《高等數(shù)學(xué)：第7章 第八節(jié) 、常系數(shù)非齊次線性微分方程》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高等數(shù)學(xué)：第7章 第八節(jié) 、常系數(shù)非齊次線性微分方程（25頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第八節(jié)第八節(jié) 常系數(shù)非齊次線性微分方程常系數(shù)非齊次線性微分方程（1）)( xfyqypy 對(duì)應(yīng)的齊次方程為對(duì)應(yīng)的齊次方程為0 yqypy（2）結(jié)論結(jié)論 ：如果如果 y* 是（是（1）的一個(gè)特解，）的一個(gè)特解，2211ycycY 是（是（2）的通解，則）的通解，則 yYy*2211yycyc 即是（即是（1）的通解）的通解 非齊次線性微分方程（非齊次線性微分方程（1）的通解等于它的一）的通解等于它的一個(gè)特解加上對(duì)應(yīng)的齊次方程（個(gè)特解加上對(duì)應(yīng)的齊次方程（2）的通解。）的通解。求二階常系數(shù)非齊次線性微分方程。求二階常系數(shù)非齊次線性微分方程。（1）)( xfyqypy 的通解的步驟如下：的通解的步驟如

2、下：第一步第一步 求出對(duì)應(yīng)的齊次方程求出對(duì)應(yīng)的齊次方程第二步第二步 求出方程（求出方程（1）的一個(gè)特解）的一個(gè)特解第三步第三步 寫(xiě)出方程（寫(xiě)出方程（1）的通解）的通解0 yqypy的通解的通解2211ycycY *y*yYy *2211yycyc 問(wèn)題問(wèn)題: 如何求方程（如何求方程（1）的一個(gè)特解）的一個(gè)特解 y* ？例例1：求非齊次方程求非齊次方程xyy5 的通解的通解解：對(duì)應(yīng)的齊次方程為解：對(duì)應(yīng)的齊次方程為0 yy齊次方程的通解為齊次方程的通解為xxececY 21通過(guò)觀察和直接驗(yàn)算可知通過(guò)觀察和直接驗(yàn)算可知xy5* 是原方程的一個(gè)特解。是原方程的一個(gè)特解。所以方程的通解為：所以方程的通解

3、為：*yYy xxecec21x5)(xPeqyypymx 型型一一)()(.xPexfmx 其中：其中： 是常數(shù)，是常數(shù)，mmmmaxaxaxP 110)(設(shè)特解為設(shè)特解為,)(*xexQy )()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm 不是特征方程的根，不是特征方程的根，若若 )1(, 02 qp )()(xQxQm 可可設(shè)設(shè);)(*xmexQy mmmbxbxb 110代入上式，比較等式兩端系數(shù)，可定出代入上式，比較等式兩端系數(shù)，可定出mbbb,10從而得到一特解從而得到一特解對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程：對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程：代入原方程得代入原方程得*,*, yyy將將02 qpr

4、rP354：1)(xPeqyypymx 型型一一)()(.xPexfmx 其中：其中： 是常數(shù)，是常數(shù)，mmmmaxaxaxP 110)(設(shè)特解為設(shè)特解為,)(*xexQy )()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm 對(duì)應(yīng)齊次方程的對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程：特征方程：代入原方程得代入原方程得*,*, yyy將將02 qprr是特征方程的單根，是特征方程的單根，若若 )2(, 02 qp , 02 p )()(xxQxQm 可設(shè)可設(shè);)(*xmexxQy )(110mmmbxbxbx 同（同（1）類似，可得一特解：）類似，可得一特解：)(xPeqyypymx 型型一一)()(.xPexf

5、mx 其中：其中： 是常數(shù)，是常數(shù)，mmmmaxaxaxP 110)(設(shè)特解為設(shè)特解為,)(*xexQy )()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm 對(duì)應(yīng)齊次方程的對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程：特征方程：代入原方程得代入原方程得*,*, yyy將將02 qprr是特征方程的重根，是特征方程的重根，若若 )3(, 02 qp , 02 p )()(2xQxxQm 可設(shè)可設(shè).)(*2xmexQxy )(1102mmmbxbxbx 故所求特解為：故所求特解為：)(xPeqyypymx 型型一一)()(.xPexfmx 其中：其中： 是常數(shù)，是常數(shù)，mmmmaxaxaxP 110)(對(duì)應(yīng)齊次方程的

6、對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程：特征方程：02 qprr綜上討論，方程的特解總可設(shè)為綜上討論，方程的特解總可設(shè)為, )(*xQexymxk 是重根是重根是單根是單根不是根不是根2,10kmmmmbxbxbxQ 110)(其中：其中：mbbb,10可用待定系數(shù)法確定。可用待定系數(shù)法確定。特別地特別地,)(AxPm )(xPeqyypymx 型型一一)()(.xPexfmx 其中：其中： 是常數(shù)，是常數(shù)，mmmmaxaxaxP 110)(對(duì)應(yīng)齊次方程的對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程：特征方程：02 qprr)(xPeqyypymx xAeqyypy 是是特特征征方方程程的的重重根根是是特特征征方方程程的的單單根根

7、不不是是特特征征方方程程的的根根 xxxeBxBxeBey2,*其中參數(shù)其中參數(shù) B 可用待定系數(shù)法確定可用待定系數(shù)法確定.上述結(jié)論可推廣到上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程階常系數(shù)非齊次線性微分方程)()1(1)(xPeypypymxnnn 其中：其中： 是常數(shù)，是常數(shù)，mmmmaxaxaxP 110)(對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程：對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程：011 nnnprpr, )(*xQexymxk 重根重根是是是單根是單根不是根不是根ssk ,10mmmmbxbxbxQ 110)(其中：其中：mbbb,10可用待定系數(shù)法確定?？捎么ㄏ禂?shù)法確定。方程的特解可設(shè)為方程的特解可設(shè)為.

8、232的通解的通解求方程求方程xxeyyy 解解對(duì)應(yīng)齊次方程通解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征方程, 0232 rr特征根：特征根：，2121 rr,221xxeCeCY 是單根，是單根，2 ,)(*2xeBAxxy 故可設(shè)故可設(shè)代入方程代入方程, 化簡(jiǎn)得化簡(jiǎn)得xABAx 22,121 BAxexxy2)121(* 于是于是原方程通解為原方程通解為.)121(2221xxxexxeCeCy 例例1 1，xxPm )( ., 2, 1,0, )(*是重特征根是重特征根是單特征根是單特征根不是特征根不是特征根 kxQexymxk ., 2, 1,0, )(*是重特征根是重特征根是單特征根是單特征根不

9、是特征根不是特征根 kxQexymxk.963的的通通解解求求方方程程xeyyy 解解對(duì)應(yīng)齊次方程通解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征方程, 0962 rr特征根：特征根：，321 rr,)(321xexCCY 是重根，是重根，3 ,*32xAexy 故可設(shè)故可設(shè)代入方程代入方程, 化簡(jiǎn)得化簡(jiǎn)得, 12 A,21 Axexy3221* 于是于是原方程通解為原方程通解為.21)(32321xxexexCCy 例例2 2，1)( xPm ., 2, 1,0, )(*是重特征根是重特征根是單特征根是單特征根不是特征根不是特征根 kxQexymxk ., 2, 1,0, )(*是重特征根是重特征根是單特征

10、根是單特征根不是特征根不是特征根 kxQexymxk學(xué)生練習(xí)學(xué)生練習(xí)答案：答案：D課堂課堂 練習(xí)：練習(xí)：P347：1（1），），2（5）作業(yè)：作業(yè)：P347：1（1,3，4,5,9），），2（2,3），），6型型二、二、sin)(cos)()(xxPxxPexfnlx sincos)(xPxPexfnlx 22ieePeePexixinxixilx xinlxinleiPPeiPP)()()22()22( ,)()()()(ximximexPexP 利用歐拉公式利用歐拉公式)(xfqyypy 其中：其中：nlPP 和和分別是分別是 l 和和 n 次多項(xiàng)式，次多項(xiàng)式， 是常數(shù)。是常數(shù)。sinco

11、s)(xPxPexfnlx )()(21xfxf , ,maxnlm sincosiei 類型舉例：類型舉例：P354sincos)(xPxPexfnlx )(xfqyypy 其中：其中：)()(21xfxf ,22)(iPPxPnlm ,22)(iPPxPnlm ,)()()(1ximexPxf ,)()()(2ximexPxf , )()(21xfxf )()1(1xfqyypy ,)(*1ximkeQxy )()2(2xfqyypy *1*2yy ,)(ximkeQx 故原方程一個(gè)特解故原方程一個(gè)特解*2*1*yyy )(ximximxkeQeQex 其中其中 k 依依 + i 是否為特

12、征根的情況分別取是否為特征根的情況分別取 0 或或 1(1)的共軛是的共軛是(2) ， 的共軛必是的共軛必是(2)的解的解*1yP334定理定理4)sin(cosxixQexmxk xxRexmxk cos)()1( 其中其中)(),()2()1(xRxRmm為兩個(gè)為兩個(gè) m 次待定多項(xiàng)式，次待定多項(xiàng)式，sincos)(xPxPexfnlx )(xfqyypy 其中：其中：)()(21xfxf ,22)(iPPxPnlm ,22)(iPPxPnlm ,)()()(1ximexPxf ,)()()(2ximexPxf , )()(21xfxf 故原方程的一個(gè)特解為故原方程的一個(gè)特解為)(*xim

13、ximxkeQeQexy , ,maxnlm )sin(cosxixQm sin)()2(xxRm 括號(hào)內(nèi)兩項(xiàng)互成共軛，括號(hào)內(nèi)兩項(xiàng)互成共軛，相加后即無(wú)虛部相加后即無(wú)虛部型型二、二、sin)(cos)()(xxPxxPexfnlx sincos)(xPxPexfnlx )(xfqyypy 其中：其中：nlPP 和和分別是分別是 l 和和 n 次多項(xiàng)式，次多項(xiàng)式， 是常數(shù)。是常數(shù)。綜上討論，方程的特解總可設(shè)為綜上討論，方程的特解總可設(shè)為 ., 1,0是特征根是特征根不是特征根不是特征根 iiksin)(cos)(*)2()1(xxRxxRexymmxk 其中其中)(),()2()1(xRxRmm為

14、兩個(gè)為兩個(gè) m 次待定多項(xiàng)式，次待定多項(xiàng)式，上述結(jié)論也可推廣到上述結(jié)論也可推廣到 n 階方程的情形，階方程的情形，, ,maxnlm .sin4的通解的通解求方程求方程xyy 解解對(duì)應(yīng)齊次方程的通解對(duì)應(yīng)齊次方程的通解,sincos21xCxCY 例例2 2方法一：方法一：, 0 lP, 4 nP, 0 sincos)(xPxPexfnlx ,00, 0max msin)(cos)(*)2()1(xxRxxRexymmxk )sincos(*0 xBxAxeyx , ii , 1 是特征根，是特征根，)sincos(xBxAx 特征方程為特征方程為,012 r特征根為特征根為, ir 代入原方程

15、化簡(jiǎn)為：代入原方程化簡(jiǎn)為：xxAxBsin4sin2cos2 , 2,0 AB*2 cos ,yxx 所求特解為所求特解為原方程通解為：原方程通解為：.cos2sincos21xxxCxCy 例例3 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 連續(xù)，且滿足連續(xù)，且滿足)(x xxxdttxdtttex00)()()( 求求)(x 解解 對(duì)積分方程兩邊求導(dǎo)對(duì)積分方程兩邊求導(dǎo) xxdttex0)()( 再求導(dǎo)得再求導(dǎo)得xexx )()( 初始條件為初始條件為1)0(,1)0( 特征方程為特征方程為,012 r特征根為特征根為, ir xCxCxsincos)(21 由于由于1,)( xexf不是特征根，不是特征根，,)(*xa

16、ex 對(duì)應(yīng)齊次方程的通解：對(duì)應(yīng)齊次方程的通解：故設(shè)特解為故設(shè)特解為, 1)( xPm代入原方程并化簡(jiǎn)得代入原方程并化簡(jiǎn)得,2xxeae ,21 a,21)(*xex 一型非齊方程一型非齊方程例例3 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 連續(xù)，且滿足連續(xù)，且滿足)(x xxxdttxdtttex00)()()( 求求)(x 解解 對(duì)積分方程兩邊求導(dǎo)對(duì)積分方程兩邊求導(dǎo) xxdttex0)()( 再求導(dǎo)得再求導(dǎo)得xexx )()( 初始條件為初始條件為1)0(,1)0( 特征方程為特征方程為,012 r特征根為特征根為, ir xCxCxsincos)(21 對(duì)應(yīng)齊次方程的通解：對(duì)應(yīng)齊次方程的通解：,21)(*xex 2/sincos)(21xexCxCx 再代入初始條件可得再代入初始條件可得)sin(cos21)(xexxx 第八章：作業(yè)第八章：作業(yè)課練：習(xí)題課練：習(xí)題7 8: 1(3,8) , 2(3,4)習(xí)題習(xí)題7 8: 1(1, 4,5,6) , 2(1，2, 4), 6 第四題圖xyO( )yf xt1tdi