《高中數(shù)學(xué)人教A版選修41學(xué)案：第1講 1 平行線等分線段定理 Word版含解析》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué)人教A版選修41學(xué)案：第1講 1 平行線等分線段定理 Word版含解析（19頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 一　平行線等分線段定理 1．掌握平行線等分線段定理及其兩個(gè)推論．(重點(diǎn)) 2．能運(yùn)用平行線等分線段定理及其兩個(gè)推論進(jìn)行簡單的證明或計(jì)算．(難點(diǎn)) [基礎(chǔ)·初探] 教材整理1　平行線等分線段定理 閱讀教材P2～P3定理以上部分，完成下列問題． 1．文字語言 如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等． 2．圖形語言 如圖1-1-1，l1∥l2∥l3，l分別交l1，l2，l3于A，B，C，l′分別交l1，l2，l3于A1，B1，C1，若AB＝BC，則A1B1＝B1C1. 圖1-1-1 教材整理2　

2、平行線等分線段 定理的推論 閱讀教材P4～P5“習(xí)題”以上部分，完成下列問題． 1．推論1 經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊． 2．推論2 經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)，且與底邊平行的直線平分另一腰． 在梯形ABCD中，M，N分別是腰AB與腰CD的中點(diǎn)，且AD＝2，BC＝4，則MN等于(　　) A．2.5　　　　　　　 B．3 C．3.5 D．不確定 【解析】　由梯形中位線定理知選 B. 【答案】　B [質(zhì)疑·手記] 預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流： 疑問1：　 解惑：　 疑問2：　 解惑：　 疑問3：　 解惑：　

3、 [小組合作型] 平行線等分線段定理推論1的應(yīng)用 　如圖1-1-2，在△ABC中，AD，BF為中線，AD，BF交于G，CE∥FB交AD的延長線于E.求證：AG＝2DE. 圖1-1-2 【精彩點(diǎn)撥】　→→ → 【自主解答】　在△AEC中， ∵AF＝FC，GF∥EC， ∴AG＝GE. ∵CE∥FB， ∴∠GBD＝∠ECD，∠BGD＝∠E. 又BD＝DC， ∴△BDG≌△CDE. 故DG＝DE，即GE＝2DE， 因此AG＝2DE. 1．如果已知條件中出現(xiàn)中點(diǎn)，往往運(yùn)用三角形的中位線定理來解決問題． 2．本例在證明DG＝DE時(shí)也可以過D作EC的平行線

4、DH. 因?yàn)锽G∥DH∥CE且BD＝CD得DG＝DE，使用平行線等分線段定理來證明． [再練一題] 1．如圖1-1-3，已知AD是三角形ABC的中線，E為AD的中點(diǎn)，BE的延長線交AC于F.求證：AF＝AC. 圖1-1-3 【證明】　過D作DH∥BF，交AC于H. ∵BD＝CD，DH∥BF， ∴FH＝CH. 同理AF＝FH. ∴AF＝FH＝CH， ∴AF＝AC. 　平行線等分線段定理推論2的應(yīng)用 　如圖1-1-4所示，梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，∠B＝60°，BC＝AB，E為AB的中點(diǎn)．求證：△ECD為等邊三角形． 圖1-1-4 【精

5、彩點(diǎn)撥】　過E作EF∥BC，先證明EC＝ED，再連接AC，證明∠BCE＝30°，從而∠ECD＝60°. 【自主解答】　過E作EF∥BC交DC于F，連接AC，如圖所示． ∵AD∥BC，E為AB中點(diǎn)， ∴F是DC中點(diǎn)．?、? 又∵DC⊥BC，EF∥BC， ∴EF⊥DC.　② ∴由①②知，EF是DC的垂直平分線， ∴△ECD為等腰三角形．　③ ∵BC＝AB，∠B＝60°， ∴△ABC是等邊三角形． 又∵E是AB中點(diǎn)， ∴CE是∠ACB的平分線， ∴∠BCE＝30°，∴∠ECD＝60°.?、? 由③④知，△ECD為等邊三角形． 1．解答本題的關(guān)鍵是通過證明△ABC是

6、等邊三角形來證明∠BCE＝30°. 2．有梯形且存在線段中點(diǎn)時(shí)，常過該點(diǎn)作平行線，構(gòu)造平行線等分線段定理的推論2的基本圖形，進(jìn)而進(jìn)行幾何證明或計(jì)算． [再練一題] 2．如圖1-1-5，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，EF交BD于G，交AC于H.求證：EG＝GH＝HF. 圖1-1-5 【證明】　∵E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，AD∥BC. ∴EF∥AD，EF∥BC. ∴G，H分別是BD，AC的中點(diǎn)． ∴EG綊AD，F(xiàn)H綊AD，∴EG＝FH. ∵BC＝2AD，EH＝BC，∴EH＝AD， 又EG＝AD，∴GH＝EH－EG＝AD－A

7、D＝AD， ∴EG＝GH，即EG＝GH＝HF. [探究共研型] 平行線等分線段定理 探究1　你還有其它證明定理的方法嗎？ 【提示】　 證明：過B2作CD∥A1A3，分別交l1，l3于C，D，則可得到?A1A2B2C和?A2A3DB2. ∴A1A2＝CB2，A2A3＝B2D. ∵A1A2＝A2A3， ∴CB2＝B2D. 又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴△B1B2C≌△B3B2D， ∴B1B2＝B2B3. 探究2　平行線等分線段定理的逆命題成立嗎？ 【提示】　平行線等分線段定理的逆命題是：如果一組直線截另一組直線成相等的線段，那么這組直線平行，這個(gè)命題是錯(cuò)誤的．(如

8、圖所示) 　如圖1-1-6，已知AC⊥AB，DB⊥AB，O是CD的中點(diǎn)，求證：OA＝O B. 圖1-1-6 【精彩點(diǎn)撥】　由于線段OA和OB有共同端點(diǎn)，則轉(zhuǎn)化為證明△OAB是等腰三角形即可． 【自主解答】　過O作AB的垂線，垂足為E，如圖所示． 又∵AC⊥AB，DB⊥AB， ∴OE∥AC∥D B. 又∵O為CD的中點(diǎn)， ∴E為AB的中點(diǎn)，又OE⊥AB， ∴△OAB是等腰三角形，∴OA＝O B. 1．本題中由AC⊥AB，DB⊥AB知AC∥DB，聯(lián)想到作OE⊥AB，再根據(jù)平行線等分線段定理證明點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)． 2．平行線等分線段定理應(yīng)在有線段的中點(diǎn)時(shí)應(yīng)用

9、，在沒有線段的中點(diǎn)時(shí)構(gòu)造線段的中點(diǎn)來應(yīng)用． [再練一題] 3．如圖1-1-7，已知?ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A，B，C，D，O分別作直線a的垂線，垂足分別為A′，B′，C′，D′，O′.求證：A′D′＝B′C′. 圖1-1-7 【證明】　∵?ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O， ∴OA＝OC，OB＝OD. ∵AA′⊥a，OO′⊥a，CC′⊥a， ∴AA′∥OO′∥CC′， ∴O′A′＝O′C′， 同理O′D′＝O′B′， ∴A′D′＝B′C′. [構(gòu)建·體系] 1．如圖1-1-8所示，DE是△ABC的中位線，F(xiàn)是BC上任一點(diǎn)，AF交DE于

10、G，則有(　　) 圖1-1-8 A．AG>GF B．AG＝GF C．AG

11、O＝OD＝DF，BE＝10 cm，則BO的長是(　　) 圖1-1-10 A．3 cm　　　　 B. cm C．5 cm D．10 cm 【解析】　由平行線等分線段定理知，BO＝ cm. 【答案】　B 4．如圖1-1-11所示，AF＝FD＝BD，F(xiàn)G∥DE∥BC，若EP＝1，則BC＝________. 圖1-1-11 【解析】　由平行線等分線段定理知AG＝GE＝EC，則EP是△CFG的中位線，故FG＝2，又FG是△ADE的中位線，∴DE＝4，DP＝3，又DP是△FBC的中位線， ∴BC＝6. 【答案】　6 5．如圖1-1-12，已知以梯形ABCD的對(duì)角線AC

12、及腰AD為鄰邊作?ACED，DC的延長線交BE于F.求證：EF＝BF. 圖1-1-12 【證明】　連接AE交DC于O， ∵四邊形ACED是平行四邊形， ∴O是AE的中點(diǎn)(平行四邊形的對(duì)角線互相平分)． ∵四邊形ABCD是梯形， ∴DC∥A B.在△EAB中，OF∥AB，O是AE的中點(diǎn)， ∴F是EB的中點(diǎn)，∴EF＝BF. 我還有這些不足： (1)　 (2)　 我的課下提升方案： (1)　 (2)　 學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(一) (建議用時(shí)：45分鐘) [學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)] 一、選擇題 1．如圖1-1-13，已知l1∥l2∥l3，AB，CD相交于l2上一點(diǎn)O，

13、且AO＝OB，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(　　) 圖1-1-13 A．AC＝BD B．AE＝ED C．OC＝OD D．OD＝OB 【解析】　由l1∥l2∥l3知AE＝ED，OC＝OD， 由△AOC≌△BOD知AC＝BD， 但OD與OB不能確定其大小關(guān)系． 故選D. 【答案】　D 2．如圖1-1-14，已知AE⊥EC，CE平分∠ACB ，DE∥BC，則DE等于(　　) 圖1-1-14 A．BC－AC B．AC－BF C.(AB－AC) D.(BC－AC) 【解析】　由已知得CE是線段AF的垂直平分線． ∴AC＝FC，AE＝EF. ∵DE∥BC， ∴DE是

14、△ABF的中位線， ∴DE＝BF＝(BC－AC)． 【答案】　D 3．如圖1-1-15所示，過梯形ABCD的腰AD的中點(diǎn)E的直線EF平行于底邊，交BC于F，若AE的長是BF的長的，則FC是ED的(　　) 圖1-1-15 A.倍 B.倍 C．1倍 D.倍 【解析】　∵AB∥EF∥DC，且AE＝DE， ∴BF＝FC.又∵AE＝BF， ∴FC＝ED. 【答案】　B 4．如圖1-1-16，在梯形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，EF∥AB，EF＝30 cm，AC交EF于G，若FG－EG＝10 cm，則AB＝(　　) 圖1-1-16 A．30 cm B．40 cm

15、C．50 cm D．60 cm 【解析】　由平行線等分線段定理及推論知，點(diǎn)G，F(xiàn)分別是線段AC，BC的中點(diǎn)，則 EG＝DC，F(xiàn)G＝AB， ∴ 解得 【答案】　B 5.如圖1-1-17，在梯形ABCD中，AD∥BC，E為BC中點(diǎn)，且AE∥DC，AE交BD于點(diǎn)F，過點(diǎn)F的直線交AD的延長線于點(diǎn)M，交CB的延長線于點(diǎn)N，則FM與FN的關(guān)系為(　　) 圖1-1-17 A．FM>FN　　 B．FM

16、 ∴AF＝FE， ∴△AFM≌△EFN， ∴FM＝FN. 【答案】　C 二、填空題 6．如圖1-1-18所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝6，E，F(xiàn)分別為對(duì)角線BD，AC的中點(diǎn)，則EF＝____. 圖1-1-18 【解析】　如圖所示，過E作GE∥BC交BA于G. ∵E是DB的中點(diǎn)， ∴G是AB的中點(diǎn)，又F是AC的中點(diǎn)， ∴GF∥BC，∴G，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線， ∴GE＝AD＝1，GF＝BC＝3， ∴EF＝GF－GE＝3－1＝2. 【答案】　2 7．如圖1-1-19，已知在△ABC中，AD∶DC＝1∶1，E為BD的中點(diǎn)，AE延長線交BC于F，則BF與

17、FC的比值為__________． 圖1-1-19 【解析】　過D作DG平行于BC，交AF于點(diǎn)G，再根據(jù)平行線等分線段定理即可解決． 【答案】　 8．如圖1-1-20，在△ABC中，E是AB的中點(diǎn)，EF∥BD，EG∥AC，CD＝AD，若EG＝5 cm，則AC＝________；若BD＝20 cm，則EF＝________. 圖1-1-20 【解析】　∵E為AB的中點(diǎn)，EF∥BD， ∴F為AD的中點(diǎn)． ∵E為AB的中點(diǎn)，EG∥AC，∴G為BD的中點(diǎn)，若EG＝5 cm，則AD＝10 cm，又CD＝AD＝5 cm，∴AC＝15 cm.若BD＝20 cm ，則EF＝BD＝10

18、cm. 【答案】　15 cm　10 cm 三、解答題 9．(2016·南京模擬)如圖1-1-21，在梯形ABCD中，CD⊥BC，AD∥BC，E為腰CD的中點(diǎn)，且AD＝2 cm，BC＝8 cm，AB＝10 cm，求BE的長度． 圖1-1-21 【解】　過E點(diǎn)作直線EF平行于BC，交AB于F，作BG⊥EF于G(如圖)， 因?yàn)镋為腰CD的中點(diǎn)，所以F為AB的中點(diǎn)，所以BF＝AB＝5 cm， 又EF＝＝＝5(cm)， GF＝BC－FE＝8 cm－5 cm＝3 cm， 所以GB＝＝＝4 cm， EC＝GB＝4 cm， 所以BE＝＝＝4(cm)． 10．用一張矩形紙，你能折出一

19、個(gè)等邊三角形嗎？如圖1-1-22(1)，先把矩形紙ABCD對(duì)折，設(shè)折痕為MN；再把B點(diǎn)疊在折痕線上，得到Rt△ABE，沿著EB線折疊，就能得到等邊△EAF，如圖(2)．想一想，為什么？ 圖1-1-22 【解】　利用平行線等分線段定理的推論2， ∵N是梯形ADCE的腰CD的中點(diǎn)，NP∥AD， ∴P為EA的中點(diǎn)． ∵在Rt△ABE中，PA＝PB(直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半)， ∴∠1＝∠3. 又∵PB∥AD， ∴∠3＝∠2，∴∠1＝∠2. 又∵∠1與和它重合的角相等， ∴∠1＝∠2＝30°. 在Rt△AEB中，∠AEB＝60°，∠1＋∠2＝60°， ∴△AEF

20、是等邊三角形． [能力提升] 1．如圖1-1-23，AD是△ABC的高，E為AB的中點(diǎn)，EF⊥BC于F，如果DC＝BD，那么FC是BF的(　　) 圖1-1-23 A.倍　　　　 B.倍 C.倍 D.倍 【解析】　∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD. 又E為AB的中點(diǎn)，由推論1知F為BD的中點(diǎn)， 即BF＝FD. 又∵DC＝BD，∴DC＝BF. ∴FC＝FD＋DC＝BF＋DC＝BF. 【答案】　A 2．梯形的一腰長10 cm，該腰和底邊所形成的角為30°，中位線長為12 cm，則此梯形的面積為(　　) A．30 cm2 B．40 cm2 C．50 cm2 D．

21、60 cm2 【解析】　如圖，過A作AE⊥BC，在Rt△ABE中，AE＝ABsin 30°＝5 cm.又已知梯形的中位線長為12 cm， ∴AD＋BC＝2×12＝24(cm)． ∴梯形的面積S＝(AD＋BC)·AE ＝×5×24＝60(cm2)． 【答案】　D 3．如圖1-1-24，AB＝AC，AD⊥BC于D，M是AD的中點(diǎn)，CM交AB于P，DN∥CP，若AB＝9 cm，則AP＝__________；若PM＝1 cm，則PC＝__________. 圖1-1-24 【解析】　由AB＝AC和AD⊥BC，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)，得D是BC的中點(diǎn)．再由DN∥CP，可得N是BP的

22、中點(diǎn)．同理可得P是AN的中點(diǎn)，由此可得答案． 【答案】　3 cm　4 cm 4．如圖1-1-25所示，AE∥BF∥CG∥DH，AB＝BC＝CD，AE＝12，DH＝16，AH交BF于點(diǎn)M，求BM與CG的長． 圖1-1-25 【解】　如圖，取BC的中點(diǎn)P，作PQ∥DH交EH于點(diǎn)Q，則PQ是梯形ADHE的中位線． ∵AE∥BF∥CG∥DH， AB＝BC＝CD， AE＝12，DH＝16， ∴＝，＝， ∴＝， ∴BM＝4. ∵PQ為梯形的中位線， ∴PQ＝(AE＋DH)＝(12＋16)＝14. 同理，CG＝(PQ＋DH)＝(14＋16)＝15. 最新精品資料