《高三數(shù)學(xué)北師大版文一輪教師用書：第9章 第9節(jié)　圓錐曲線中的定點(diǎn)與定值問題 Word版含解析》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高三數(shù)學(xué)北師大版文一輪教師用書：第9章 第9節(jié)　圓錐曲線中的定點(diǎn)與定值問題 Word版含解析（8頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第九節(jié)圓錐曲線中的定點(diǎn)與定值問題(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第167頁)考點(diǎn)1定點(diǎn)問題圓錐曲線中的定點(diǎn)問題一般是指與解析幾何有關(guān)的直線或圓過定點(diǎn)的問題(其他曲線過定點(diǎn)太復(fù)雜，高中階段一般不涉及)，其實(shí)質(zhì)是：當(dāng)動(dòng)直線或動(dòng)圓變化時(shí)，這些直線和圓相交于一點(diǎn)，即這些直線或圓繞著定點(diǎn)在轉(zhuǎn)動(dòng)這類問題的求解一般可分為以下三步：一選：選擇變量，定點(diǎn)問題中的定點(diǎn)，隨某一個(gè)量的變化而固定，可選擇這個(gè)量為變量(有時(shí)可選擇兩個(gè)變量，如點(diǎn)的坐標(biāo)、斜率、截距等，然后利用其他輔助條件消去其中之一)二求：求出定點(diǎn)所滿足的方程，即把需要證明為定點(diǎn)的問題表示成關(guān)于上述變量的方程三定點(diǎn)：對(duì)上述方程進(jìn)行必要的化簡，即可得到定點(diǎn)坐標(biāo)(2019開封模

2、擬)已知橢圓C：1(ab0)的右焦點(diǎn)F(，0)，長半軸的長與短半軸的長的比值為2.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)不經(jīng)過點(diǎn)B(0,1)的直線l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)M，N，若點(diǎn)B在以線段MN為直徑的圓上，證明直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)解(1)由題意得，c，2，a2b2c2，a2，b1.橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為ykxm(m1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)聯(lián)立消去y，可得(4k21)x28kmx4m240.16(4k21m2)0，x1x2，x1x2.點(diǎn)B在以線段MN為直徑的圓上，0.(x1，kx1m1)(x2，kx2m1)(k21)x

3、1x2k(m1)(x1x2)(m1)20，(k21)k(m1)(m1)20，整理，得5m22m30，解得m或m1(舍去)直線l的方程為ykx.易知當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，不符合題意故直線l過定點(diǎn)，且該定點(diǎn)的坐標(biāo)為.對(duì)于直線ykxm，當(dāng)m為定值或mf(k)時(shí)，便可確定直線過定點(diǎn)，因此根據(jù)條件求出m的值或m與k的關(guān)系便可求出定點(diǎn)教師備選例題已知橢圓E：1(ab0)經(jīng)過點(diǎn)P(2,1)，且離心率為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，在橢圓的短軸上有兩點(diǎn)M，N滿足，直線PM，PN分別交橢圓于A，B兩點(diǎn)，試證明直線AB過定點(diǎn)解(1)由橢圓的離心率e，得a24b2，將P(2,1)代入橢圓方程1，

4、得1，解得b22，則a28，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)證明：當(dāng)M，N分別是短軸的端點(diǎn)時(shí)，顯然直線AB為y軸，所以若直線AB過定點(diǎn)，則這個(gè)定點(diǎn)一定在y軸上，當(dāng)M，N不是短軸的端點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線AB的方程為ykxt，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x12，x22，聯(lián)立消去y，得(14k2)x28ktx4t280，則16(8k2t22)0，x1x2，x1x2.又直線PA的方程為y1(x2)，即y1(x2)，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為，同理可知N，由，得0，化簡整理得，(24k)x1x2(24k2t)(x1x2)8t0，則(24k)(24k2t)8t0，整理得(2t4)k(t2t2)0，當(dāng)且僅當(dāng)t2時(shí)

5、，上式對(duì)任意的k都成立，所以直線AB過定點(diǎn)(0，2)(2019濟(jì)南模擬)已知拋物線C1：y22px(p0)與橢圓C2：1有一個(gè)相同的焦點(diǎn)，過點(diǎn)A(2,0)且與x軸不垂直的直線l與拋物線C1交于P，Q兩點(diǎn)，P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為M.(1)求拋物線C1的方程(2)試問直線MQ是否過定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由解(1)由題意可知，拋物線的焦點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，坐標(biāo)為(1,0)，所以p2，所以拋物線C1的方程為y24x.(2)法一：因?yàn)辄c(diǎn)P與點(diǎn)M關(guān)于x軸對(duì)稱，所以設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則M(x1，y1)，設(shè)直線PQ的方程為yk(x2)，代入y24x得，k2x24(k21

6、)x4k20，所以x1x24，設(shè)直線MQ的方程為ymxn，代入y24x得，m2x2(2mn4)xn20，所以x1x24，因?yàn)閤10，x20，y1y20，所以2，即n2m，所以直線MQ的方程為ym(x2)，必過定點(diǎn)(2,0)法二：設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x3，y3)，因?yàn)辄c(diǎn)P與點(diǎn)M關(guān)于x軸對(duì)稱，所以y3y1，設(shè)直線PQ的方程為xty2，代入y24x得，y24ty80，所以y1y28，設(shè)直線MQ的方程為xmyn，代入y24x得，y24my4n0，所以y2y34n，因?yàn)閥3y1，所以y2(y1)y1y24n8，即n2，所以直線MQ的方程為xmy2，必過定點(diǎn)(2,0)考點(diǎn)2定值問題圓

7、錐曲線中的定值問題一般是指在求解解析幾何問題的過程中，探究某些幾何量(斜率、距離、面積、比值等)與變量(斜率、點(diǎn)的坐標(biāo)等)無關(guān)的問題其求解步驟一般為：一選：選擇變量，一般為點(diǎn)的坐標(biāo)、直線的斜率等二化：把要求解的定值表示成含上述變量的式子，并利用其他輔助條件來減少變量的個(gè)數(shù)，使其只含有一個(gè)變量(或者有多個(gè)變量，但是能整體約分也可以)三定值：化簡式子得到定值由題目的結(jié)論可知要證明為定值的量必與變量的值無關(guān)，故求出的式子必能化為一個(gè)常數(shù)，所以只須對(duì)上述式子進(jìn)行必要的化簡即可得到定值(2018北京高考)已知拋物線C：y22px經(jīng)過點(diǎn)P(1,2)，過點(diǎn)Q(0,1)的直線l與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B

8、，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N.(1)求直線l的斜率的取值范圍；(2)設(shè)O為原點(diǎn)，求證：為定值解(1)因?yàn)閽佄锞€y22px過點(diǎn)(1,2)，所以2p4，即p2.故拋物線C的方程為y24x.由題意知，直線l的斜率存在且不為0.設(shè)直線l的方程為ykx1(k0)，由得k2x2(2k4)x10.依題意(2k4)24k210，解得k0或0k1.又PA，PB與y軸相交，故直線l不過點(diǎn)(1，2)從而k3.所以直線l的斜率的取值范圍是(，3)(3,0)(0,1)(2)證明：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)由(1)知x1x2，x1x2.直線PA的方程為y2(x1)令x0，得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為yM22.

9、同理得點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為yN2.由 ，得1yM，1yN.所以2.所以為定值根據(jù)，得到，與yM，yN的關(guān)系，這是解題的關(guān)鍵教師備選例題(2019沈陽模擬)已知橢圓C：1(ab0)的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，離心率為，點(diǎn)P為其上一動(dòng)點(diǎn)，且三角形PF1F2的面積最大值為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求橢圓C的方程；(2)若點(diǎn)M，N為C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求常數(shù)m，使m時(shí)，點(diǎn)O到直線MN的距離為定值，求這個(gè)定值解(1)依題意知解得所以橢圓C的方程為1.(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1x2y1y2m，當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為ykxn，則點(diǎn)O到直線MN的距離d，聯(lián)立消去y，得(4k23)x28knx4n2

10、120，由0得4k2n230，則x1x2，x1x2，所以x1x2(kx1n)(kx2n)(k21)x1x2kn(x1x2)n2m，整理得12.因?yàn)閐為常數(shù)，則m0，d，此時(shí)12滿足0.當(dāng)MNx軸時(shí)，由m0得kOM1，聯(lián)立消去y，得x2，點(diǎn)O到直線MN的距離d|x|亦成立綜上，當(dāng)m0時(shí)，點(diǎn)O到直線MN的距離為定值，這個(gè)定值是.(2019成都模擬)直線l與橢圓1(ab0)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，已知m(ax1，by1)，n(ax2，by2)，若橢圓的離心率e，且經(jīng)過點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求橢圓的方程(2)當(dāng)mn時(shí)，AOB的面積是否為定值？如果是，請(qǐng)給予證明；如果不是，請(qǐng)說明理由解(1)由題意得解得橢圓的方程為x21.(2)當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，即x1x2，y1y2，由已知mn0，得4xy0，y4x.又A(x1，y1)在橢圓上，x1，|x1|，|y1|，三角形的面積S|x1|y1y2|x1|2|y1|1，三角形的面積為定值當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為ykxt，聯(lián)立得(k24)x22ktxt240.則0，即4k2t24(k24)(t24)0，x1x2，x1x2.mn，4x1x2y1y20，4x1x2(kx1t)(kx2t)0，代入整理得2t2k24.而SAOB|AB|t|1，AOB的面積為定值