《高三數(shù)學(xué)北師大版理一輪教師用書：第8章 第6節(jié) 立體幾何中的向量方法 Word版含解析》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高三數(shù)學(xué)北師大版理一輪教師用書：第8章 第6節(jié) 立體幾何中的向量方法 Word版含解析（18頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第六節(jié)立體幾何中的向量方法最新考綱能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計(jì)算問題，了解向量方法在研究立體幾何問題中的應(yīng)用1異面直線所成的角設(shè)a，b分別是兩異面直線l1，l2的方向向量，則a與b的夾角a，bl1與l2所成的角范圍0a，b0關(guān)系cosa，bcos |cosa，b|2直線與平面所成的角設(shè)直線l的方向向量為a，平面的法向量為n，直線l與平面所成的角為，則sin |cosa，n|.3二面角(1)如圖，AB，CD是二面角l的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小，(2)如圖，n1，n2分別是二面角l的兩個(gè)半平面，的法向量，則二面角的大小滿足|cos |cosn1，n2

2、|，二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補(bǔ)角)點(diǎn)到平面的距離如圖所示，已知AB為平面的一條斜線段，n為平面的法向量，則B到平面的距離為|.一、思考辨析(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)兩直線的方向向量所成的角就是兩條直線所成的角()(2)直線的方向向量和平面的法向量所成的角就是直線與平面所成的角()(3)兩個(gè)平面的法向量所成的角是這兩個(gè)平面所成的角()(4)兩異面直線夾角的范圍是，直線與平面所成角的范圍是，二面角的范圍是0，()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改編1已知向量m，n分別是直線l和平面的方向向量和法向量，若cos m，n，則l與所成的角為()A30B60C120D1

3、50A由于cosm，n，所以m，n120，所以直線l與所成的角為30.2已知兩平面的法向量分別為m(0,1,0)，n(0,1,1)，則兩平面所成的二面角為()A.B.C.或D.或Cm(0,1,0)，n(0,1,1)，mn1，|m|1，|n|，cosm，n，m，n.兩平面所成的二面角為或，故選C.3.如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，已知M，N分別是BD和AD的中點(diǎn)，則B1M與D1N所成角的余弦值為()A. B.C.D.A以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，如圖，設(shè)AB2，則N(1,0,0)，D1(0,0,2)，M(1,1,0)，B1(2,2,2)，(1，1，2)，(1,0，2)，

4、143，|，|，cos，0，B1M與D1N所成角的余弦值為.故選A.4.如圖，正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABCA1B1C1的底面邊長為2，側(cè)棱長為2，則AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角為_如圖，以A為原點(diǎn)，以，(AEAB)，所在直線分別為x軸、y軸、z軸(如圖)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)D為A1B1的中點(diǎn)，則A(0,0,0)，C1(1，2)，D(1,0,2)，(1，2)，(1,0,2)C1AD為AC1與平面ABB1A1所成的角，cosC1AD，又C1AD，C1AD.考點(diǎn)1求異面直線所成的角用向量法求異面直線所成角的一般步驟(1)選擇三條兩兩垂直的直線建立空間直角坐標(biāo)系(2)確定異面直線上兩

5、個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而確定異面直線的方向向量(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值(4)兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角余弦值的絕對值 (2017全國卷)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為()A.B.C.D.C在平面ABC內(nèi)過點(diǎn)B作AB的垂線，以B為原點(diǎn)，以該垂線，BA，BB1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Bxyz，則A(0,2,0)，B1(0,0,1)，C，C1，(0，2,1)，cos，故選C.母題探究1.本例條件換為：“直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBCAA1，ABC90，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是

6、棱AB，BB1的中點(diǎn)”，則直線EF和BC1所成的角是_60以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC為x軸，BA為y軸，BB1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示設(shè)ABBCAA12，則C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(xiàn)(0,0,1)，(0，1,1)，(2,0,2)，2，cos，則EF和BC1所成的角是60.2本例條件換為：“直三棱柱ABCA1B1C1中，底面為等邊三角形， AA1AB，N，M分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)”，則AM與BN所成角的余弦值為_如圖所示，取AC的中點(diǎn)D，以D為原點(diǎn)，BD，DC，DM所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)AC2，則A(0，1,0)，M(0,0,2),

7、 B(，0,0)，N，所以(0,1,2)，所以cos，.兩異面直線所成角的范圍是，兩向量的夾角的范圍是0，當(dāng)異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角時(shí)，就是該異面直線的夾角；當(dāng)異面直線的方向向量的夾角為鈍角時(shí)，其補(bǔ)角才是異面直線的夾角教師備選例題如圖，四邊形ABCD為菱形，ABC120，E，F(xiàn)是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn)，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE2DF，AEEC.(1)證明：平面AEC平面AFC；(2)求直線AE與直線CF所成角的余弦值解(1)證明：如圖所示，連接BD，設(shè)BDACG，連接EG，F(xiàn)G，EF.在菱形ABCD中，不妨設(shè)GB1.由ABC120，可得AGGC.由BE平面ABCD

8、，ABBC2，可知AEEC.又AEEC，所以EG，且EGAC.在RtEBG中，可得BE，故DF.在RtFDG中，可得FG.在直角梯形BDFE中，由BD2，BE，DF，可得EF，從而EG2FG2EF2，所以EGFG.又ACFGG，AC，F(xiàn)G平面AFC，所以EG平面AFC.因?yàn)镋G平面AEC，所以平面AEC平面AFC.(2)如圖，以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以GB，GC所在直線為x軸、y軸，|為單位長度，建立空間直角坐標(biāo)系Gxyz，由(1)可得A(0，0)，E(1,0，)，F(xiàn)，C(0，0)，所以(1，)，.故cos，.所以直線AE與直線CF所成角的余弦值為.如圖，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，底

9、面ABCD是菱形，AB2，BAD60.(1)求證：BD平面PAC；(2)若PAAB，求PB與AC所成角的余弦值解(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以ACBD.因?yàn)镻A平面ABCD，所以PABD.又因?yàn)锳CPAA，所以BD平面PAC.(2)設(shè)ACBDO.因?yàn)锽AD60，PAAB2，所以BO1，AOCO.如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則P(0，2)，A(0，0)，B(1,0,0)，C(0，0)所以(1，2)，(0,2，0)設(shè)PB與AC所成角為，則cos .即PB與AC所成角的余弦值為.考點(diǎn)2求直線與平面所成的角利用向量法求線面角的2種方法(1)法一：分別求出斜線和它在平面

10、內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)(2)法二：通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的角(夾角為鈍角時(shí)取其補(bǔ)角)，取其余角就是斜線和平面所成的角(2019深圳模擬)已知四棱錐PABCD，底面ABCD為菱形，PDPB，H為PC上的點(diǎn)，過AH的平面分別交PB，PD于點(diǎn)M，N，且BD平面AMHN.(1)證明：MNPC；(2)當(dāng)H為PC的中點(diǎn)，PAPCAB，PA與平面ABCD所成的角為60，求AD與平面AMHN所成角的正弦值解(1)證明：連接AC、BD且ACBDO，連接PO.因?yàn)锳BCD為菱形，所以BDAC，因?yàn)镻DPB，所以POBD，因?yàn)锳CPOO且

11、AC、PO平面PAC，所以BD平面PAC，因?yàn)镻C平面PAC，所以BDPC，因?yàn)锽D平面AMHN，且平面AMHN平面PBDMN，所以BDMN，MN平面PAC，所以MNPC.(2)由(1)知BDAC且POBD，因?yàn)镻APC，且O為AC的中點(diǎn)，所以POAC，所以PO平面ABCD，所以PA與平面ABCD所成的角為PAO，所以PAO60，所以AOPA，POPA，因?yàn)镻AAB，所以BOPA.以，分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示設(shè)PA2，所以O(shè)(0,0,0)，A(1,0,0)，B，C(1,0,0)，D，P，H，所以，.設(shè)平面AMHN的法向量為n(x，y，z)，所以即 令x2，則y0，z2，

12、所以n(2,0,2)，設(shè)AD與平面AMHN所成角為，所以sin |cosn，|.所以AD與平面AMHN所成角的正弦值為.若求線面角的余弦值，要注意利用平方關(guān)系sin2cos21求出其值不要誤認(rèn)為直線的方向向量與平面的法向量所成夾角的余弦值即為所求(2019浙江高考)如圖，已知三棱柱ABCA1B1C1，平面A1ACC1平面ABC，ABC90，BAC30，A1AA1CAC，E，F(xiàn)分別是AC，A1B1的中點(diǎn)(1)證明：EFBC；(2)求直線EF與平面A1BC所成角的余弦值解法一：(幾何法)(1)連接A1E，因?yàn)锳1AA1C，E是AC的中點(diǎn)，所以A1EAC.又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1

13、ACC1，平面A1ACC1平面ABCAC，所以，A1E平面ABC，則A1EBC.又因?yàn)锳1FAB，ABC90，故BCA1F.所以BC平面A1EF.因此EFBC.(2)取BC中點(diǎn)G，連接EG，GF，則四邊形EGFA1是平行四邊形由于A1E平面ABC，故A1EEG，所以平行四邊形EGFA1為矩形由(1)得BC平面EGFA1，則平面A1BC平面EGFA1，所以EF在平面A1BC上的射影在直線A1G上連接A1G交EF于O，則EOG是直線EF與平面A1BC所成的角(或其補(bǔ)角)不妨設(shè)AC4，則在RtA1EG中，A1E2，EG.由于O為A1G的中點(diǎn)，故EOOG，所以cosEOG.因此，直線EF與平面A1BC

14、所成角的余弦值是.法二：(向量法)(1)連接A1E，因?yàn)锳1AA1C，E是AC的中點(diǎn)，所以A1EAC.又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1平面ABCAC，所以A1E平面ABC.如圖，以點(diǎn)E為原點(diǎn)，分別以射線EC，EA1為y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系Exyz.不妨設(shè)AC4，則A1(0,0，2)，B(，1,0)，B1(，3，2)，F(xiàn)(，2)，C(0,2,0)因此，(，1,0)由0，得EFBC.(2)設(shè)直線EF與平面A1BC所成角為.由(1)可得(，1,0)，(0,2，2)設(shè)平面A1BC的法向量為n(x，y，z)，由得 取n(1，1)，故sin |cos，n

15、|，所以cos ，因此，直線EF與平面A1BC所成的角的余弦值為.考點(diǎn)3求二面角利用向量計(jì)算二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后通過兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳(鈍)二面角(2)找與棱垂直的方向向量法：分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大小提醒：判斷二面角的平面角是銳角還是鈍角，可結(jié)合圖形進(jìn)行(2019全國卷)如圖，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA14，AB2，BAD60，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn)(

16、1)證明：MN平面C1DE；(2)求二面角AMA1N的正弦值解(1)連接ME，B1CM，E分別為BB1，BC中點(diǎn)，ME為B1BC的中位線，MEB1C且MEB1C，又N為A1D中點(diǎn)，且A1D綊B1C，NDB1C且NDB1C，ME綊ND，四邊形MNDE為平行四邊形，MNDE.又MN平面C1DE，DE平面C1DE，MN平面C1DE.(2)法一：設(shè)ACBDO，A1C1B1D1O1，由直四棱柱性質(zhì)可知：OO1平面ABCD.四邊形ABCD為菱形，ACBD.則以O(shè)為原點(diǎn)，可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：則A，M，A1，D(0，1,0)，N.取AB中點(diǎn)F，連接DF，則F.四邊形ABCD為菱形且BAD60，BA

17、D為等邊三角形， DFAB.又AA1平面ABCD，DF平面ABCD，DFAA1.DF平面ABB1A1，即DF平面AMA1.為平面AMA1的一個(gè)法向量，且.設(shè)平面MA1N的法向量n，又，. 令x，則y1，z1 ，n.cos，n，sin，n，二面角AMA1N的正弦值為.法二：由已知可得DEDA.以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則A(2,0,0)，A1(2,0,4)，M(1，2)，N(1,0,2)，(0,0，4)，(1，2)，(1,0，2)，(0，0)設(shè)m(x，y，z)為平面A1MA的法向量，則即 所以可取m(，1,0)設(shè)n(p，q，r)為平面A1MN的法向

18、量，則 即 可取n(2,0，1)，于是cosm，n，所以二面角AMA1N的正弦值為.母題探究本例條件不變，求點(diǎn)C到平面C1DE的距離解法一：(幾何法)過C作C1E的垂線，垂足為H.由已知可得DEBC，DEC1C，所以DE平面C1CE，故DECH.又DEC1EE，從而CH平面C1DE，故CH的長即為C到平面C1DE的距離，由已知可得CE1，C1C4，所以C1E，故CH.從而點(diǎn)C到平面C1DE的距離為.法二：(等體積法)在菱形ABCD中，E為BC中點(diǎn)，所以DEBC，根據(jù)題意有DE，C1E，因?yàn)槔庵鶠橹崩庵?，所以有DE平面BCC1B1，所以DEEC1，所以SDEC1，設(shè)點(diǎn)C到平面C1DE的距離為d，

19、根據(jù)題意有VC1CDEVCC1DE，則有d14，解得d，所以點(diǎn)C到平面C1DE的距離為.本例(2)在求解中給出了兩種常見的建系方式，建立便捷的空間直角坐標(biāo)系是求解本例的關(guān)鍵1.如圖所示，二面角的棱上有A，B兩點(diǎn)，直線AC，BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于AB.已知AB4，AC6，BD8，CD2，則該二面角的大小為_60，|2.|cos，24.cos，.又所求二面角與，互補(bǔ)，所求的二面角為60.2.如圖，EA平面ABC ，DB平面ABC，ABC是等邊三角形，AC2AE，M是AB的中點(diǎn)(1)求證：CMEM; (2)若直線DM與平面ABC所成角的正切值為2，求二面角BCDE的余弦值解(

20、1)證明：因?yàn)锳BC是等邊三角形，M是AB的中點(diǎn)，所以CMAM.因?yàn)镋A平面ABC，CM平面ABC，所以CMEA.因?yàn)锳MEAA，所以CM平面EAM.因?yàn)镋M平面EAM，所以CMEM.(2)以點(diǎn)M為坐標(biāo)原點(diǎn)，MC所在直線為x軸，MB所在直線為y軸，過M且與直線BD平行的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Mxyz，如圖所示因?yàn)镈B平面ABC，所以DMB為直線DM與平面ABC所成的角，所以tanDMB2，即BD2MB，所以BDAC.不妨設(shè)AC2，又AC2AE，則CM，AE1.故B(0,1,0)，C(，0,0)，D(0,1,2)，E(0，1,1)所以(，1,0)，(0,0,2)，(，1,1)，(，1,2)設(shè)平面BCD與平面CDE的一個(gè)法向量分別為m(x1，y1，z1)，n(x2，y2，z2)，由 得令x11，得y1，所以m(1，0)由 得令x21，得y2，z2.所以n.所以cosm，n0.所以二面角BCDE的余弦值為0.