《高考數(shù)學三輪押題沖刺 基礎知識最后一輪拿分測驗 空間中的垂直關系》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《高考數(shù)學三輪押題沖刺 基礎知識最后一輪拿分測驗 空間中的垂直關系(7頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、 空間中的垂直關系【考點導讀】1掌握直線與平面、平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理,并能用它們證明和解決有關問題。2線面垂直是線線垂直與面面垂直的樞紐,要理清楚它們之間的關系,學會互相轉化,善于利用轉化思想?!净A練習】1“直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線”是“”的 必要 條件。2如果兩個平面同時垂直于第三個平面,則這兩個平面的位置關系是 平行或相交 。3已知是兩個平面,直線若以,中兩個為條件,另一個為結論構成三個命題,則其中正確命題的個數(shù)是 2 個。4在正方體中,與正方體的一條對角線垂直的面對角線的條數(shù)是 6 。5兩個平面互相垂直,一條直線和其中一個平面平行,則這條直線和另一個平面的位置關系是
2、平行、相交或在另一個平面內(nèi) 。6在正方體中,寫出過頂點A的一個平面_AB1D1_,使該平面與正方體的12條棱所在的直線所成的角均相等(注:填上你認為正確的一個平面即可,不必考慮所有可能的情況)?!痉独龑觥坷?如圖,在四棱錐PABCD中,底面ABCD是正方形,側棱PD底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點,作EFPB交PB于點F.(1)證明PA/平面EDB; (2)證明PB平面EFD;解析:本小題考查直線與平面平行,直線與平面垂直基礎知識,考查空間想象能力和推理論證能力. 證明:(1)連結AC,AC交BD于O,連結EO. 底面ABCD是正方形,點O是AC的中點 在中,EO是中位線,PA /
3、EO 而平面EDB且平面EDB, 所以,PA / 平面EDB(2)PD底面ABCD且底面ABCD,PD=DC,可知是等腰直角三角形,而DE是斜邊PC的中線,. 同樣由PD底面ABCD,得PDBC.底面ABCD是正方形,有DCBC,BC平面PDC.而平面PDC,. 由和推得平面PBC. 而平面PBC,又且,所以PB平面EFD.例2如圖,ABC 為正三角形,EC 平面ABC ,BD CE ,CE CA 2 BD ,M 是EA 的中點,求證:(1)DE DA ;(2)平面BDM 平面ECA ;(3)平面DEA 平面ECA。分析:(1)證明DE DA ,可以通過圖形分割,證明DEF DBA。(2)證明
4、面面垂直的關鍵在于尋找平面內(nèi)一直線垂直于另一平面。由(1)知DM EA ,取AC 中點N ,連結MN 、NB ,易得四邊形MNBD 是矩形。從而證明DM 平面ECA。證明:(1)如圖,取EC 中點F ,連結DF。 EC 平面ABC ,BD CE ,得DB 平面ABC 。 DB AB ,EC BC。 BD CE ,BD CE FC ,則四邊形FCBD 是矩形,DF EC。又BA BC DF , RtDEF RtABD ,所以DE DA。(2)取AC 中點N ,連結MN 、NB , M 是EA 的中點, MN EC。由BD EC ,且BD 平面ABC ,可得四邊形MNBD 是矩形,于是DM MN。
5、 DE DA ,M 是EA 的中點, DM EA 又EA MN M , DM 平面ECA ,而DM 平面BDM ,則平面ECA 平面BDM。(3) DM 平面ECA ,DM 平面DEA , 平面DEA 平面ECA。點評:面面垂直的問題常常轉化為線面垂直、線線垂直的問題解決。例3如圖,直三棱柱ABCA1B1C1 中,AC BC 1,ACB 90,AA1 ,D 是A1B1 中點(1) 求證C1D 平面A1B ;(2)當點F 在BB1 上什么位置時,會使得AB1 平面C1DF ?并證明你的結論。分析:(1)由于C1D 所在平面A1B1C1 垂直平面A1B ,只要證明C1D 垂直交線A1B1 ,由直線
6、與平面垂直判定定理可得C1D 平面A1B。(2)由(1)得C1D AB1 ,只要過D 作AB1 的垂線,它與BB1 的交點即為所求的F 點位置。證明:(1)如圖, ABCA1B1C1 是直三棱柱, A1C1 B1C1 1,且A1C1B1 90。又 D 是A1B1 的中點, C1D A1B1 。 AA1 平面A1B1C1 ,C1D 平面A1B1C1 , AA1 C1D , C1D 平面AA1B1B。(2)解:作DE AB1 交AB1 于E ,延長DE 交BB1 于F ,連結C1F ,則AB1 平面C1DF ,點F 即為所求。 C1D 平面AA1BB ,AB1 平面AA1B1B , C1D AB1
7、 又AB1 DF ,DF C1D D , AB1 平面C1DF 。點評:本題(1)的證明中,證得C1D A1B1 后,由ABCA1B1C1 是直三棱柱知平面C1A1B1 平面AA1B1B ,立得C1D 平面AA1B1B。(2)是開放性探索問題,注意采用逆向思維的方法分析問題。備用題如圖,邊長為2的正方形ABCD中,(1)點是的中點,點是的中點,將分別沿折起,使兩點重合于點,求證:(2)當時,求三棱錐的體積變式題如圖,在矩形中,是的中點,以為折痕將向上折起,使為,且平面平面求證:;解:在中,在中,平面平面,且交線為,平面平面,【反饋演練】1下列命題中錯誤的是(3) 。(1)若一直線垂直于一平面,
8、則此直線必垂直于這一平面內(nèi)所有直線(2)若一平面經(jīng)過另一平面的垂線,則兩個平面互相垂直(3)若一條直線垂直于平面內(nèi)的一條直線,則此直線垂直于這一平面(4)若平面內(nèi)的一條直線和這一平面的一條斜線的射影垂直,則它也和這條斜線垂直2設是空間的不同直線或不同平面,且直線不在平面內(nèi),下列條件中能保證“若,且”為真命題的是 (填所有正確條件的代號)x為直線,y,z為平面x,y,z為平面x,y為直線,z為平面x,y為平面,z為直線x,y,z為直線3二面角a的平面角為120,在面內(nèi),ABa于B,AB=2在平面內(nèi),CDa 于D,CD=3,BD=1,M是棱a上的一個動點,則AM+CM的最小值為 。 4已知三棱錐中
9、,頂點在底面的射影是三角形的內(nèi)心,關于這個三棱錐有三個命題:側棱;側棱兩兩垂直;各側面與底面所成的二面角相等。其中錯誤的是 。 5在三棱錐的四個面中,直角三角形最多可以有_4_個。6若的中點到平面的距離為,點到平面的距離為,則點到平面 的距離為_2或14_。7三棱錐中,側棱兩兩垂直,底面內(nèi)一點到三個側面的距離分別是,那么_7_。8在球面上有四個點P、A、B、C,如果PA、PB、PC兩兩互相垂直,且PA=PB=PC=a, 那么這個球面的表面積是 . 9命題A:底面為正三角形,且頂點在底面的射影為底面中心的三棱錐是正三棱錐。命題A的等價命題B可以是:底面為正三角形,且 的三棱錐是正三棱錐。答案:側
10、棱相等(或側棱與底面所成角相等)10、是兩個不同的平面,m、n是平面及之外的兩條不同直線.給出四個論斷:mn n m 以其中三個論斷作為條件,余下一個論斷作為結論,寫出你認為正確的一個命題: 。答案:m,n,mn或mn,m,n11已知三棱錐PABC中,PC底面ABC,AB=BC,D、F分別為AC、PC的中點,DEAP于E(1)求證:AP平面BDE; (2)求證:平面BDE平面BDF;(3)若AEEP=12,求截面BEF分三棱錐PABC所成兩部分的體積比解: (1)PC底面ABC,BD平面ABC,PCBD由AB=BC,D為AC的中點,得BDAC又PCAC=C,BD平面PAC 又PA平面、PAC,
11、BDPA由已知DEPA,DEBD=D,AP平面BDE (2)由BD平面PAC,DE平面PAC,得BDDE由D、F分別為AC、PC的中點,得DF/AP由已知,DEAP,DEDF. BDDF=D,DE平面BDF又DE平面BDE,平面BDE平面BDF (3)設點E和點A到平面PBC的距離分別為h1和h2則 h1h2=EPAP=23, 故截面BEF分三棱錐PABC所成兩部分體積的比為12或21點評:值得注意的是, “截面BEF分三棱錐PABC所成兩部分的體積比”并沒有說明先后順序, 因而最終的比值答案一般應為兩個,不要犯這種“會而不全”的錯誤.12在直角梯形ABCD中,A=D=90,ABCD,SD平面ABCD,AB=AD=a,S D=,在線段SA上取一點E(不含端點)使EC=AC,截面CDE與SB交于點F。(1)求證:四邊形EFCD為直角梯形;(2)設SB的中點為M,當?shù)闹凳嵌嗌贂r,能使DMC為直角三角形?請給出證明.解:(1)CDAB,AB平面SAB CD平面SAB面EFCD面SAB=EF,CDEF 又面 平面SAD,又 為直角梯形 (2)當時,為直角三角形 . ,平面平面.在中,為SB中點,.平面平面 為直角三角形。