《高三數(shù)學(xué)北師大版文一輪教師用書:第4章 第6節(jié) 正弦定理與余弦定理、三角形中的幾何計(jì)算 Word版含解析》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高三數(shù)學(xué)北師大版文一輪教師用書:第4章 第6節(jié) 正弦定理與余弦定理、三角形中的幾何計(jì)算 Word版含解析(11頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第六節(jié)正弦定理與余弦定理、三角形中的幾何計(jì)算最新考綱掌握正弦定理、余弦定理,并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第76頁(yè))1正弦、余弦定理在ABC中,若角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,R為ABC的外接圓半徑,則定理正弦定理余弦定理內(nèi)容2R.a2b2c22bccos_A;b2c2a22cacos_B;c2a2b22abcos_C.變形(1)a2Rsin A,b2Rsin B,c2Rsin C;(2)abcsin Asin Bsin C;(3)2R.cos A;cos B;cos C.2.三角形常用面積公式(1)Saha(ha表示邊a上的高);(2)Sabsin Cacsin Bb
2、csin A;(3)Sr(abc)(r為內(nèi)切圓半徑)1在ABC中,ABabsin Asin B.2三角形中的射影定理在ABC中,abcos Cccos B;bacos Cccos A;cbcos Aacos B.3內(nèi)角和公式的變形(1)sin(AB)sin C;(2)cos(AB)cos C.一、思考辨析(正確的打“”,錯(cuò)誤的打“”)(1)三角形中三邊之比等于相應(yīng)的三個(gè)內(nèi)角之比()(2)在ABC中,若sin Asin B,則AB.()(3)在ABC的六個(gè)元素中,已知任意三個(gè)元素可求其他元素()(4)當(dāng)b2c2a20時(shí),ABC為銳角三角形;當(dāng)b2c2a20時(shí),ABC為直角三角形;當(dāng)b2c2a20
3、時(shí),ABC為鈍角三角形()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改編1已知ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若A,B,a1,則b()A2B1C.D.D由得b2.2在ABC中,若a18,b24,A45,則此三角形有()A無(wú)解B兩解C一解D解的個(gè)數(shù)不確定Bbsin A24sin 4512,121824,即bsin Aab.此三角形有兩解3在ABC中,acos Abcos B,則這個(gè)三角形的形狀為_(kāi)等腰三角形或直角三角形由正弦定理,得sin Acos Asin Bcos B,即sin 2Asin 2B,所以2A2B或2A2B,即AB或AB,所以這個(gè)三角形為等腰三角形或直角三角形4在ABC
4、中,A60,AC4,BC2,則ABC的面積等于_2因?yàn)?,所以sin B1,所以 B90,所以AB2,所以SABC222.(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第76頁(yè))考點(diǎn)1利用正、余弦定理解三角形解三角形的常見(jiàn)題型及求解方法(1)已知兩角A,B與一邊a,由ABC及,可先求出角C及b,再求出c.(2)已知兩邊b,c及其夾角A,由a2b2c22bccos A,先求出a,再求出角B,C.(3)已知三邊a,b,c,由余弦定理可求出角A,B,C.(4)已知兩邊a,b及其中一邊的對(duì)角A,由正弦定理可求出另一邊b的對(duì)角B,由C(AB),可求出角C,再由可求出c,而通過(guò)求角B時(shí),可能有一解或兩解或無(wú)解的情況(1)(2019全國(guó)卷)
5、ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知asin Absin B4csin C,cos A,則()A6B5C4D3(2)(2019全國(guó)卷)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.設(shè)(sin Bsin C)2sin2Asin Bsin C.求A;若ab2c,求sin C.(1)Aasin Absin B4csin C,由正弦定理得a2b24c2,即a24c2b2.由余弦定理得cos A,6.故選A.(2)解由已知得sin2Bsin2Csin2Asin Bsin C,故由正弦定理得b2c2a2bc.由余弦定理得cos A.因?yàn)?A180,所以A60.由知B120C,由題設(shè)及正弦定理
6、得sin Asin(120C)2sin C,即cos Csin C2sin C,可得cos(C60).由于0C120,所以sin(C60),故sin Csin(C6060)sin(C60)cos 60cos(C60)sin 60.解三角形問(wèn)題,關(guān)鍵是利用正、余弦定理實(shí)施邊和角的轉(zhuǎn)化,三角變換的相關(guān)公式如兩角和與差的正、余弦公式,二倍角公式等,作為化簡(jiǎn)變形的重要依據(jù)1.(2019全國(guó)卷)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知bsin Aacos B0,則B_.bsin Aacos B0,.由正弦定理,得cos Bsin B,tan B1.又B(0,),B.2在ABC中,AB4,AC7
7、,BC邊上中線AD,則BC_.9設(shè)BDDCx,ADC,ADB,在ADC中,(7)2x22xcos ,在ABD中,(4)2x22xcos(),得x,BC9.3(2019貴陽(yáng)模擬)在ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊a,b,c成公差為2的等差數(shù)列,C120.(1)求邊長(zhǎng)a;(2)求AB邊上的高CD的長(zhǎng)解(1)由題意得ba2,ca4,由余弦定理cos C得cos 120,即a2a60,所以a3或a2(舍去),所以a3.(2)法一:由(1)知a3,b5,c7,由三角形的面積公式得absinACBcCD,所以CD,即AB邊上的高CD.法二:由(1)知a3,b5,c7,由正弦定理得,即sin A,在RtACD
8、中,CDACsin A5,即AB邊上的高CD.教師備選例題(2018天津高考)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知bsin Aacos.(1)求角B的大?。?2)設(shè)a2,c3,求b和sin(2AB)的值解(1)在ABC中,由正弦定理,可得bsin Aasin B,又由bsin Aacos,得asin Bacos,即sin Bcos,可得tan B.又因?yàn)锽(0,),可得B.(2)在ABC中,由余弦定理及a2,c3,B,有b2a2c22accos B7,故b.由bsin Aacos,可得sin A.因?yàn)閍c,故cos A.因此sin 2A2sin Acos A,cos 2A2
9、cos2A1,所以,sin(2AB)sin 2Acos Bcos 2Asin B.考點(diǎn)2與三角形面積有關(guān)的問(wèn)題三角形面積公式的應(yīng)用原則(1)對(duì)于面積公式Sabsin Cacsin Bbcsin A,一般是已知哪一個(gè)角就使用哪一個(gè)公式(2)與面積有關(guān)的問(wèn)題,一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化(2019全國(guó)卷)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知asinbsin A.(1)求B;(2)若ABC為銳角三角形,且c1,求ABC面積的取值范圍解(1)由題設(shè)及正弦定理得sin Asinsin Bsin A.因?yàn)閟in A0,所以sinsin B.由ABC180,可得sincos,故
10、cos2sincos.因?yàn)閏os0,故sin,所以B60.(2)由題設(shè)及(1)知ABC的面積SABCa.由正弦定理得a.由于ABC為銳角三角形,故0A90,0C90.由(1)知AC120,所以30C90,故a2,從而SABC.因此,ABC面積的取值范圍是.(1)若已知一個(gè)角(角的大小或該角的正弦值、余弦值),一般結(jié)合題意求夾這個(gè)角的兩邊或兩邊之積,再代入公式求解(2)若已知三邊,可先求一個(gè)角的余弦值,再求正弦值,最后代入公式得面積(3)若求面積的最值,一般表示為一個(gè)內(nèi)角的三角函數(shù),利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解,也可結(jié)合基本不等式求解1.(2019全國(guó)卷)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.
11、若b6,a2c,B,則ABC的面積為_(kāi)6法一:因?yàn)閍2c,b6,B,所以由余弦定理b2a2c22accos B,得62(2c)2c222cccos ,得c2,所以a4,所以ABC的面積Sacsin B42sin 6.法二:因?yàn)閍2c,b6,B,所以由余弦定理b2a2c22accos B,得62(2c)2c222cccos ,得c2,所以a4,所以a2b2c2,所以A,所以ABC的面積S266.2在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知bc2acos B.(1)證明:A2B;(2)若ABC的面積S,求角A的大小解(1)證明:由正弦定理得sin Bsin C2sin Acos B,
12、故2sin Acos Bsin Bsin(AB)sin Bsin Acos Bcos Asin B,于是sin Bsin(AB)又A,B(0,),故0AB,所以B(AB)或BAB,因此A(舍去)或A2B,所以A2B.(2)由S,得absin C,故有sin Bsin Csin Asin 2Bsin Bcos B,由sin B0,得sin Ccos B.又B,C(0,)所以CB.當(dāng)BC時(shí),A;當(dāng)CB時(shí),A.綜上,A或A.教師備選例題已知ABC的面積為3,AC2,BC6,延長(zhǎng)BC至D,使ADC45.(1)求AB的長(zhǎng);(2)求ACD的面積解(1)因?yàn)镾ABC62sinACB3,所以sinACB,AC
13、B30或150,又ACBADC,且ADC45,所以ACB150,在ABC中,由余弦定理得AB21236226cos 15084,所以AB2.(2)在ACD中,因?yàn)锳CB150,ADC45,所以CAD105,由正弦定理得,所以CD3,又ACD18015030,所以SACDACCDsinACD2(3).考點(diǎn)3判斷三角形的形狀判斷三角形形狀的兩種思路(1)化邊:通過(guò)因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系,從而判斷三角形的形狀(2)化角:通過(guò)三角恒等變形,得出內(nèi)角的關(guān)系,從而判斷三角形的形狀此時(shí)要注意應(yīng)用ABC這個(gè)結(jié)論設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若bcos Cccos Basin A,
14、則ABC的形狀為()A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D不確定B由正弦定理得sin Bcos Csin Ccos Bsin2A,sin(BC)sin2A,即sin(A)sin2A,sin Asin2A.A(0,),sin A0,sin A1,即A,ABC為直角三角形在判斷三角形的形狀時(shí),一定要注意解是否唯一,并注重挖掘隱含條件另外,在變形過(guò)程中要注意角A,B,C的范圍對(duì)三角函數(shù)值的影響,在等式變形中,一般兩邊不要約去公因式,應(yīng)提取公因式,以免漏解在ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若,(bca)(bca)3bc,則ABC的形狀是()A直角三角形B等腰非等邊三角形C等邊三角形D鈍角三角形C因?yàn)?,所?所以bc.又(bca)(bca)3bc,所以b2c2a2bc,所以cos A.因?yàn)锳(0,),所以A.所以ABC是等邊三角形