《新編高考數(shù)學(xué)理科總復(fù)習(xí)【第二章】函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第十六節(jié)》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《新編高考數(shù)學(xué)理科總復(fù)習(xí)【第二章】函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第十六節(jié)(8頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料第十六節(jié)定積分及其簡單應(yīng)用 了解定積分的實際背景,了解定積分的基本思想,了解定積分的概念,了解微積分基本定理的含義. 知識梳理一、連續(xù)曲線一般地,如果函數(shù)yf(x)在某個區(qū)間I上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,那么我們就把它稱為區(qū)間I上的_二、以直代曲求曲邊梯形的面積的方法與步驟1分割:n等分區(qū)間a,b2近似代替:取點i.來源:3求和: 4. 取極限: 三、定積分的定義如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù)曲線,用分點ax0x1x2xi1xixnb將區(qū)間a,b等分成n個小區(qū)間在每個小區(qū)間上任取一點i(i1,2,n),作和式_,當(dāng)n時,上述和式無限接近某個常數(shù),這個常數(shù)叫做函
2、數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的_,記作_,即 其中f(x)叫做被積函數(shù),x叫做積分變量,f(x)dx叫做被積式,b,a分別叫做積分上限和下限,區(qū)間a,b叫做積分區(qū)間,“”稱為積分號四、定積分abf(x)dx的實質(zhì)1當(dāng)f(x)在區(qū)間a,b上大于0時,abf(x)dx表示_,這也是定積分的幾何意義(如圖)來源:2當(dāng)f(x)在區(qū)間a,b上小于0時,abf(x)dx表示_(如圖)來源:3當(dāng)f(x)在區(qū)間a,b上有正有負(fù)時,abf(x)dx表示_(如圖)五、微積分基本定理(牛頓萊布尼茲公式)一般地,如果f(x)是閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù),并且F(x)f(x),那么ab(x)dx_,這個結(jié)論叫做微積分基本定理
3、,又叫做牛頓萊布尼茲公式,可以把F(b)F(a)記作F(x)|,即abf(x)dx_.其中F(x)叫做f(x)的一個原函數(shù)六、基本的積分公式ab0dx C;abxmdx xm1C(mQ,m1);ab dxlnC;abexdx exC;abaxdx C;abcos xdx sin xC;absin xdx cos xC(各式中的C均為常數(shù))七、定積分的性質(zhì)1.abkf(x)dx_(k為常數(shù))來源:2.abf(x)g(x)dx_.3.abf(x)dx_(其中acb)八、利用函數(shù)的奇偶性求定積分若f(x)是a,a上的奇函數(shù),則-aaf(x)dx0;若f(x)是a,a上的偶函數(shù),則-aaf(x)dx2
4、0af(x)dx.九、定積分的求法1定義法(用微分思想求曲邊梯形的面積:分割、近似代替、求和、取極限)2牛頓萊布尼茲公式法3幾何意義法:若yf(x),x軸與直線xa,xb之間的各部分區(qū)域是可求面積的規(guī)則圖形,則可直接求其面積如求-11dx.4利用奇、偶函數(shù)的性質(zhì)十、定積分的簡單應(yīng)用1定積分在幾何中的應(yīng)用:如圖,曲線yf(x),yg(x)與直線xa,xb圍成的曲邊梯形面積Sabf(x)g(x)dx.2定積分在物理中的應(yīng)用:(1)變速直線運動的路程:運動速度為V(t),則在ta到tb時間內(nèi)物體的位移為Sabv(t)dt;(2)變力作功:力F是位移s的函數(shù),則在sa到sb位移內(nèi)力所做的功為WabF(
5、s)ds.3定積分與其他知識的綜合 基礎(chǔ)自測1. 寫成定積分的形式,可記為()A.0 sin xdxB.01 sin xdxC.0 sin xdx D.0 dx答案:A2. 已知二次函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示,則它與x軸所圍圖形的面積為()來源:A. B. C. D. 解析:根據(jù)圖象可得:yf(x)x21,再由定積分的幾何意義,可求得面積為S-11(x21)dx-11.故選B.答案:B3 (2013韶關(guān)三模)計算03(2x1)dx_.解析:由導(dǎo)數(shù)的運算法則知當(dāng)F(x)x2x時,F(xiàn)(x)2x1,由定積分定義得(2x1)dxF(3)F(0)936.答案:64 (2013湖南卷)若x2dx9 ,則
6、常數(shù)T的值為_解析: x2dx 9,解得T3.答案:3來源:1(2013江西卷)若S1x2dx,S2dx,S3exdx,則S1,S2,S3的大小關(guān)系為()AS1 S2 S3BS2 S1 S3CS2 S3 S1DS3 S2 S1解析:利用定積分的幾何意義知B正確來源:答案:B2 (2012山東卷)設(shè)a0,若曲線y與直線xa,y0所圍成封閉圖形的面積為a2,則a_.解析:由已知得S0adxx0aaa2,所以a,所以a. 答案:1由曲線y,直線yx2及y軸所圍成的圖形的面積為()A. B4 C. D6來源:解析:y與yx2以及y軸所圍成的圖形面積為如圖所示的陰影部分,聯(lián)立得交點坐標(biāo)為(4,2),故所
7、求面積為S04(x2)dx.答案:C 2已知f(x)x2axa(a2,xR),g(x)ex,(x)f(x)g(x)(1)當(dāng)a1時,求(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)求g(x)在點(0,1)處的切線與直線x1及曲線g(x)所圍成的封閉圖形的面積S.解析:(1)當(dāng)a1時,(x)(x2x1)ex,(x)ex(x2x)(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(,0),(1,)(2)切線的斜率為kg(0)ex|x01,切線方程為yx1.g(x)在點(0,1)處的切線yx1與直線x1及曲線g(x)ex所圍成的封閉圖形如下圖所示故所求封閉圖形面積為S01ex(x1)dx01(exx1)dx|01.來源:答案:見解析來源: