《新編【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】高考數(shù)學(xué)北師大版一輪訓(xùn)練：第6篇 第4講 二元一次不等式組與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《新編【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】高考數(shù)學(xué)北師大版一輪訓(xùn)練：第6篇 第4講 二元一次不等式組與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題（9頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第4講　 二元一次不等式（組）與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時(shí)：40分鐘) 一、選擇題 1．(20xx·西安模擬)不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐標(biāo)平面內(nèi)表示的區(qū)域(用陰影部分表示)，應(yīng)是下列圖形中的 (　　)． 解析　(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0?或畫(huà)出平面區(qū)域后，只有C合題意． 答案　C 2．(20xx·南昌模擬)不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為(　　)． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．1　　 B．　　 C.　　 D． 解析　作出不等式組對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)椤鰾CD，由題意知xB＝1

2、，xC＝2.由得yD＝，所以S△BCD＝×(xC－xB)×＝. 答案　D 3．(20xx·杭州模擬)在約束條件下，目標(biāo)函數(shù)z＝x＋y的最大值為 (　　)． A.　　 B．　　 C.　　 D． 解析　由z＝x＋y，得y＝－2x＋2z.作出可行域如圖陰影部分，平移直線y＝－2x＋2z，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，直線y＝－2x＋2z在y軸上的截距最大，此時(shí)z最大． 由解得C點(diǎn)坐標(biāo)為，代入z＝x＋y，得z＝＋×＝. 答案　C 4．(20xx·陜西卷)若點(diǎn)(x，y)位于曲線y＝|x|與y＝2所圍成的封閉區(qū)域，則2x－y的最小值為 (　　)． A．－6　　 B．－

3、2　　 C．0　　 D．2 解析　如圖，曲線y＝|x|與y＝2所圍成的封閉區(qū)域如圖中陰影部分，令z＝2x－y，則y＝2x－z，作直線y＝2x，在封閉區(qū)域內(nèi)平行移動(dòng)直線y＝2x，當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－2,2)時(shí)，z取得最小值，此時(shí)z＝2× (－2)－2＝－6. 答案　A 5．(20xx·四川卷)若變量x，y滿足約束條件且z＝5y－x的最大值為a，最小值為b，則a－b的值是 (　　)． A．48　　 B．30　　 C．24　　 D．16 解析　畫(huà)出可行域，如圖所示．由圖可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)A點(diǎn)時(shí)有最大值；過(guò)B點(diǎn)時(shí)有最小值．聯(lián)立得?故A(4,4)；對(duì)x＋y＝8，令y＝0，則x＝8

4、，故B(8,0)，所以a＝5×4－4＝16，b＝5×0－8＝－8，則a－b＝16－(－8)＝24，故選 C. 答案　C 二、填空題 6．(20xx·安徽卷)若非負(fù)變量x，y滿足約束條件則x＋y的最大值為_(kāi)_______． 解析　根據(jù)題目中的約束條件畫(huà)出可行域，注意到x，y非負(fù)，得可行域?yàn)槿鐖D所示的陰影部分(包括邊界)．作直線y＝－x，并向上平移，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)A(4,0)時(shí)，x＋y取得最大值，最大值為4. 答案　4 7．(20xx·山東卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M為不等式組所表示的區(qū)域上一動(dòng)點(diǎn)，則|OM|的最小值是________． 解析　如圖所示陰影部分為可行域，

5、數(shù)形結(jié)合可知，原點(diǎn)O到直線x＋y－2＝0的垂線段長(zhǎng)是|OM|的最小值， ∴|OM|min＝＝. 答案　 8．(20xx·渭南質(zhì)檢)若不等式組表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形，則a的取值范圍是________． 解析　畫(huà)出可行域，知當(dāng)直線y＝a在x－y＋5＝0與y軸的交點(diǎn)(0,5)和x－y＋5＝0與x＝2的交點(diǎn)(2,7)之間移動(dòng)時(shí)平面區(qū)域是三角形．故5≤a<7. 答案　[5,7) 三、解答題 9．(20xx·合肥模擬)畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域，并回答下列問(wèn)題： (1)指出x，y的取值范圍； (2)平面區(qū)域內(nèi)有多少個(gè)整點(diǎn)？ 解　(1)不等式x－y＋5≥0表示直線x－y＋5＝0上及其

6、右下方的點(diǎn)的集合，x＋y≥0表示直線x＋y＝0上及其右上方的點(diǎn)的集合，x≤3表示直線x＝3上及其左方的點(diǎn)的集合． 所以，不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示． 結(jié)合圖中可行域得x∈，y∈[－3,8]． (2)由圖形及不等式組知 當(dāng)x＝3時(shí)，－3≤y≤8，有12個(gè)整點(diǎn)； 當(dāng)x＝2時(shí)，－2≤y≤7，有10個(gè)整點(diǎn)； 當(dāng)x＝1時(shí)，－1≤y≤6，有8個(gè)整點(diǎn)； 當(dāng)x＝0時(shí)，0≤y≤5，有6個(gè)整點(diǎn)； 當(dāng)x＝－1時(shí)，1≤y≤4，有4個(gè)整點(diǎn)； 當(dāng)x＝－2時(shí)，2≤y≤3，有2個(gè)整點(diǎn)； ∴平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(個(gè))． 10．制訂投資計(jì)劃時(shí)，不僅要考慮可能獲得的盈利

7、，而且要考慮可能出現(xiàn)的虧損．某投資人打算投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，根據(jù)預(yù)測(cè)，甲、乙項(xiàng)目可能的最大盈利率分別為100%和50%，可能的最大虧損率分別為30%和10%.若投資人計(jì)劃投資金額不超過(guò)10萬(wàn)元，要求確保可能的資金虧損不超過(guò)1.8萬(wàn)元，問(wèn)投資人對(duì)甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目各投資多少萬(wàn)元，才能使可能的盈利最大？ 解　設(shè)投資人分別用x萬(wàn)元，y萬(wàn)元投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目， 由題意知 目標(biāo)函數(shù)z＝x＋0.5y. 上述不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，陰影部分(含邊界)即為可行域． 將z＝x＋0.5y變形為y＝－2x＋2z，這是斜率為－2隨z變化的一組平行線，當(dāng)直線y＝－2x＋2z經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)M時(shí)，直

8、線y＝－2x＋2z在y軸上的截距2z最大，z也最大． 這里M點(diǎn)是直線x＋y＝10和0.3x＋0.1y＝1.8的交點(diǎn)． 解方程組得x＝4，y＝6， 此時(shí)z＝4＋0.5×6＝7(萬(wàn)元)． ∴當(dāng)x＝4，y＝6時(shí)，z取得最大值， 所以投資人用4萬(wàn)元投資甲項(xiàng)目、6萬(wàn)元投資乙項(xiàng)目，才能在確保虧損不超過(guò)1.8萬(wàn)元的前提下，使可能的盈利最大． 能力提升題組 (建議用時(shí)：25分鐘) 一、選擇題 1．(20xx·昆明模擬)已知x，y滿足條件(k為常數(shù))，若目標(biāo)函數(shù)z＝x＋3y的最大值為8，則k＝ (　　)． A．－16　　 B．－6　　 C．－　 D．6 解析　畫(huà)出x

9、，y滿足的可行域如圖，聯(lián)立方程解得即C點(diǎn)坐標(biāo)為 ，由目標(biāo)函數(shù)z＝x＋3y，得y＝－x＋，平移直線y＝－x＋，可知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)，直線y＝－x＋的截距最大，此時(shí)z最大，把C點(diǎn)代入z＝x＋3y，得8＝－＋3×，解得k＝－6.經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意． 答案　B 2．(20xx·臨沂一模)已知實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組若目標(biāo)函數(shù)z＝y(tǒng)－ax取得最大值時(shí)的唯一最優(yōu)解是(1,3)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　)． A．(－∞，－1)　　 B．(0,1) C．[1，＋∞)　　 D．(1，＋∞) 解析　作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域BCD，由z＝y(tǒng)－ax，得y＝ax＋z，要使目標(biāo)函數(shù)y＝ax＋z僅在點(diǎn)(1,3

10、)處取最大值，則只需直線y＝ax＋z僅在點(diǎn)B(1,3)處的截距最大，由圖像可知a＞kBD，因?yàn)閗BD＝1，所以a＞1，即a的取值范圍是(1，＋∞)． 答案　D 二、填空題 3．(20xx·北京卷)已知點(diǎn)A(1，－1)，B(3,0)，C(2,1)．若平面區(qū)域D由所有滿足＝λ＋μ(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的點(diǎn)P組成，則D的面積為_(kāi)_______． 解析　＝(2,1)，＝(1,2)．設(shè)P(x，y)，由＝λ＋μ，得故有 又λ∈[1,2]，μ∈[0,1]， 故有 即 則平面區(qū)域D如圖中陰影部分所示． 由圖可知平面區(qū)域D為平行四邊形，可求出M(4,2)，N(6，3)，故|MN|＝

11、，又x－2y＝0與x－2y－3＝0之間的距離為d＝，故平面區(qū)域D的面積為S＝×＝3. 答案　3 三、解答題 4．變量x，y滿足 (1)設(shè)z＝，求z的最小值； (2)設(shè)z＝x2＋y2，求z的取值范圍； (3)設(shè)z＝x2＋y2＋6x－4y＋13，求z的取值范圍． 解　由約束條件 作出(x，y)的可行域如圖陰影部分所示． 由解得A. 由解得C(1,1)． 由解得B(5,2)． (1)∵z＝＝.∴z的值即是可行域中的點(diǎn)與原點(diǎn)O連線的斜率．觀察圖形可知zmin＝kOB＝. (2)z＝x2＋y2的幾何意義是可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離的平方．結(jié)合圖形可知，可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離中， dmin＝|OC|＝，dmax＝|OB|＝. 故z的取值范圍是[2,29]． (3)z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2的幾何意義是可行域上的點(diǎn)到點(diǎn)(－3,2)的距離的平方．結(jié)合圖形可知，可行域上的點(diǎn)到(－3,2)的距離中，dmin＝1－(－3)＝4，dmax＝＝8. 故z的取值范圍是[16,64]．