《高等數(shù)學：第7章 第七節(jié)、 常系數(shù)齊次線性微分方程》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高等數(shù)學：第7章 第七節(jié)、 常系數(shù)齊次線性微分方程（22頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第七節(jié)：第七節(jié)： 二階常系數(shù)齊次線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性微分方程0)()()(1)1(1)( yxayxayxaynnnn n 階線性齊次微分方程的一般形式為階線性齊次微分方程的一般形式為若若)(),(),(21xaxaxan都是常數(shù)，即都是常數(shù)，即01)1(1)( yayayaynnnn其中，其中，naaa,21都是常系數(shù)，都是常系數(shù)，則稱之為則稱之為n 階常系數(shù)齊次線性微分方程。階常系數(shù)齊次線性微分方程。特別，特別，n = 2 時，則時，則0 qypy一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法0 yqypy（1） （1） 關于未知函數(shù)關于未知函數(shù) 是

2、線性的；是線性的； ,yyy和和（2）系數(shù)）系數(shù) p、q 是實常數(shù)。是實常數(shù)。問題問題1：方程（方程（1）的通解結構是什么？）的通解結構是什么？ 結論結論 ： 如果如果 和和 是（是（1）的兩個特解，）的兩個特解，1y2y且且 常數(shù)常數(shù)，則（，則（1）的通解為：）的通解為： 21yy2211ycycY 其中其中 與與 為任意常數(shù)。為任意常數(shù)。1c2c問題問題2：如何求方程（如何求方程（1）的兩個線性無關的）的兩個線性無關的 解？解？（1）0 yqypy問題問題2：如何求方程（如何求方程（1）的兩個線性無關的解？）的兩個線性無關的解？簡單分析：簡單分析：如果能找到一個不恒為零的函數(shù)如果能找到一個

3、不恒為零的函數(shù))(xy使得使得 三者之間僅相差一個常數(shù)因子，三者之間僅相差一個常數(shù)因子， ,yyy和和不妨設不妨設,yay , yby 代入（代入（1）的左邊得）的左邊得yqyapyb 若還能選擇適當?shù)膮?shù)，使若還能選擇適當?shù)膮?shù)，使0 qapb則這樣的函數(shù)則這樣的函數(shù) y = y(x)就是方程（就是方程（1）的解）的解指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù) 有這個特點，我們嘗試一下有這個特點，我們嘗試一下xrey ,)(yqapb )0( y（1）0 yqypy問題問題2：如何求方程（如何求方程（1）的兩個線性無關的解？）的兩個線性無關的解？設設 滿足方程（滿足方程（1），），xrey 其中其中 r 為待定參數(shù)為

4、待定參數(shù)由于由于,xrery , 2xrery 代入（代入（1）得）得xrer2xrerp ,0 xreq0)(2 xreqrpr因為因為,0 xre所以必有所以必有02 qrpr（2）xrey 是（是（1）的解）的解參數(shù)參數(shù) r 滿足（滿足（2）（1）0 yqypy問題問題2：如何求方程（如何求方程（2）的兩個線性無關的解？）的兩個線性無關的解？02 qrpr（2）xrey 是（是（2）的解）的解參數(shù)參數(shù) r 滿足（滿足（2） 定義：定義：我們稱代數(shù)方程（我們稱代數(shù)方程（2）為微分方程（）為微分方程（1）的特征方程。的特征方程。記特征方程（記特征方程（2）的兩個根分別為）的兩個根分別為,24

5、21qppr 2422qppr （1）0 yqypy問題問題2：如何求方程（如何求方程（1）的兩個線性無關的解？）的兩個線性無關的解？02 qrpr（2）,2421qppr ,2422qppr （1）當）當 時，時，042 qp 是兩個不相等的實根是兩個不相等的實根21, rr此時（此時（1）有兩個特解：）有兩個特解：,11xrey xrey22 顯然顯然 21yyxrxree21xrre)(21 不等于常數(shù)不等于常數(shù)所以所以 線性無關。線性無關。21, yyxrxrececY2121 （1）0 yqypy問題問題2：如何求方程（如何求方程（1）的兩個線性無關的解？）的兩個線性無關的解？02

6、qrpr（2）,2421qppr ,2422qppr （2）當）當 時，時，042 qp21rr 2p 此時只能得到（此時只能得到（1）的一個解：）的一個解：xrey11 代入原方程并化簡，代入原方程并化簡，將將222yyy , 0)()2(1211 uqprrupru,)(12xrexuy 設設另另一一特特解解為為（2）當）當 時，時，042 qp21rr 2p 此時只能得到（此時只能得到（1）的一個解：）的一個解：xrey11 代入原方程并化簡，代入原方程并化簡，將將222yyy , 0)()2(1211 uqprrupru,)(12xrexuy 設設另另一一特特解解為為得齊次方程的通解為

7、得齊次方程的通解為, 0 u知知,)(xxu 取取,12xrxey 則則顯然顯然 線性無關。線性無關。21, yyxrxrexcecY1121 xrexccY1)(21 或或（1）0 yqypy問題問題2：如何求方程（如何求方程（1）的兩個線性無關的解？）的兩個線性無關的解？02 qrpr（2）,2421qppr ,2422qppr （3）當）當 時，時，042 qp 是一對共扼復根是一對共扼復根21, rr記為記為,1 ir ,2 ir 其中其中,2p ,242pq 此時此時,)(1xiey xiey)(2 是（是（1）的兩個線性無關的特解。）的兩個線性無關的特解。（3）當）當 時，時，04

8、2 qp 是一對共扼復根是一對共扼復根21, rr記為記為,1 ir ,2 ir 其中其中,2p ,242pq 此時此時,)(1xiey xiey)(2 是（是（2）的兩個線性無關的特解。）的兩個線性無關的特解。問題問題3：如何得到實值函數(shù)的通解？：如何得到實值函數(shù)的通解？歐拉公式：歐拉公式： sincosiei xiey)(1 xixee )sin(cosxixex xiey)(2 xixee )sin(cosxixex 但他們是復數(shù)形式的解。但他們是復數(shù)形式的解。xecxecYxx sincos21 問題問題3：如何得到實值函數(shù)的通解？：如何得到實值函數(shù)的通解？歐拉公式：歐拉公式： sin

9、cosiei xiey)(1 xixee )sin(cosxixex xiey)(2 xixee )sin(cosxixex )(21211yyy xex cos )(21212yyiy xex sin 取取由疊加原理：由疊加原理：21, yy仍是解，仍是解， 且為實數(shù)形式。且為實數(shù)形式。又又xyy cot21 所以方程的通解為：所以方程的通解為：,C 求二階常系數(shù)齊次線性微分方程。求二階常系數(shù)齊次線性微分方程。（1）0 yqypy的通解的步驟如下：的通解的步驟如下：第一步第一步 寫出方程（寫出方程（1）的特征方程）的特征方程02 qrpr（2）第二步第二步 求出特征方程（求出特征方程（2）的

10、兩個根）的兩個根21rr 和和第三步第三步 根據(jù)特征方程（根據(jù)特征方程（2）的兩個根的不同）的兩個根的不同情形，對應寫出方程（情形，對應寫出方程（1）的通解。）的通解。（1）0 yqypy02 qrpr（2）042 qp21, rr xrecY11xrec22042 qp21rr xrexccY1)(21 042 qp ir 2, 1xceYx cos(1 )sin2xc 特征方程（特征方程（2）的根的判別式的根的判別式特征方程（特征方程（2）的根的情形的根的情形微分方程（微分方程（1）的）的通解通解兩個不相等的兩個不相等的實根實根兩個相等的兩個相等的實根實根一對共扼復根一對共扼復根例例1：求

11、微分方程求微分方程032 yyy的通解的通解解：特征方程為解：特征方程為0322 rr0)1( )3( rr分解因式分解因式所以所以,31 r,12 r兩個不相等的實根兩個不相等的實根xxececY 231所求通解為所求通解為例例2：求微分方程求微分方程0314 yyy的通解的通解解：特征方程為解：特征方程為03142 rr 2, 1r2134164 i32 )sincos(21xcxceYx ,2 ,3 所以所以所求通解為所求通解為)3sin3cos21xcxc (2xeY 例例3：設設)cossin(21xCxCeyx 解：根據(jù)通解結構，可知對應的特征方程有一對復根：解：根據(jù)通解結構，可知

12、對應的特征方程有一對復根：,0)1()1( irir為某二階常系數(shù)齊次為某二階常系數(shù)齊次,11ir 因此特征方程為：因此特征方程為：, 0222 rr所求方程為：所求方程為：. 022 yyy線性微分方程的通解，求其微分方程。線性微分方程的通解，求其微分方程。,12ir 二、二、n 階常系數(shù)齊次線性方程解法階常系數(shù)齊次線性方程解法01)1(1)( ypypypynnnn特征方程為特征方程為0111 nnnnprprpr特征方程的根特征方程的根通解中的對應項通解中的對應項單實根單實根 r xreC k 重實根重實根 rrxkkexCxCC)(1110 一對單重復根一對單重復根 ir 2, 1xe

13、xCxC )sincos(21 ir 2, 1一對一對 k 重復根重復根xkkkkexxDxDDxxCxCC sin)(cos)(11101110注意注意n次代數(shù)方程有次代數(shù)方程有n個根個根（重根按重數(shù)計算）（重根按重數(shù)計算）, 而特征方程的每一個根都對應著通解中的一而特征方程的每一個根都對應著通解中的一項項, 且每一項各一個任意常數(shù)且每一項各一個任意常數(shù).nnyCyCyCY 2211將上述所有項加在一起，就得到將上述所有項加在一起，就得到n 階常系數(shù)齊次階常系數(shù)齊次線性方程的通解為線性方程的通解為特征根情形如下：特征根情形如下：,0)1(2,1 r故所求通解為：故所求通解為：解解特征方程為特

14、征方程為.052)3()4(的的通通解解求求方方程程 yyy例例1 12 重實根，故對應項為：重實根，故對應項為：)(210 xCCex ,21)2(4,3ir 一對一對 單復根，故對應項為：單復根，故對應項為：)2sin2cos(43xCxCex 052234 rrr0)52(22 rrrxCC21 xCCY21 )2sin2cos(43xCxCex 第七節(jié)：作業(yè)：第七節(jié)：作業(yè)：習題習題7 7: 1 (1, 3, 5) , 2 (1, 2, 4) 第七節(jié)：課堂練習第七節(jié)：課堂練習1 (2, 4) , 2 (3) 特征根情形如下：特征根情形如下：,1)1(1 r故所求通解為：故所求通解為：.s

15、in)(cos)(54321xxCCxxCCeCyx 解解, 01222345 rrrrr特征方程為特征方程為, 0)1)(1(22 rr.022)3()4()5(的通解的通解求方程求方程 yyyyyy例例2 2單實根，故對應項為：單實根，故對應項為：,1xeC ,)2(2,1ir 一對一對 2 重復根，故對應項為：重復根，故對應項為：sin)(cos)(54320 xxCCxxCCex xxCCxxCCsin)(cos)(5432 例例3：求具有特解求具有特解xxxeyxeyey3,2,321 解：因為解：因為, 0) 1() 1(2 rr332211ycycycy 的三階常系數(shù)齊次線性微分方程。的三階常系數(shù)齊次線性微分方程。xxxeyxeyey3,2,321 線性無關線性無關故所求微分方程的通解為故所求微分方程的通解為xxxeCxeCeC321 3322113,2,cCcCcC xxeCexCC321)( 故對應的特征方程有根：故對應的特征方程有根：, 12, 1 r, 13 r因此特征方程為：因此特征方程為：, 0123 rrr所求方程為：所求方程為：. 0 yyyy