《高三數(shù)學(xué)北師大版文一輪教師用書:第9章 第9節(jié) 圓錐曲線中的定點(diǎn)與定值問題 Word版含解析》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高三數(shù)學(xué)北師大版文一輪教師用書:第9章 第9節(jié) 圓錐曲線中的定點(diǎn)與定值問題 Word版含解析(8頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第九節(jié)圓錐曲線中的定點(diǎn)與定值問題(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第167頁)考點(diǎn)1定點(diǎn)問題圓錐曲線中的定點(diǎn)問題一般是指與解析幾何有關(guān)的直線或圓過定點(diǎn)的問題(其他曲線過定點(diǎn)太復(fù)雜,高中階段一般不涉及),其實(shí)質(zhì)是:當(dāng)動(dòng)直線或動(dòng)圓變化時(shí),這些直線和圓相交于一點(diǎn),即這些直線或圓繞著定點(diǎn)在轉(zhuǎn)動(dòng)這類問題的求解一般可分為以下三步:一選:選擇變量,定點(diǎn)問題中的定點(diǎn),隨某一個(gè)量的變化而固定,可選擇這個(gè)量為變量(有時(shí)可選擇兩個(gè)變量,如點(diǎn)的坐標(biāo)、斜率、截距等,然后利用其他輔助條件消去其中之一)二求:求出定點(diǎn)所滿足的方程,即把需要證明為定點(diǎn)的問題表示成關(guān)于上述變量的方程三定點(diǎn):對(duì)上述方程進(jìn)行必要的化簡,即可得到定點(diǎn)坐標(biāo)(2019開封模
2、擬)已知橢圓C:1(ab0)的右焦點(diǎn)F(,0),長半軸的長與短半軸的長的比值為2.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)不經(jīng)過點(diǎn)B(0,1)的直線l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)M,N,若點(diǎn)B在以線段MN為直徑的圓上,證明直線l過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)解(1)由題意得,c,2,a2b2c2,a2,b1.橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為ykxm(m1),M(x1,y1),N(x2,y2)聯(lián)立消去y,可得(4k21)x28kmx4m240.16(4k21m2)0,x1x2,x1x2.點(diǎn)B在以線段MN為直徑的圓上,0.(x1,kx1m1)(x2,kx2m1)(k21)x
3、1x2k(m1)(x1x2)(m1)20,(k21)k(m1)(m1)20,整理,得5m22m30,解得m或m1(舍去)直線l的方程為ykx.易知當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),不符合題意故直線l過定點(diǎn),且該定點(diǎn)的坐標(biāo)為.對(duì)于直線ykxm,當(dāng)m為定值或mf(k)時(shí),便可確定直線過定點(diǎn),因此根據(jù)條件求出m的值或m與k的關(guān)系便可求出定點(diǎn)教師備選例題已知橢圓E:1(ab0)經(jīng)過點(diǎn)P(2,1),且離心率為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),在橢圓的短軸上有兩點(diǎn)M,N滿足,直線PM,PN分別交橢圓于A,B兩點(diǎn),試證明直線AB過定點(diǎn)解(1)由橢圓的離心率e,得a24b2,將P(2,1)代入橢圓方程1,
4、得1,解得b22,則a28,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)證明:當(dāng)M,N分別是短軸的端點(diǎn)時(shí),顯然直線AB為y軸,所以若直線AB過定點(diǎn),則這個(gè)定點(diǎn)一定在y軸上,當(dāng)M,N不是短軸的端點(diǎn)時(shí),設(shè)直線AB的方程為ykxt,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),易知x12,x22,聯(lián)立消去y,得(14k2)x28ktx4t280,則16(8k2t22)0,x1x2,x1x2.又直線PA的方程為y1(x2),即y1(x2),所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為,同理可知N,由,得0,化簡整理得,(24k)x1x2(24k2t)(x1x2)8t0,則(24k)(24k2t)8t0,整理得(2t4)k(t2t2)0,當(dāng)且僅當(dāng)t2時(shí)
5、,上式對(duì)任意的k都成立,所以直線AB過定點(diǎn)(0,2)(2019濟(jì)南模擬)已知拋物線C1:y22px(p0)與橢圓C2:1有一個(gè)相同的焦點(diǎn),過點(diǎn)A(2,0)且與x軸不垂直的直線l與拋物線C1交于P,Q兩點(diǎn),P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為M.(1)求拋物線C1的方程(2)試問直線MQ是否過定點(diǎn)?若是,求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);若不是,請(qǐng)說明理由解(1)由題意可知,拋物線的焦點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn),坐標(biāo)為(1,0),所以p2,所以拋物線C1的方程為y24x.(2)法一:因?yàn)辄c(diǎn)P與點(diǎn)M關(guān)于x軸對(duì)稱,所以設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則M(x1,y1),設(shè)直線PQ的方程為yk(x2),代入y24x得,k2x24(k21
6、)x4k20,所以x1x24,設(shè)直線MQ的方程為ymxn,代入y24x得,m2x2(2mn4)xn20,所以x1x24,因?yàn)閤10,x20,y1y20,所以2,即n2m,所以直線MQ的方程為ym(x2),必過定點(diǎn)(2,0)法二:設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x3,y3),因?yàn)辄c(diǎn)P與點(diǎn)M關(guān)于x軸對(duì)稱,所以y3y1,設(shè)直線PQ的方程為xty2,代入y24x得,y24ty80,所以y1y28,設(shè)直線MQ的方程為xmyn,代入y24x得,y24my4n0,所以y2y34n,因?yàn)閥3y1,所以y2(y1)y1y24n8,即n2,所以直線MQ的方程為xmy2,必過定點(diǎn)(2,0)考點(diǎn)2定值問題圓
7、錐曲線中的定值問題一般是指在求解解析幾何問題的過程中,探究某些幾何量(斜率、距離、面積、比值等)與變量(斜率、點(diǎn)的坐標(biāo)等)無關(guān)的問題其求解步驟一般為:一選:選擇變量,一般為點(diǎn)的坐標(biāo)、直線的斜率等二化:把要求解的定值表示成含上述變量的式子,并利用其他輔助條件來減少變量的個(gè)數(shù),使其只含有一個(gè)變量(或者有多個(gè)變量,但是能整體約分也可以)三定值:化簡式子得到定值由題目的結(jié)論可知要證明為定值的量必與變量的值無關(guān),故求出的式子必能化為一個(gè)常數(shù),所以只須對(duì)上述式子進(jìn)行必要的化簡即可得到定值(2018北京高考)已知拋物線C:y22px經(jīng)過點(diǎn)P(1,2),過點(diǎn)Q(0,1)的直線l與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A,B
8、,且直線PA交y軸于M,直線PB交y軸于N.(1)求直線l的斜率的取值范圍;(2)設(shè)O為原點(diǎn),求證:為定值解(1)因?yàn)閽佄锞€y22px過點(diǎn)(1,2),所以2p4,即p2.故拋物線C的方程為y24x.由題意知,直線l的斜率存在且不為0.設(shè)直線l的方程為ykx1(k0),由得k2x2(2k4)x10.依題意(2k4)24k210,解得k0或0k1.又PA,PB與y軸相交,故直線l不過點(diǎn)(1,2)從而k3.所以直線l的斜率的取值范圍是(,3)(3,0)(0,1)(2)證明:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)由(1)知x1x2,x1x2.直線PA的方程為y2(x1)令x0,得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為yM22.
9、同理得點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為yN2.由 ,得1yM,1yN.所以2.所以為定值根據(jù),得到,與yM,yN的關(guān)系,這是解題的關(guān)鍵教師備選例題(2019沈陽模擬)已知橢圓C:1(ab0)的焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,離心率為,點(diǎn)P為其上一動(dòng)點(diǎn),且三角形PF1F2的面積最大值為,O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求橢圓C的方程;(2)若點(diǎn)M,N為C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),求常數(shù)m,使m時(shí),點(diǎn)O到直線MN的距離為定值,求這個(gè)定值解(1)依題意知解得所以橢圓C的方程為1.(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1x2y1y2m,當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí),設(shè)其方程為ykxn,則點(diǎn)O到直線MN的距離d,聯(lián)立消去y,得(4k23)x28knx4n2
10、120,由0得4k2n230,則x1x2,x1x2,所以x1x2(kx1n)(kx2n)(k21)x1x2kn(x1x2)n2m,整理得12.因?yàn)閐為常數(shù),則m0,d,此時(shí)12滿足0.當(dāng)MNx軸時(shí),由m0得kOM1,聯(lián)立消去y,得x2,點(diǎn)O到直線MN的距離d|x|亦成立綜上,當(dāng)m0時(shí),點(diǎn)O到直線MN的距離為定值,這個(gè)定值是.(2019成都模擬)直線l與橢圓1(ab0)交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),已知m(ax1,by1),n(ax2,by2),若橢圓的離心率e,且經(jīng)過點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求橢圓的方程(2)當(dāng)mn時(shí),AOB的面積是否為定值?如果是,請(qǐng)給予證明;如果不是,請(qǐng)說明理由解(1)由題意得解得橢圓的方程為x21.(2)當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí),即x1x2,y1y2,由已知mn0,得4xy0,y4x.又A(x1,y1)在橢圓上,x1,|x1|,|y1|,三角形的面積S|x1|y1y2|x1|2|y1|1,三角形的面積為定值當(dāng)直線AB斜率存在時(shí),設(shè)直線AB的方程為ykxt,聯(lián)立得(k24)x22ktxt240.則0,即4k2t24(k24)(t24)0,x1x2,x1x2.mn,4x1x2y1y20,4x1x2(kx1t)(kx2t)0,代入整理得2t2k24.而SAOB|AB|t|1,AOB的面積為定值