《高三數(shù)學(xué)北師大版文一輪教師用書(shū)：第9章 經(jīng)典微課堂 突破疑難系列2：五大技法減輕解析幾何中的運(yùn)算量 Word版含解析》由會(huì)員分享，可在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)《高三數(shù)學(xué)北師大版文一輪教師用書(shū)：第9章 經(jīng)典微課堂 突破疑難系列2：五大技法減輕解析幾何中的運(yùn)算量 Word版含解析（11頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第170頁(yè))命題解讀中學(xué)解析幾何是將幾何圖形置于直角坐標(biāo)系中，用方程的觀(guān)點(diǎn)來(lái)研究曲線(xiàn)，體現(xiàn)了用代數(shù)的方法解決幾何問(wèn)題的優(yōu)越性，但有時(shí)運(yùn)算量過(guò)大，或需繁雜的討論，這些都會(huì)影響解題的速度，甚至?xí)兄菇忸}的過(guò)程，達(dá)到“望題興嘆”的地步，特別是高考過(guò)程中，在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)，保質(zhì)保量完成解題的任務(wù)，計(jì)算能力是一個(gè)重要的方面，為此，從以下幾個(gè)方面探索減輕運(yùn)算量的方法和技巧，合理簡(jiǎn)化解題過(guò)程，優(yōu)化思維過(guò)程技法突破1巧用平面幾何性質(zhì)示例1已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C：1(ab0)的左焦點(diǎn)，A，B分別為C的左、右頂點(diǎn)P為C上一點(diǎn)，且PFx軸過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)l與線(xiàn)段PF交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)E.若直線(xiàn)BM

2、經(jīng)過(guò)OE的中點(diǎn)，則C的離心率為()A.B.C.D.A設(shè)OE的中點(diǎn)為N，如圖，因?yàn)镸FOE，所以有，.又因?yàn)镺E2ON，所以有，解得a3c，e，故選A.技法點(diǎn)津此題也可以用解析法解決，但有一定的計(jì)算量，巧用三角形的相似比可簡(jiǎn)化計(jì)算技法訓(xùn)練1如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓C1：y21與雙曲線(xiàn)C2的公共焦點(diǎn)，A，B分別是C1，C2在第二、四象限的公共點(diǎn)若四邊形AF1BF2為矩形，則C2的離心率是()A.B.C.D.D由已知，得F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，設(shè)雙曲線(xiàn)C2的實(shí)半軸長(zhǎng)為a，由橢圓及雙曲線(xiàn)的定義和已知，可得解得a22，故a.所以雙曲線(xiàn)C2的離心率e.技法突破2設(shè)而不求，整體代換設(shè)而不求是解析幾何解題的

3、基本手段，是比較特殊的一種思想方法，其實(shí)質(zhì)是整體結(jié)構(gòu)意義上的變式和整體思想的應(yīng)用設(shè)而不求的靈魂是通過(guò)科學(xué)的手段使運(yùn)算量最大限度地減少，通過(guò)設(shè)出相應(yīng)的參數(shù)，利用題設(shè)條件加以巧妙轉(zhuǎn)化，以參數(shù)為過(guò)渡，設(shè)而不求示例2已知橢圓E：1(ab0)的右焦點(diǎn)為F(3,0)，過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)交E于A，B兩點(diǎn)若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，則E的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.1B.1C.1D.1D設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x22，y1y22，得0，所以kAB.又kAB，所以.又9c2a2b2，解得b29，a218，所以橢圓E的方程為1.技法點(diǎn)津本題設(shè)出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，卻不求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，巧妙地表達(dá)出直線(xiàn)AB

4、的斜率，通過(guò)將直線(xiàn)AB的斜率“算兩次”建立幾何量之間的關(guān)系，從而快速解決問(wèn)題技法訓(xùn)練2已知橢圓C：1(ab0)上存在A，B兩點(diǎn)恰好關(guān)于直線(xiàn)l：xy10對(duì)稱(chēng)，且直線(xiàn)AB與直線(xiàn)l的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則橢圓C的離心率為()A.B.C.D.C由題意可得直線(xiàn)AB與直線(xiàn)l的交點(diǎn)為P(2,1)，kAB1，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x24，y1y22.A，B是橢圓1上的點(diǎn)，1， 1， 得0，kAB1，a22b2，橢圓C的離心率為.技法突破3巧用“根與系數(shù)的關(guān)系”，化繁為簡(jiǎn)某些涉及線(xiàn)段長(zhǎng)度關(guān)系的問(wèn)題可以通過(guò)解方程、求坐標(biāo)，用距離公式計(jì)算長(zhǎng)度的方法來(lái)解；但也可以利用一元二次方程，使相關(guān)的點(diǎn)的同名

5、坐標(biāo)為方程的根，由根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根間的關(guān)系或有關(guān)線(xiàn)段長(zhǎng)度間的關(guān)系后者往往計(jì)算量小，解題過(guò)程簡(jiǎn)捷示例3已知橢圓y21的左頂點(diǎn)為A，過(guò)A作兩條互相垂直的弦AM，AN交橢圓于M，N兩點(diǎn)(1)當(dāng)直線(xiàn)AM的斜率為1時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)當(dāng)直線(xiàn)AM的斜率變化時(shí)，直線(xiàn)MN是否過(guò)x軸上的一定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)給出證明，并求出該定點(diǎn)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)直線(xiàn)AM的斜率為1時(shí)，直線(xiàn)AM的方程為yx2，代入橢圓方程并化簡(jiǎn)得5x216x120.解得x12，x2，所以M.(2)設(shè)直線(xiàn)AM的斜率為k，直線(xiàn)AM的方程為yk(x2)，聯(lián)立方程化簡(jiǎn)得(14k2)x216k2x16k240.則xAxM，又xA2，

6、則xMxA2.同理，可得xN.由(1)知若存在定點(diǎn)，則此點(diǎn)必為P.證明如下：因?yàn)閗MP，同理可計(jì)算得kPN.所以直線(xiàn)MN過(guò)x軸上的一定點(diǎn)P.技法點(diǎn)津本例在第(2)問(wèn)中可應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系求出xM，這體現(xiàn)了整體思想這是解決解析幾何問(wèn)題時(shí)常用的方法，簡(jiǎn)單易懂，通過(guò)設(shè)而不求，大大降低了運(yùn)算量技法訓(xùn)練3已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2.(1)求橢圓C的方程；(2)過(guò)F1的直線(xiàn)l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，若AF2B的內(nèi)切圓半徑為，求以F2為圓心且與直線(xiàn)l相切的圓的方程解(1)由，得a2c，所以a24c2，b23c2，將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入橢圓方程得c21，故所求橢圓方

7、程為1.(2)由(1)可知F1(1,0)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為xty1，代入橢圓方程，整理得(43t2)y26ty90，顯然判別式大于0恒成立，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AF2B的內(nèi)切圓半徑為r0，則有y1y2，y1y2，r0，所以SAF2BSAF1F2SBF1F2|F1F2|y1y2|F1F2|.而SAF2B|AB|r0|BF2|r0|AF2|r0r0(|AB|BF2|AF2|)r0(|AF1|BF1|BF2|AF2|)r04a8，所以，解得t21，因?yàn)樗髨A與直線(xiàn)l相切，所以半徑r，所以所求圓的方程為(x1)2y22.技法突破4妙借向量，無(wú)中生有平面向量是銜接代數(shù)與幾何的紐帶，溝通

8、“數(shù)”與“形”，融數(shù)、形于一體，是數(shù)形結(jié)合的典范，具有幾何形式與代數(shù)形式的雙重身份，是數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)交匯點(diǎn)和聯(lián)系多項(xiàng)知識(shí)的媒介妙借向量，可以有效提升圓錐曲線(xiàn)的解題方向與運(yùn)算效率，達(dá)到良好效果示例4如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是橢圓1(ab0)的右焦點(diǎn)，直線(xiàn)y與橢圓交于B，C兩點(diǎn)，且BFC90，則該橢圓的離心率是_把y代入橢圓1，可得xa，那么B，C，而F(c,0)，那么，又BFC90，故有c2a2b2c2a2(a2c2)c2a20，則有3c22a2，所以該橢圓的離心率為e.技法點(diǎn)津本題通過(guò)相關(guān)向量坐標(biāo)的確定，結(jié)合BFC90，巧妙借助平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)轉(zhuǎn)化圓錐曲線(xiàn)中的相關(guān)問(wèn)題，從形入手轉(zhuǎn)

9、化為相應(yīng)數(shù)的形式，簡(jiǎn)化運(yùn)算技法訓(xùn)練4已知橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1，圓O的方程為x2y22，設(shè)P，Q分別是橢圓C和圓O上位于y軸兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn)，若直線(xiàn)PQ與x軸平行，直線(xiàn)AP，BP與y軸的交點(diǎn)記為M，N，試判斷MQN是否為定值，若是，請(qǐng)證明你的結(jié)論；若不是，請(qǐng)舉出反例說(shuō)明解MQN是定值90，證明如下：設(shè)P(x0，y0)，直線(xiàn)AP：yk(x2)(k0)，令x0可得M(0,2k)，將1與yk(x2)聯(lián)立，整理可得(2k21)x28k2x8k240，則2x0，可得x0，y0，故P.直線(xiàn)BP斜率kBP，則直線(xiàn)BP：y(x2)，令x0可得N，設(shè)Q(xQ，y0)，則(xQ,2ky0)，由xy2，y0，可得xy2y0

10、0，所以QMQN，故MQN是定值90.技法突破5巧妙“換元”減少運(yùn)算量變量換元的關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問(wèn)題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而將非標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題，將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化變量換元法常用于求解復(fù)合函數(shù)的值域、三角函數(shù)的化簡(jiǎn)或求值等問(wèn)題示例5如圖，已知橢圓C的離心率為，點(diǎn)A，B，F(xiàn)分別為橢圓的右頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，且SABF1.(1)求橢圓C的方程；(2)已知直線(xiàn)l：ykxm與圓O：x2y21相切，若直線(xiàn)l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，求OMN面積的最大值解(1)由已知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)其方程為1(ab0)，則A(a,0)，B(0，b)，F(xiàn)

11、(c,0)(c)由已知可得e2，所以a24b2，即a2b，cbSABF|AF|OB|(ac)b1.將代入，得(2bb)b1，解得b1，故a2，c.所以橢圓C的方程為y21.(2)圓O的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0)，半徑r1，由直線(xiàn)l：ykxm與圓O：x2y21相切，得1，故有m21k2.由消去y，得(14k2)x28kmx4(m21)0，由題可知k0，所以16(4k2m21)48k20.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1x2，x1x2.所以|x1x2|2(x1x2)24x1x24.將代入中，得|x1x2|2，故|x1x2|.所以|MN|x1x2|.故OMN的面積S|MN|11.令t4k2

12、1，則t1，k2，代入上式，得S2，所以當(dāng)t3，即4k213，解得k時(shí)，S取得最大值，且最大值為1.技法點(diǎn)津破解此類(lèi)題的關(guān)鍵：一是利用已知條件，建立關(guān)于參數(shù)的方程，解方程，求出參數(shù)的值；二是通過(guò)變量換元法將所給函數(shù)轉(zhuǎn)化為值域容易確定的另一函數(shù)，求得其值域，從而求得原函數(shù)的值域，形如yaxb(a，b，c，d均為常數(shù)，且ac0)的函數(shù)常用此法求解，但在換元時(shí)一定要注意新元的取值范圍，以保證等價(jià)轉(zhuǎn)化，這樣目標(biāo)函數(shù)的值域才不會(huì)發(fā)生變化技法訓(xùn)練5已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓C，其上一點(diǎn)P到兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和為4，離心率為.(1)求橢圓C的方程；(2)若直線(xiàn)ykx1與曲線(xiàn)C交于A，B兩點(diǎn)，求OAB面積的取值范圍解(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)由離心率e，2a4，得a2，b1，c.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x21.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k24)x22kx30.x1x2，x1x2，設(shè)OAB的面積為S，由x1x20得yt在3，)上是增函數(shù)，t.0.S.