切線，ADEO，在RtEOA中可利用射影定理，這樣可得到邊的比例關系式要證O、D、B、C四點共圓，只需證明對角互補或外角等于內對角，結合條件與結論可考慮證明三角形相似，即BDEOCE.(2)給出DBC與OBC的大小，欲求OEC的大小，由外角定理OECDBCBDE，由OBOC知OBCOCB，溝通兩者的橋梁是(1)的結論，BDEOCB，于是獲解解析(1)連接OA、OC，則OAEA由射影定理得EA2EDEO.由切割線定理得EA2EBEC，故EDEOEBEC，即，又OECOEC，所以BDEOCE，所以EDBOC

15、E.因此O，D，B，C四點共圓(2)因為OECOCBCOE180，結合(1)得OEC180OCBCOE180OBCDBE180OBC(180DBC)DBCOBC20.12(文) (20xx江西質量監(jiān)測)如圖，D，E分別為ABC的邊AB，AC上的點，且不與ABC的頂點重合已知ADABAEAC(1)求證：B，C，D，E四點共圓；(2)若三角形ABC是邊長為3的正三角形，且AD1，求B，C，D，E四點所在圓的半徑解析(1)因為ADABAEAG，所以，所以ADEACB，所以ADEACB，又ADEBDE180，所以ACBBDE180，所以B，C，D，E四點共圓(2)依題意：BCED是等腰梯形，且高為，設

16、B，C，D，E四點所在圓的半徑為r，則，解得r，B，C，D，E四點所在圓的半徑為.(理)(20xx唐山市一模)如圖，圓周角BAC的平分線與圓交于點D，過點D的切線與弦AC的延長線交于點E，AD交BC于點F.(1)求證：BCDE；(2)若D，E，C，F(xiàn)四點共圓，且，求BAC解析(1)證明：因為EDCDAC，DACDAB，DABDCB，所以EDCDCB，所以BCDE.(2)解：因為D，E，C，F(xiàn)四點共圓，所以CFACED，由(1)知ACFCED，所以CFAACF.設DACDABx，因為，所以CBABAC2x，所以CFAFBAFAB3x，在等腰ACF中，CFAACFCAF7x，則x，所以BAC2x.方法點撥這一部分主要命題方式是將圓的有關角、比例線段或圓內接四邊形和三角形相似結合，求角，求線段長等，注意依據(jù)條件和結論選擇思維方向，如：給出切線時，常作輔助線是作過切點的半徑，考慮方向是切割線定理，直角三角形射影定理、弦切角與圓周角的互化等；給出平行線時，主要考慮角的關系及三角形相似；有關圓的問題，求線段長時，?？紤]相交弦定理、切割線定理、射影定理、垂徑定理；證明比例線段，主要通過三角形相似