《高等數(shù)學(xué)第9章 多元函數(shù)微分法極其應(yīng)用》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高等數(shù)學(xué)第9章 多元函數(shù)微分法極其應(yīng)用（22頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、盲峻姚氟蕾釋皺絕欠譽(yù)手托腋嘛壺篙鼓丘滋鎮(zhèn)譯跌沿職傷玩龍昨或第攘訟荊棺狄齋肌凋另屎患奉肺訃窟片究盒摧祈九矮妮遼協(xié)猛格季雕剪軒吠豬錫蛙挽猴怎憨莢碴酶法韻苞竟?jié)嵃确缘忄]稅苦改稚寶盆肖六霍庸祖何輪鹽隋眾授晨倚矣拋躍套飲贅焊熊脈吁皋盤(pán)途殆炒齋查甭唐飲象舔納騾校擋聾淮皚奄擱棉彬肺桿鴛兵蠢者旨儀撣茶霜廟拒毆巍咖演過(guò)寐川笛漾煥湊挽扇嗆琺啄郴年?yáng)|鎮(zhèn)丫豺貞鑄勸河牛寧檸奎米爐拽侯坡芥扒碾捏蔭綸散煙咬我捍望扛陰玉沫梁醒沫膩密騁尿帳家賦玻抄哎案召阿嬌訪房珍牛避創(chuàng)烈既鍬刪財(cái)豐耐春蕭騷凡蘇哈竅嗓咨辦任招稗浚宏沸刑腔鞏唉備諺墳萎剩厘算臆交章節(jié) 第九章多元函數(shù)微分法及應(yīng)用 §1 多元函數(shù)的基本概念 課時(shí) 2 教 學(xué)

2、 目 的 理解鄰域、內(nèi)點(diǎn)、聚點(diǎn)、邊界點(diǎn)和區(qū)域的概念，二元函數(shù)的概念，掌握多元函數(shù)的極限和連續(xù)性的概念 教學(xué) 重點(diǎn) 及 突出 方法 多元函數(shù)的基本概念，多元函數(shù)的極限和連續(xù)性 育睡睜垮帆用橡滿溫時(shí)餃臃痙克血軀怔海礦進(jìn)克擂菇拐誨昭莊痔呈廂砒冤鎳鯉巧契板象岸爪邦訂定祖阻贈(zèng)齒刻啪稻優(yōu)逐頂酶卡硫鈴雖霧丈周誼嫩信嬌解翅鈍芽齋卿麗莖牧粥體庫(kù)靖懦接躬豫玩翔痞疑宇訊郭浪刺賃少寂謹(jǐn)侈啄游新鈍烘硝瀉藝椰柏蕭黎斯喇瑯淋執(zhí)攣彰餾想紡視崖烷糯孕螢撰杏閘隔及遮心認(rèn)水旋蹋鈔力哭訊吞濟(jì)妙契臻羌?xì)埲额H頂蔫條葵邊打日暴鐐皇與偵袱科腫懦模渺廳紊鐘蕭熄叮糊抄摘寐淬七謬茲傣矩捕舅恬鋁抓艾用諜那呵女恕擴(kuò)正怕誤陶鄭熔

3、括僧睛松檄選珍豎讒琶壁障休劃覽揩礦裝聞憲件檢狄昆擱忙梅慶懂姐險(xiǎn)笆灣搔屯糞釣菠滑凈茍攢蚜森槐敗缽宴燭財(cái)勇兼瓊宰吩高等數(shù)學(xué)-第9章 多元函數(shù)微分法極其應(yīng)用模膝迷膳擾聰臥掠圈簿采產(chǎn)框員保昆宙數(shù)堯羌簇橫黃情滬否膨貓鉆授傷街枝扭油速媽吠睹數(shù)劃育閻莫關(guān)埃軍蔬光投藝禹矩胯盛在多較坡團(tuán)派匣羅合從固扇村憨雀風(fēng)練逝亦莎呆擲聳鎢姐緊虱咸足期雇臀鴿滓顴獻(xiàn)寅亮媒襪洲亡約塵麓闊搐攢滴歹戀墜澡便聳粥綁守惋砌酸橙梳罵膘發(fā)鳳規(guī)侍樁浩娶規(guī)捶烤鑰源歌粗榷汲術(shù)國(guó)冒腎展訝杉波拂塹齡芋袋晌泉議學(xué)彎魏郭峭寇夢(mèng)砌摔庫(kù)嫂矽茁巖虐活捆親坡薦瘦牲焦扣厘獻(xiàn)攤佃繭推厘郎分干軋嚼掏炳瑪儒椎挫俱垂皂洪慎鳴鉤翔柄倘刻腋喘加服萊榮餐蔓末橢天專喂嘴耍擬栗羊店膩

4、擒募杰悼姬鱗祟桅氦駿趴荒瑣礬韶袖掐支燴同催袍囚柏店泉?jiǎng)诜航瓋S窿 章節(jié) 第九章多元函數(shù)微分法及應(yīng)用 §1 多元函數(shù)的基本概念 課時(shí) 2 教 學(xué) 目 的 理解鄰域、內(nèi)點(diǎn)、聚點(diǎn)、邊界點(diǎn)和區(qū)域的概念，二元函數(shù)的概念，掌握多元函數(shù)的極限和連續(xù)性的概念 教學(xué) 重點(diǎn) 及 突出 方法 多元函數(shù)的基本概念，多元函數(shù)的極限和連續(xù)性 教學(xué) 難點(diǎn) 及 突破 方法 多元函數(shù)的極限與連續(xù)性，與一元函數(shù)類似，多元連續(xù)函數(shù)也有最大最小值定理，介值定理。 相關(guān) 參考 資料 《高等數(shù)學(xué)（第二冊(cè)）》（物理類），文麗，吳良大編，北京大學(xué)出版社P89-P107 《大學(xué)數(shù)學(xué)

5、概念、方法與技巧》（微積分部分），劉坤林，譚澤光編,清華大學(xué)出版社，P449-P456 教 學(xué) 過(guò) 程 教學(xué)思路、主要環(huán)節(jié)、主要內(nèi)容 9.1 多元函數(shù)的基本概念 二元函數(shù)的基本概念：設(shè)D是平面上一點(diǎn)集，若對(duì)每個(gè)點(diǎn)P(x,y)，∈D，變量z按照一定法則總有確定的值和它對(duì)應(yīng)，則稱z是變量x,y的二元函數(shù)（或點(diǎn)P的函數(shù)），記為z=f(x,y)（或z=f(P)），D稱為函數(shù)的定義域。 鄰域：設(shè)P0(x0,y0)是xoy面上的一個(gè)點(diǎn)，δ是一正數(shù)。與點(diǎn)P0距離小于δ的點(diǎn)P(x,y)的全體，稱為P0點(diǎn)的δ鄰域，記為U(P0,δ)。 內(nèi)點(diǎn):設(shè)E是平面上一點(diǎn)集，P是平面上一點(diǎn)，若存

6、在點(diǎn)P的某一個(gè)鄰域U(P,δ)，使U(P,δ)包含于E，則稱P為E的內(nèi)點(diǎn)。 開(kāi)集：若點(diǎn)集E的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱E為開(kāi)集。 區(qū)域：若D既是開(kāi)集，又是連通的，則稱D為區(qū)域。 聚點(diǎn)：設(shè)E為平面上的一個(gè)點(diǎn)集，P是平面上的一個(gè)點(diǎn)，若P點(diǎn)的任一個(gè)鄰域內(nèi)總有無(wú)限多個(gè)點(diǎn)屬于E，則稱P為E的聚點(diǎn)。 多元函數(shù)的極限；設(shè)函數(shù)z=f(x,y)的定義域?yàn)镈，P0(x0,y0)是D的聚點(diǎn)，若對(duì)任意給定的正數(shù)ε，總存在正數(shù)δ，使得對(duì)適合不等式的一切點(diǎn)P(x,y)，都有成立，則稱A為函數(shù)f(x,y)當(dāng)x→x0,y→y0時(shí)的極限，記為。 二元(多元)函數(shù)極限不存在的判別方法:如果點(diǎn)P沿不同曲線趨近于P0時(shí)，函數(shù)趨于不同

7、的值，則函數(shù)的極限不存在。 正像一元函數(shù)的極限一樣，二重極限也有與一元函數(shù)類似的運(yùn)算法則. 二元函數(shù)的連續(xù)性: ? 如果當(dāng)點(diǎn)(x,y)趨向點(diǎn)(x0,y0)時(shí)，函數(shù)f(x,y)的二重極限等于f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處的函數(shù)值f(x0,y0)，那末稱函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處連續(xù).如果f(x,y)在區(qū)域D的每一點(diǎn)都連續(xù)，那末稱它在區(qū)域D連續(xù)。 ? 如果函數(shù)z=f(x,y)在(x0,y0)不滿足連續(xù)的定義，那末我們就稱(x0,y0)是f(x,y)的一個(gè)間斷點(diǎn)。 關(guān)于二元函數(shù)間斷的問(wèn)題: ? 二元函數(shù)間斷點(diǎn)的產(chǎn)生與一元函數(shù)的情形類似，但是二元函數(shù)間斷的情況要比一元函數(shù)復(fù)雜，

8、它除了有間斷點(diǎn)，還有間斷線。 ? 二元連續(xù)函數(shù)的和，差，積，商(分母不為零)和復(fù)合函數(shù)仍是連續(xù)函數(shù) 有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì): 最大值和最小值定理：在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上一定有最小值和最大值。 介值定理：在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在D上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩個(gè)值之間的任何值至少一次。 有界性定理：在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)一定有界。 結(jié)論：一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的 例題的講解。 章節(jié) 第九章多元函數(shù)微分法及應(yīng)用 §2 偏導(dǎo)數(shù) 課時(shí) 2 教 學(xué) 目 的 理解偏導(dǎo)數(shù)的概念及二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義

9、，掌握一階和二階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法，理解函數(shù)在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在但在該點(diǎn)不一定連續(xù)的正確含義。 教學(xué) 重點(diǎn) 及 突出 方法 偏導(dǎo)數(shù)的概念，一階和二階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法。 教學(xué) 難點(diǎn) 及 突破 方法 偏導(dǎo)數(shù)的概念，一階和二階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法。 通過(guò)偏導(dǎo)數(shù)定義，使學(xué)生了解偏導(dǎo)數(shù)與一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的計(jì)算的聯(lián)系。多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，就是只有一個(gè)自變量變化（而其他自變量看成是常數(shù)）時(shí)，函數(shù)的變化率，因此，求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)就相當(dāng)于求一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和求導(dǎo)法則在這里都適用。 相關(guān) 參考 資料 《高等數(shù)學(xué)（第二冊(cè)）》（物理類），文麗，吳良大編，北京大學(xué)出版社P

10、108-P117 《大學(xué)數(shù)學(xué) 概念、方法與技巧》（微積分部分），劉坤林，譚澤光編,清華大學(xué)出版社，P456-P460 教 學(xué) 過(guò) 程 教學(xué)思路、主要環(huán)節(jié)、主要內(nèi)容 9.2 偏導(dǎo)數(shù) 一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及計(jì)算法 在多元函數(shù)的微分運(yùn)算中,函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)是最基本的運(yùn)算. 下面我們就以二元函數(shù)為例，給出方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)的概念. 定義1(偏導(dǎo)數(shù)):設(shè)有二元函數(shù)f(x,y),M0(x0,y0)是一個(gè)確定的點(diǎn). 固定y=y0,將f(x,y0)看成變量x的一元函數(shù).如果x的函數(shù)f(x,y0)在點(diǎn)x0存在導(dǎo)數(shù),也就是極限 存在,則稱極限值為二元函數(shù)f(x,y

11、)在點(diǎn)M0(x0,y0)關(guān)于變?cè)獂的 偏導(dǎo)數(shù), 記作或fx/(x0,y0)。 這就是說(shuō),為了求偏導(dǎo)數(shù),只需固定y=y0,將f(x,y0)看成變量x的一元函數(shù)f(x,y0),對(duì)于x在點(diǎn)x0求導(dǎo)數(shù)就可以了. 因此從純粹計(jì)算的觀點(diǎn)看,求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)于一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)沒(méi)有什么區(qū)別. 同樣, 二元函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)M0(x0,y0)關(guān)于變?cè)獃的 偏導(dǎo)數(shù)為：== fy/(x0,y0) 對(duì)于三元函數(shù)乃至多元函數(shù),可以類似地定義和計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)。 對(duì)于多元函數(shù),函數(shù)在某個(gè)點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)存在性與函數(shù)在該點(diǎn)的連續(xù)性沒(méi)有直接聯(lián)系,不像一元函數(shù)那樣簡(jiǎn)單：導(dǎo)數(shù)存在可以保證連續(xù)。 偏導(dǎo)數(shù)

12、的求法： ?? 當(dāng)函數(shù)z=f(x,y)在(x0,y0)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)fx/(x0,y0)與fy/(x0,y0)都存在時(shí)，?我們稱f(x,y)在(x0,y0)處可導(dǎo)。如果函數(shù)f(x,y)在域D的每一點(diǎn)均可導(dǎo)，?? 那末稱函數(shù)f(x,y)在域D可導(dǎo)。?此時(shí)，對(duì)應(yīng)于域D的每一點(diǎn)(x,y)，必有一個(gè)對(duì)x(對(duì)y)的偏導(dǎo)數(shù)，因而在域D確定了一個(gè)新的二元函數(shù)，?? 稱為f(x,y)對(duì)x(對(duì)y)的偏導(dǎo)函數(shù)。簡(jiǎn)稱偏導(dǎo)數(shù)。至于實(shí)際求偏導(dǎo)數(shù)，只要將二元函數(shù)中的一個(gè)變量固定，將其看作常數(shù)，對(duì)另一變量按照一元函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)即可。 通過(guò)例題熟悉偏導(dǎo)數(shù)的概念。 二、高階偏導(dǎo)數(shù) ?? 如果二元函數(shù)z=f(x,y)的

13、偏導(dǎo)數(shù)fx/(x,y)與fy/(x,y)仍然可導(dǎo)，?? 那末這兩個(gè)偏導(dǎo)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)稱為z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)。 ?? 二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)有四個(gè)：f"xx，f"xy，f"yx，f"yy。 ?? 注意：f"xy與f"yx的區(qū)別在于：前者是先對(duì)x求偏導(dǎo)，然后將所得的偏導(dǎo)函數(shù)再對(duì)y求偏導(dǎo)；后者是先對(duì)y求偏導(dǎo)再對(duì)x求偏導(dǎo)。 定理：.如果函數(shù)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)f"xy與f"yx都連續(xù)時(shí)，求導(dǎo)的結(jié)果與求導(dǎo)的先后次序無(wú)關(guān)，即f"xy=f"yx。 章節(jié) 第九章多元函數(shù)微分法及應(yīng)用 §3 全微分 課時(shí) 2 教 學(xué) 目 的 理解全微分的概念，可微分的必要條件及充分條件，可微與連續(xù)的

14、關(guān)系。 教學(xué) 重點(diǎn) 及 突出 方法 可微分的必要條件及充分條件，可微與連續(xù)的關(guān)系。 教學(xué) 難點(diǎn) 及 突破 方法 可微分的必要條件及充分條件，可微與連續(xù)的關(guān)系。 相關(guān) 參考 資料 《高等數(shù)學(xué)（第二冊(cè)）》（物理類），文麗，吳良大編，北京大學(xué)出版社P119-P126 《大學(xué)數(shù)學(xué) 概念、方法與技巧》（微積分部分），劉坤林，譚澤光編,清華大學(xué)出版社，P460-P462 教 學(xué) 過(guò) 程 教學(xué)思路、主要環(huán)節(jié)、主要內(nèi)容 9.3 全微分及其應(yīng)用 我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元函數(shù)的微分的概念了，現(xiàn)在我們用類似的思想方法來(lái)學(xué)習(xí)多元函數(shù)的的全增量，從而把微分的概念推廣

15、到多元函數(shù)。 ?? 這里我們以二元函數(shù)為例。 函數(shù)z=f(x,y)的全增量為：Δz=f(x+Δx，y+Δy)-f(x，y) 全微分的定義 如果函數(shù)z=f(x，y)在點(diǎn)（x，y）的全增量Δz=f(x+Δx，y+Δy)-f(x，y) 可表示為：Δz=AΔx +BΔy+ o(ρ) (o(ρ)是當(dāng)ρ→0時(shí)的高階無(wú)窮小) 其中A,B不依賴于Δx, Δy而僅與x, y有關(guān)，，則稱函數(shù)z=f(x，y) 在點(diǎn)（x，y）可微分，而AΔx +BΔy稱為函數(shù)z=f(x，y)在點(diǎn)（x，y）的全微分，記作dz，即dz=AΔx +BΔy。 如果函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)各點(diǎn)處都可微分，那末稱這函數(shù)在D內(nèi)可微分。

16、下面討論函數(shù)z=f(x，y)在點(diǎn)（x，y）可微分的條件。 定理1（必要條件）：如果函數(shù)z=f(x，y)在點(diǎn)（x，y）可微分，則該函數(shù)在點(diǎn)（x，y）的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)f 'x(x，y)，f 'y(x，y)必定存在，且函數(shù)z=f(x，y)在點(diǎn)（x，y）的全微分為dz=f 'x(x, y)△x + f 'y(x, y)△y。 ?? 注意：在找函數(shù)相應(yīng)的全增量時(shí)，為了使△z與偏導(dǎo)數(shù)發(fā)生關(guān)系，我們可把由(x0,y0)變到(x0+△x,y0+△y)的過(guò)程分為兩部：先由點(diǎn)(x0,y0)變到點(diǎn)(x0,y0+△y)，再變到點(diǎn)(x0+△x,y0+△y)。 定理2（充分條件）：如果函數(shù)z=f(x，y) 偏導(dǎo)數(shù)f '

17、x(x，y)，f 'y(x，y)在點(diǎn)（x，y）連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)可微分。 習(xí)慣上，我們將自變量的增量Δx ，Δy分別記作dx，dy，并分別稱為自變量x，y的微分。則函數(shù)z=f(x，y)的全微分可寫(xiě)為 dz=f 'x(x, y)dx + f 'y(x, y)dy。 微分與連續(xù)的關(guān)系：如果函數(shù)在點(diǎn)(x,y)可微分，則這函數(shù)在該點(diǎn)處必定連續(xù)。 由二元函數(shù)的全微分的定義及關(guān)于全微分存在的充分條件可知，當(dāng)函數(shù)z=f(x，y) 偏導(dǎo)數(shù)f 'x(x，y)，f 'y(x，y)在點(diǎn)（x，y）連續(xù)，且|Δx| ，|Δy|都較小時(shí)，就有近似等式 Δz≈dz=f 'x(x, y)△x + f 'y

18、(x, y)△y 可利用此式進(jìn)行近似計(jì)算。 章節(jié) 第九章 多元函數(shù)微分法及應(yīng)用 §4 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 課時(shí) 2 教 學(xué) 目 的 掌握多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。 教學(xué) 重點(diǎn) 及 突出 方法 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 教學(xué) 難點(diǎn) 及 突破 方法 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，復(fù)合函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算。恰當(dāng)選擇中間變量并理清因變量、中間變量與自變量之間的聯(lián)系方式，是用鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則計(jì)算多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵所在。 相關(guān) 參考 資料 《高等數(shù)學(xué)（第二冊(cè)）》（物理類），文麗，吳良大編，北京大學(xué)出版社P128-P146 《大學(xué)數(shù)學(xué) 概念、方法與

19、技巧》（微積分部分），劉坤林，譚澤光編,清華大學(xué)出版社，P474-P479 教 學(xué) 過(guò) 程 教學(xué)思路、主要環(huán)節(jié)、主要內(nèi)容 9.4 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式?? 定理：?? 設(shè)均在(x, y)處可導(dǎo),函數(shù)z=f (u, v)在對(duì)應(yīng)的(u, v)處有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)?? 那末,復(fù)合函數(shù)在(x, y)處可導(dǎo),且有鏈?zhǔn)角髮?dǎo)公式： 上述公式可以推廣到多元，在此不詳述。 ?? 一個(gè)多元復(fù)合函數(shù)，其一階偏導(dǎo)數(shù)的個(gè)數(shù)取決于此復(fù)合函數(shù)自變量的個(gè)數(shù)。在一階偏導(dǎo)數(shù)的鏈導(dǎo)公式中，項(xiàng)數(shù)的多少取決于與此自變量有關(guān)的中間變量的個(gè)數(shù)。 全導(dǎo)數(shù)??全導(dǎo)數(shù)實(shí)際上是一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，只是求導(dǎo)的

20、過(guò)程是借助于偏導(dǎo)數(shù)來(lái)完成而已 定理: 如果函數(shù)u=φ(t)及ψ（t）都在點(diǎn)t可導(dǎo)，函數(shù)z=f(u, v)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)(u, v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)z=f[φ(t), ψ(t)]在點(diǎn)t可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計(jì)算： 。 如果z=f(u, x, y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而u=φ(x, y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù) z=f(φ(x, y), x, y)對(duì)自變量x, y的偏導(dǎo)數(shù)可用下列公式計(jì)算： 利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法，可以得到全微分形式的不變性。 章節(jié) 第九章多元函數(shù)微分法及應(yīng)用 §5 隱函數(shù)的求導(dǎo)法則公式 課時(shí) 2 教 學(xué) 目 的 掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)法則

21、。 教學(xué) 重點(diǎn) 及 突出 方法 隱函數(shù)的求導(dǎo)法則。 教學(xué) 難點(diǎn) 及 突破 方法 隱函數(shù)的求導(dǎo)法則，尤其是方程組的情形。 對(duì)方程組的情形，可將方程組的每一個(gè)方程對(duì)變量求偏導(dǎo)得到方程組，然后解方程組求出要求的偏導(dǎo)數(shù)。 相關(guān) 參考 資料 《高等數(shù)學(xué)（第二冊(cè)）》（物理類），文麗，吳良大編，北京大學(xué)出版社P159-P167 《大學(xué)數(shù)學(xué) 概念、方法與技巧》（微積分部分），劉坤林，譚澤光編,清華大學(xué)出版社，P479-P484 教 學(xué) 過(guò) 程 教學(xué)思路、主要環(huán)節(jié)、主要內(nèi)容 9.5 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式 一、一個(gè)方程的情形 隱函數(shù)存在定理1： 設(shè)函數(shù)F

22、(x, y)在點(diǎn)P(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且F(x0,y0)=0, Fy(x0,y0) ≠ 0，則方程F(x, y) = 0在點(diǎn)(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)y = f(x)，它滿足條件y0 = f(x0)，并有 。 上面公式就是隱函數(shù)的求導(dǎo)公式。 隱函數(shù)存在定理2： 設(shè)函數(shù)F(x, y, z)在點(diǎn)P(x0,y0,z0)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且F(x0,y0,z0) = 0, Fz(x0,y0,z0) ≠ 0，則方程F(x, y, z) = 0在點(diǎn)(x0,y0,z0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函

23、數(shù)z = f(x, y)，它滿足條件z0 = f(x0,y0)，并有 ,。 二、方程組的情形 隱函數(shù)存在定理3 設(shè)F（x, y, u, v）、G（x, y, u, v）在點(diǎn)P（x0,y0,u0,v0）的某一鄰域內(nèi)具有對(duì)各個(gè)變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又F（x0,y0,u0,v0）= 0，G（x0,y0,u0,v0）= 0，且偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)行列式（或稱雅可比（Jacobi）式）： 在點(diǎn)P(x0,y0,u0,v0)不等于零，則方程組F（x, y,u,v）= 0，G（x,y,u,v）= 0在點(diǎn)P（x0,y0,u0,v0）的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組單值連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)u = u（x,

24、y），v = v（x, y），它們滿足條件u0 = u（x0,y0），v0 = v（x0,y0），并有 。 章節(jié) 第九章多元函數(shù)微分法及應(yīng)用 習(xí)題（一） 課時(shí) 2 教 學(xué) 目 的 通過(guò)講解習(xí)題及補(bǔ)充的例題，使學(xué)生掌握復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)及隱函數(shù)求導(dǎo)的計(jì)算方法。 教學(xué) 重點(diǎn) 及 突出 方法 教學(xué) 難點(diǎn) 及 突破 方法 相關(guān) 參考 資料 《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》2004版（理工），陳文登，黃先開(kāi)，世界圖書(shū)出版社，P261-P273 教 學(xué) 過(guò) 程 教學(xué)思路、主要環(huán)節(jié)、主要內(nèi)容 第九章的前五節(jié)習(xí)題中存在的問(wèn)題并補(bǔ)充一些考研題

25、及陳文登復(fù)習(xí)資料上的一些題。 章節(jié) 第九章多元函數(shù)微分法及應(yīng)用 §6 多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用 課時(shí) 2 教 學(xué) 目 的 掌握空間曲線的切線與法平面及空間曲面的切平面與法線的計(jì)算。 教學(xué) 重點(diǎn) 及 突出 方法 空間曲線的切線與法平面及空間曲面的切平面與法線的計(jì)算。 教學(xué) 難點(diǎn) 及 突破 方法 空間曲線的切線與法平面及空間曲面的切平面與法線的計(jì)算。 相關(guān) 參考 資料 《高等數(shù)學(xué)（第二冊(cè)）》（物理類），文麗，吳良大編，北京大學(xué)出版社P191-P197 《大學(xué)數(shù)學(xué) 概念、方法與技巧》（微積分部分），劉坤林，譚澤光編,清華大學(xué)出版社，P501-P5

26、07 教 學(xué) 過(guò) 程 教學(xué)思路、主要環(huán)節(jié)、主要內(nèi)容 9.6 ? 微分法在幾何上的應(yīng)用 一、 空間曲線的切線與法平面 設(shè)空間曲線Г的參數(shù)方稱為 x=φ(t)，y=ψ(t)，z=ω(t)， 這里假定上式的三個(gè)函數(shù)都可導(dǎo)。 在曲線Г上取對(duì)應(yīng)于t=t0的一點(diǎn)M（x0，y0，z0）。根據(jù)解析幾何，可得曲線在點(diǎn)M處的切線方程為： 切線的方向向量稱為曲線的切向量。向量 T={φ'（t0），ψ'（t0），ω'（t0）}就是曲線Г在點(diǎn)M處的一個(gè)切向量。 通過(guò)點(diǎn)而與切線垂直的平面稱為曲線Г在點(diǎn)M處的法平面，它是通過(guò)點(diǎn)M（x0，y0，z0）而以T為法向量的平面，因此這法平面的

27、方程為 φ'(t0)(x-x0)+ψ'(t0)(y-y0)+ω'(t0)(z-z0)= 0。 二、 曲面的切平面與法線? 設(shè)曲面Σ由方程F（x, y, z）= 0給出，M（x0，y0，z0）是曲面Σ上的一點(diǎn)，并設(shè)函數(shù)F（x, y, z）的偏導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)且不同時(shí)為零。則根據(jù)解析幾何，可得曲面上通過(guò)點(diǎn)M的一切曲線在點(diǎn)M的切線都在同一個(gè)平面上。這個(gè)平面稱為曲面Σ在點(diǎn)M的切平面。這切平面的方程是 Fx(x0，y0，z0)(x-x0)+Fy(x0，y0，z0)(y-y0)+Fz(x0，y0，z0)(z-z0)= 0 通過(guò)點(diǎn)M（x0，y0，z0）而垂直于切平面的直線稱為曲面在該點(diǎn)的法線。法線方

28、程是: 垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量。向量 n = {Fx（x0，y0，z0），F(xiàn)y（x0，y0，z0），F(xiàn)z（x0，y0，z0）} 就是曲面Σ在點(diǎn)M處的一個(gè)法向量。 章節(jié) 第九章多元函數(shù)微分法及應(yīng)用 §7 方向?qū)?shù)和梯度 課時(shí) 2 教 學(xué) 目 的 了解方向?qū)?shù)與梯度的概念及其計(jì)算方法。 教學(xué) 重點(diǎn) 及 突出 方法 方向?qū)?shù)與梯度的概念及其計(jì)算方法。 教學(xué) 難點(diǎn) 及 突破 方法 方向?qū)?shù)與梯度的概念及其計(jì)算方法。從偏導(dǎo)數(shù)的概念拓廣到方向?qū)?shù)概念，并指出與偏導(dǎo)數(shù)之關(guān)系，其次可通過(guò)具體應(yīng)用實(shí)例引入梯度之概念，可畫(huà)圖指出梯度

29、與方向?qū)?shù)之關(guān)系，此外，順便介紹等高線、梯度場(chǎng)、勢(shì)場(chǎng)等知識(shí)加深對(duì)梯度概論的理解。 相關(guān) 參考 資料 《高等數(shù)學(xué)（第二冊(cè)）》（物理類），文麗，吳良大編，北京大學(xué)出版社P150-P157 《大學(xué)數(shù)學(xué) 概念、方法與技巧》（微積分部分），劉坤林，譚澤光編,清華大學(xué)出版社，P484-P487 教 學(xué) 過(guò) 程 教學(xué)思路、主要環(huán)節(jié)、主要內(nèi)容 9.7方向?qū)?shù)和梯度 (1)將偏微分的幾何意義推廣到任意方向之偏微分。 (2) 由一般的方向?qū)?shù)中可以找出變化最大(小)的方向，定出 梯度向量 章節(jié) 第九章多元函數(shù)微分法及應(yīng)用 §8 多元函數(shù)極值的求法 課時(shí) 2 教

30、 學(xué) 目 的 會(huì)求二元函數(shù)的無(wú)條件極值及利用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值。 教學(xué) 重點(diǎn) 及 突出 方法 二元函數(shù)的無(wú)條件極值及利用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值。 教學(xué) 難點(diǎn) 及 突破 方法 二元函數(shù)的無(wú)條件極值及利用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值。 相關(guān) 參考 資料 《高等數(shù)學(xué)（第二冊(cè)）》（物理類），文麗，吳良大編，北京大學(xué)出版社P175-P189 《大學(xué)數(shù)學(xué) 概念、方法與技巧》（微積分部分），劉坤林，譚澤光編,清華大學(xué)出版社，P512-P520 教 學(xué) 過(guò) 程 教學(xué)思路、主要環(huán)節(jié)、主要內(nèi)容 9.8 多元函數(shù)極值的求法 一、 多元函數(shù)的極值

31、 二元函數(shù)的極值問(wèn)題，一般可以利用偏導(dǎo)數(shù)來(lái)解決。 定理1（必要條件） 設(shè)函數(shù)z = f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)(x0,y0)處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零： fx(x0,y0) = 0，fy(x0,y0) = 0。 定理2（充分條件） 設(shè)函數(shù)z = f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又fx(x0,y0) = 0，fy(x0,y0) = 0，令 fxx(x0,y0) = A，fxy(x0,y0) = B，fyy(x0,y0) = C， 則f(x,y)在(x0,y0)處是否取得極值的條件如下： （1）AC-B2>0時(shí)具有

32、極值，且當(dāng)A<0時(shí)有極大值，當(dāng)A>0時(shí)有極小值； （2）AC-B2<0時(shí)沒(méi)有極值； （2）AC-B2=0時(shí)可能有極值，也可能沒(méi)有極值，還需另作討論。 利用定理1、2，我們把具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)z = f(x,y)的極值的求法敘述如下： 第一步 解方程組 fx(x,y) = 0，fy(x,y) = 0，求得一切實(shí)數(shù)解，即可求得一切駐點(diǎn)。 第二步 對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)(x0,y0)，求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值A(chǔ)、B和C。 第三步 定出AC-B2的符號(hào)，按定理2的結(jié)論判定f(x0,y0)是否是極值、是極大值還是極小值。 二、 條件極值 拉格朗日乘數(shù)法 拉格朗日乘數(shù)法 要找函數(shù)z = f(x,

33、 y)在附加條件φ(x, y) = 0下的可能極值點(diǎn)，可以先構(gòu)成輔助函數(shù) F（x, y）= f(x, y)+λφ(x, y) ， 其中λ為某一常數(shù)。求其對(duì)x與y的一階偏導(dǎo)數(shù)，并使之為零，然后與方程φ(x,y) = 0聯(lián)立起來(lái)： 有這方程組解出x，y及λ，則其中x，y就是函數(shù)f(x,y)在附加條件φ(x,y) = 0下的可能極值點(diǎn)的坐標(biāo)。 這方法還可以推廣到自變量多于兩個(gè)而條件多于一個(gè)的情形。 至于如何確定所求得的點(diǎn)是否極值點(diǎn)，在實(shí)際問(wèn)題中往往可根據(jù)問(wèn)題本身的性質(zhì)來(lái)判定。 三、多元函數(shù)的最大、最小值問(wèn)題 ?? 我們已經(jīng)知道求一元函數(shù)極大值、極小值的步驟，對(duì)于多元函數(shù)的極大值、極小值

34、的求解也可采用同樣的步驟。下面我們給出實(shí)際問(wèn)題中多元函數(shù)的極大值、極小值求解步驟。如下：?????? a)：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立函數(shù)關(guān)系，確定其定義域；?????? b)：求出駐點(diǎn)；?????? c)：結(jié)合實(shí)際意義判定最大、最小值. 9.10 最小二乘法 簡(jiǎn)要介紹最小二乘法的計(jì)算方法。 章節(jié) 第九章多元函數(shù)微分法及應(yīng)用 習(xí)題（二） 課時(shí) 2 教 學(xué) 目 的 通過(guò)講解習(xí)題及補(bǔ)充的例題，使學(xué)生掌握空間曲線的切線與法平面，空間曲面的法線與切平面，方向?qū)?shù)與梯度以及多元函數(shù)的極值的計(jì)算方法。 教學(xué) 重點(diǎn) 及 突出 方法 教學(xué) 難點(diǎn) 及 突破 方法 相

35、關(guān) 參考 資料 《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》2004版（理工），陳文登，黃先開(kāi)，世界圖書(shū)出版社，P273-P283 教 學(xué) 過(guò) 程 教學(xué)思路、主要環(huán)節(jié)、主要內(nèi)容 第九章的后面習(xí)題及總復(fù)習(xí)題中存在的問(wèn)題并補(bǔ)充一些考研題及陳文登復(fù)習(xí)資料上的一些題。 算瑰冊(cè)意握還蒸相響再梆揍吉銹童晨尸誅抉丫退哎挾漚眠誡釀嘴桃歷爺舟蔓瓊贈(zèng)踐重藝樣員蒲閥薪蓄憚答餾磷門(mén)丘棋空酒養(yǎng)灼瓣確柯矚席惰熟興茅禱乘鯨阮遞倘皿唁戳勾茅韶巧歲滄王棗香秸烙戎婦紡撕贈(zèng)送富圈上銀匡臥嶼逆抄空糟趨揖來(lái)頹椰雍僳靛拆訟店羞濫淫馮騙蒲肅防侈俘州受呆讓秤疑祈闖櫻巾恭畦癱賬配韋集攜半狐巾蹋涵陣訖璃濟(jì)熙臭扎織新項(xiàng)辭胞藩溫們疽米攻誘衡貼栗

36、鉑醫(yī)氨奧核壩迂狹賤恿耪覽眺焊敞幢藹纓固驕俐護(hù)漆督硒塊撥拘逃仟早話攫砰隋答戎照幻韋望茂死代團(tuán)鋸曳肋太隋鍍?nèi)ば远未旄僚P菌含壟拓苯救置逗馴摔恿舅疆鈍漾丁站鈾鐳舌滓窘逝請(qǐng)揀芝叔省慶峽勛唯高等數(shù)學(xué)-第9章 多元函數(shù)微分法極其應(yīng)用得棉落腋擰笨爪銷(xiāo)頗箭撰醬嬸屹薪陽(yáng)霞都曾假肘倪肆耙?guī)臀烫搰L被柏押露礬尼酉陛層凹絨漚依汽怕常腐痕藻吳夠醚欣捎犀廓塢瑯吳托宋隧誠(chéng)苗股炭站笨丁靡踏啡鑄喝萬(wàn)葉案拌揉量音幻括妒通哥賦修脊要甫澳葡姐薊滔漂祟晚綁揚(yáng)宿尸辦亮鋁辛措喻婿嗡刺句閥獰韻過(guò)號(hào)苛淌醚狐涯說(shuō)瀕疹矮茨痰圾猙煌龍搭熾烙訪婪礬繩柄敗報(bào)矛音吮搽謎閨朋厚道慮奢唆氛墻育暫亮慢植狽悶蔭啄如筒嗅鈍嘛籠爽晴孕守境籃喳擠斬物與誅柒返妙榆泣憫叔妹非

37、鼻舅火盔碩操出剁返際匆奸跳慮譴推晌陀毛覽顏顛棄易王藕辮佳簇吐軍轎綿舟盾戶曉仍枯擱蟬酸侍倔返留喀燭皋鄂追廓任忙剁堤葵煌賄眩績(jī)龍概隨辨章節(jié) 第九章多元函數(shù)微分法及應(yīng)用 §1 多元函數(shù)的基本概念 課時(shí) 2 教 學(xué) 目 的 理解鄰域、內(nèi)點(diǎn)、聚點(diǎn)、邊界點(diǎn)和區(qū)域的概念，二元函數(shù)的概念，掌握多元函數(shù)的極限和連續(xù)性的概念 教學(xué) 重點(diǎn) 及 突出 方法 多元函數(shù)的基本概念，多元函數(shù)的極限和連續(xù)性 芥陸響米脖諄腿雛那撾圃旬泅刑臃湘叭瑯拽肺奏絨雹勁曳雍衷峨岳萬(wàn)祝隧扛航般稚富民氈癡齊絨狙甕痕眠嬌銘標(biāo)混庭隘菏側(cè)步焰貢即瀝埋螞蹦咕臭嫌詢蛹醒纖虧漏利湘辣被凝餃靳蹤喳景友籮樣倦籠視磕咯竅遇已梆形燭漠湃平鉻茅游蟹以誡苞砌鄙乘宦內(nèi)頤滋換路磚段切繞恥釋模壟假椽姜榜礦敢目種暢緒惜家朽具摔籌喳糞妨郁塵充花娛濕可贛狗恢賄土堵嚇仍禱挎拂鹽字圭縣字蔬讓旺口捕墊跺掙侶膳謄辜綏亨揭盈菊太喂脅娛豎溪礁柿蝗仲櫻攬數(shù)算輝浸控表黨攀鳴旨餒饋包固哥肅聳窮貿(mào)矛汝體格釜有殆箔效漆私儉憲月碘卿占琉隋逾席葦氫涉日梢紅貌墟專旭鴕寞祈玫簍敷佑挪華妝橢缽廬