《高三數(shù)學(xué)北師大版理一輪教師用書：第4章 第4節(jié) 函數(shù)y＝Asinωx＋φ的圖像及三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用. Word版含解析》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高三數(shù)學(xué)北師大版理一輪教師用書：第4章 第4節(jié) 函數(shù)y＝Asinωx＋φ的圖像及三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用. Word版含解析（15頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第四節(jié)函數(shù)yAsin(x)的圖像及三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用 最新考綱1.了解函數(shù)yAsin(x)的物理意義；能畫出函數(shù)的圖像，了解參數(shù)A，對(duì)函數(shù)圖像變化的影響.2.會(huì)用三角函數(shù)解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際問題，體會(huì)三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型1yAsin(x)的有關(guān)概念yAsin(x)(A0，0，x0)表示一個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)振幅周期頻率相位初相ATfx2.用五點(diǎn)法畫yAsin(x)一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖時(shí)，要找五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，如下表所示：xx02yAsin(x)0A0A03.由ysin x的圖像變換得到y(tǒng)Asin(x)(其中A0，0)的圖像1函數(shù)yAsin(x)k圖像平移的規(guī)律：“左加右減，上加下減”2由ysi

2、n x到y(tǒng)sin(x)(0，0)的變換：向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度而非個(gè)單位長(zhǎng)度一、思考辨析(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)利用圖像變換作圖時(shí)“先平移，后伸縮”與“先伸縮，后平移”中平移的單位長(zhǎng)度一致()(2)將y3sin 2x的圖像左移個(gè)單位后所得圖像的解析式是y3sin.()(3)ysin的圖像是由ysin的圖像向右平移個(gè)單位得到的()(4)函數(shù)yAcos(x)的最小正周期為T，那么函數(shù)圖像的兩個(gè)相鄰對(duì)稱中心之間的距離為.()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改編1y2sin的振幅、頻率和初相分別為()A2,4，B2，C2， D2,4，C由題意知A2，f，初相為.2為了得到函數(shù)y2sin的圖

3、像，可以將函數(shù)y2sin 2x的圖像()A向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度B向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度D向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度Ay2sin2sin 2.3.如圖，某地一天從614時(shí)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)yAsin(x)b，則這段曲線的函數(shù)解析式為_y10sin20，x6,14從題圖中可以看出，從614時(shí)的是函數(shù)yAsin(x)b的半個(gè)周期所以A(3010)10，b(3010)20，又146，所以.又1022k，kZ，取，所以y10sin20，x6,144某地農(nóng)業(yè)監(jiān)測(cè)部門統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)：該地區(qū)近幾年的生豬收購(gòu)價(jià)格每四個(gè)月會(huì)重復(fù)出現(xiàn)下表是今年前四個(gè)月的統(tǒng)計(jì)情況：月份x1234收購(gòu)價(jià)格y(元/斤)6765選

4、用一個(gè)函數(shù)來(lái)近似描述收購(gòu)價(jià)格(元/斤)與相應(yīng)月份之間的函數(shù)關(guān)系為_y6cosx設(shè)yAsin(x)B(A0，0)，由題意得A1，B6，T4，因?yàn)門，所以，所以ysin6.因?yàn)楫?dāng)x1時(shí)，y6，所以6sin6，結(jié)合表中數(shù)據(jù)得2k，kZ，可取，所以ysin66cos x.考點(diǎn)1函數(shù)yAsin(x)的圖像及變換(1)yAsin(x)的圖像可用“五點(diǎn)法”作簡(jiǎn)圖得到，可通過變量代換zx計(jì)算五點(diǎn)坐標(biāo)(2)由函數(shù)ysin x的圖像通過變換得到y(tǒng)Asin(x)圖像有兩條途徑：“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”已知函數(shù)y2sin.(1)用“五點(diǎn)法”作出它在一個(gè)周期內(nèi)的圖像；(2)一題多解說(shuō)明y2sin的圖像可由ys

5、in x的圖像經(jīng)過怎樣的變換而得到解(1)描點(diǎn)畫出圖像，如圖所示：(2)法一：把ysin x的圖像上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)sin的圖像；再把ysin的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變)，得到y(tǒng)sin的圖像；最后把ysin上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(橫坐標(biāo)不變)，即可得到y(tǒng)2sin的圖像法二：將ysin x的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變)，得到y(tǒng)sin 2x的圖像；再將ysin 2x的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)sinsin的圖像；再將ysin的圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍(橫坐標(biāo)不變)，即得到y(tǒng)2sin的圖像三角函數(shù)圖像變換中的3個(gè)注

6、意點(diǎn)(1)變換前后，函數(shù)的名稱要一致，若不一致，應(yīng)先利用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為同名函數(shù)(2)要弄清變換的方向，即變換的是哪個(gè)函數(shù)的圖像，得到的是哪個(gè)函數(shù)的圖像，切不可弄錯(cuò)方向(3)要弄準(zhǔn)變換量的大小，特別是平移變換中，函數(shù)yAsin x到y(tǒng)Asin(x)的變換量是|個(gè)單位，而函數(shù)yAsin x到y(tǒng)Asin(x)時(shí)，變換量是個(gè)單位1.要得到函數(shù)ysin的圖像，只需將函數(shù)ycos 5x的圖像()A向左平移個(gè)單位B向右平移個(gè)單位C向左平移個(gè)單位 D向右平移個(gè)單位B函數(shù)ycos 5xsinsin 5，ysinsin 5，設(shè)平移個(gè)單位，則，解得，故把函數(shù)ycos 5x的圖像向右平移個(gè)單位，可得函數(shù)ysin的圖像

7、2若把函數(shù)ysin的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得到的圖像與函數(shù)ycos x的圖像重合，則的一個(gè)可能取值是()A.2B. C.D.Aysin和函數(shù)ycos x的圖像重合，可得2k，kZ，則6k2，kZ.2是的一個(gè)可能值3將函數(shù)f(x)sin的圖像向左平移(0)個(gè)單位后，得到的圖像關(guān)于直線x對(duì)稱，則的最小值為_把函數(shù)f(x)sin的圖像向左平移(0)個(gè)單位后，可得ysinsin的圖像，所得圖像關(guān)于直線x對(duì)稱，44k(kZ)，(kZ)，0，min.考點(diǎn)2由圖像確定yAsin(x)的解析式確定yAsin(x)B(A0，0)的解析式的步驟(1)求A，B，確定函數(shù)的最大值M和最小值m，則A，B.(2)求，

8、確定函數(shù)的周期T，則.(3)求，常用方法有：代入法：把圖像上的一個(gè)已知點(diǎn)代入(此時(shí)要注意該點(diǎn)在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)或把圖像的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)代入五點(diǎn)法：確定值時(shí)，往往以尋找“五點(diǎn)法”中的特殊點(diǎn)作為突破口具體如下：“第一點(diǎn)”(即圖像上升時(shí)與x軸的交點(diǎn))為x0；“第二點(diǎn)”(即圖像的“峰點(diǎn)”)為x；“第三點(diǎn)”(即圖像下降時(shí)與x軸的交點(diǎn))為x；“第四點(diǎn)”(即圖像的“谷點(diǎn)”)為x；“第五點(diǎn)”(即圖像上升時(shí)與x軸的交點(diǎn))為x2.(1)函數(shù)f(x)Asin(x)的部分圖像如圖所示，則f(x)_.圖圖(2)(2019重慶六校聯(lián)考)函數(shù)f(x)Asin(x) 的部分圖像如圖所示，則f_.(1)2sin(2

9、)(1)由題圖可知，A2，T2，所以2，由五點(diǎn)作圖法可知2，所以，所以函數(shù)的解析式為y2sin.(2)由函數(shù)的圖像可得A，可得2，則22k(kZ)，又0，所以，故f(x)sin，所以f.(1)一般情況下，的值是唯一確定的，但的值是不確定的，如果求出的的值不在指定范圍內(nèi)，可以通過加減的整數(shù)倍達(dá)到目的(2)在用“零點(diǎn)”求時(shí)，務(wù)必關(guān)注三角函數(shù)在該點(diǎn)附近的圖像變化趨勢(shì)1.(2019開封模擬)如果存在正整數(shù)和實(shí)數(shù)使得函數(shù)f(x)sin2(x)的圖像如圖所示(圖像經(jīng)過點(diǎn)(1,0)，那么的值為()A1 B2C3 D4B因?yàn)閒(x)sin2(x)cos 2(x)，所以函數(shù)f(x)的最小正周期T，由題圖知1，且

10、1，即T2，又為正整數(shù)，所以的值為2，故選B.2.(2019合肥模擬)函數(shù)f(x)Asin(x)的圖像如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是()A在區(qū)間上單調(diào)遞減B在區(qū)間上單調(diào)遞增C在區(qū)間上單調(diào)遞減D在區(qū)間上單調(diào)遞增B由題意得，A2，T4，故2.當(dāng)x時(shí)取得最大值2，所以22sin，且|，所以，所以函數(shù)的解析式為f(x)2sin.當(dāng)x時(shí)，2x，又由正弦函數(shù)ysin x的圖像與性質(zhì)可知，函數(shù)ysin x在上單調(diào)遞增，故函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增當(dāng)x時(shí)，2x，由函數(shù)ysin x的圖像與性質(zhì)知此區(qū)間上不單調(diào)，故選B.3.已知函數(shù)f(x)sin(x)的部分圖像如圖所示，且f(0)，則圖中m的值為_因?yàn)閒(0)sin

11、 ，且|，所以，所以f(x)sin，所以f(m)sin，所以m2k，kZ，所以m2k，kZ.又周期T2，所以0m2，所以m.考點(diǎn)3三角函數(shù)圖像與性質(zhì)的綜合應(yīng)用函數(shù)零點(diǎn)(方程根)問題已知關(guān)于x的方程2sin2xsin 2xm10在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是_(2，1)方程2sin2xsin 2xm10可轉(zhuǎn)化為m12sin2xsin 2xcos 2xsin 2x2sin，x.設(shè)2xt，則t，所以題目條件可轉(zhuǎn)化為sin t，t有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根所以y1和y2sin t，t的圖像有兩個(gè)不同交點(diǎn)，如圖：由圖像觀察知，的取值范圍是，故m的取值范圍是(2，1)母題探究(變條件)將本例中“有兩個(gè)不

12、同的實(shí)數(shù)根”改為“有實(shí)根”，則m的取值范圍為_2,1)由例題可知，2m1，即m的取值范圍為.本例在求解中，通過換元，令t2x，把原問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為函數(shù)y與ysin t，t圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，從而化繁為簡(jiǎn)，提高了解題效率三角函數(shù)圖像與性質(zhì)的綜合問題已知函數(shù)f(x)sin(0)的圖像與x軸相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)若將f(x)的圖像向左平移m(m0)個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)g(x)的圖像恰好經(jīng)過點(diǎn)，求當(dāng)m取得最小值時(shí)，g(x)在上的單調(diào)遞增區(qū)間解(1)函數(shù)f(x)的圖像與x軸相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為，得函數(shù)f(x)的最小正周期為T2，得1，故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)sin.

13、(2)將f(x)的圖像向左平移m(m0)個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)g(x)sinsin的圖像，根據(jù)g(x)的圖像恰好經(jīng)過點(diǎn)，可得sin0，即sin0，所以2mk(kZ)，m(kZ)，因?yàn)閙0，所以當(dāng)k0時(shí)，m取得最小值，且最小值為.此時(shí)，g(x)sin.因?yàn)閤，所以2x.當(dāng)2x，即x時(shí)，g(x)單調(diào)遞增，當(dāng)2x，即x時(shí)，g(x)單調(diào)遞增綜上，g(x)在區(qū)間上的單調(diào)遞增區(qū)間是和.研究yAsin(x)的性質(zhì)時(shí)可將x視為一個(gè)整體，利用換元法和數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行解題1.(2019天津高考)已知函數(shù)f(x)Asin(x)(A0，0，|)是奇函數(shù)，將yf(x)的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，所

14、得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)若g(x)的最小正周期為2，且g，則f()A2 BC D2Cf(x)Asin(x)為奇函數(shù)， k，kZ，又|，0，f(x)Asin x，則g(x)Asin.由g(x)的最小正周期T2，得1，2.又gAsin A，A2，f(x)2sin 2x，f2sin ，故選C.2(2019全國(guó)卷)設(shè)函數(shù)f(x)sin(0)，已知f(x)在0,2有且僅有5個(gè)零點(diǎn)下述四個(gè)結(jié)論：f(x)在(0,2)有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn)；f(x)在(0,2)有且僅有2個(gè)極小值點(diǎn)；f(x)在單調(diào)遞增；的取值范圍是.其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是()A BC DD如圖，根據(jù)題意知，xA2xB，根據(jù)圖像可知函數(shù)f(x

15、)在(0,2)有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn)，所以正確；但可能會(huì)有3個(gè)極小值點(diǎn)，所以錯(cuò)誤；根據(jù)xA2xB，有2，得，所以正確；當(dāng)x時(shí)，x，因?yàn)?，所以，所以函?shù)f(x)在單調(diào)遞增，所以正確課外素養(yǎng)提升邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算三角函數(shù)中的確定方法數(shù)學(xué)運(yùn)算是解決數(shù)學(xué)問題的基本手段，通過運(yùn)算可促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展；而邏輯推理是得到數(shù)學(xué)結(jié)論、構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的重要方式運(yùn)算和推理貫穿于探究數(shù)學(xué)問題的始終，可交替使用，相輔相成三角函數(shù)的周期T與的關(guān)系【例1】為了使函數(shù)ysin x(0)在區(qū)間0,1上至少出現(xiàn)50次最大值，則的最小值為()A98 B C D100B由題意，至少出現(xiàn)50次最大值即至少需用49個(gè)周期，所以T1，所以.評(píng)

16、析解決此類問題的關(guān)鍵在于結(jié)合條件弄清周期T與所給區(qū)間的關(guān)系，從而建立不等關(guān)系三角函數(shù)的單調(diào)性與的關(guān)系【例2】若f(x)2sin x(0)在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍是_法一：因?yàn)閤(0)，所以x，因?yàn)閒(x)2sin x在上是增函數(shù)，所以故0.法二：畫出函數(shù)f(x)2sin x(0)的圖像如圖所示要使f(x)在上是增函數(shù)，需(0)，即0.法三：由2kx2k(kZ)得x(kZ)，故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(kZ)，由題意(kZ，0)，從而有即0.評(píng)析根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，確定函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，根據(jù)函數(shù)f(x)2sin x(0)在區(qū)間上單調(diào)遞增，建立不等式，即可求的取值范圍【例3

17、】(1)已知f(x)sin xcos x，若函數(shù)f(x)圖像的任何一條對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都不屬于區(qū)間(，2)，則的取值范圍是_(結(jié)果用區(qū)間表示)(2)已知函數(shù)f(x)2sin x在區(qū)間上的最小值為2，則的取值范圍是_(1)(2)(1)f(x)sin xcos xsin，令xk(kZ)，解得x(kZ)當(dāng)k0時(shí)，即，當(dāng)k1時(shí)，2，即.綜上，.(2)顯然0，分兩種情況：若0，當(dāng)x時(shí)，x.因函數(shù)f(x)2sin x在區(qū)間上的最小值為2，所以，解得.若0，當(dāng)x時(shí)，x，因函數(shù)f(x)2sin x在區(qū)間上的最小值為2，所以，解得2.綜上所述，符合條件的實(shí)數(shù)2或.評(píng)析這類三角函數(shù)題除了需要熟練掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的單調(diào)性外，還必須知曉一個(gè)周期里函數(shù)最值的變化，以及何時(shí)取到最值，函數(shù)取到最值的區(qū)間要求與題目給定的區(qū)間的關(guān)系如何.