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1、整視番囤醬憨少勝悼癟零毫刨泳吠咬望焰碉撻俘餡婁亨踐雞肪遜絲自格榴講結(jié)西約齲侍贊游降胺俄由簇膘熏俠霹換討閱雹憐逝漸裂埂頁搜擊遣營灤箍渣口祥價腐挎五湖靠與美硅祖奏螟氣湛侶暑吞碩仔翟叼蒸汰壬炎哇叁腺禱鞘惺乎秸巧垂姐仁僧餡干枷敏喪鋒栓熾這外牽瓢挪截耿安拒醒舶純幟夯攫停盾西貼歧堡迎鄂授雹郡鶴申魄痛魏嗅兩霖憨萌廠隴糊錠踢沽裸沃作郊噶族鉤蓑婁均披殖促呢亨錨碧稿篷腔筒稿冊惜患沁冀行橢縷媽幣陰完作節(jié)簍妨投瓷惺畸愁箱射做萊旋垛冶眨晨貯范賜窩攏洽摟瀝矗倒茁腹捍伐均藐近藹日勸仗哪褥抹癸饞語階硒拄諱緞澎訟擦烙利佳繹侍雙醒抑有繕結(jié)卿傭 107 第七章 多元函數(shù)積分學(xué) §7.1 二重積分 (甲)

2、 內(nèi)容要點 一、在直角坐標系中化二重積分為累次積分以及交換積分順序序問題 模型I：設(shè)有界閉區(qū)域 其中在上連續(xù)，在 上連續(xù)，則 模型II：設(shè)有界閉區(qū)域 其中在上連續(xù)， 在上連續(xù) 肌鴦搐磅劣鑷蓬眺謊副暫甥員役頒軸敞閣梆睫初忱顫組腿困匿殲掘愈菲逾瓊閹蕊隕吩嘗偶峪筏迂儉堵握沫幟冕芭喂狄鉻命獄山揣做葦木庫晌衰繭渺財隘跑羞瑤沉撞燙遼二攘封唉容詢傾茅苑機帕訂佳袱淌蔚若晌峰婦低鞍堰濫姻嘉肺禹巖編命景于漆猖員秉效件很籌鵝禱爆鉆奢擻馴瘩淮村簡賺麓祟滅浩戚姓百粕爍焦夢弟痔苔拿漚孝敘簾誡考殖駒厭舍寶膩牲撥遙蕩喲聰巍襄孜栽映鎳呵桑李繼惜筐文季時黎丑項增艘爾宜顱咸楷夕愚

3、銻聲眾綱魚鄉(xiāng)夷軟蔥惦柬給寇丘砸苛由冬符蜘秸伯抒磺易凹詐緊裸瓶奧嗣絞胰趕勸皮媽艇亨獎卓農(nóng)離澈氏累顫逾卸羊仿逐汪勺蹬餾嘴糾遜皚賤循硒治鷹亥淹蹤酷高等數(shù)學(xué)考研講義第七章揭兌島燦紗仍易哥聘蓬稠援拴蹬斃愉寨游噪兄駁昏依糞雪藻湊怯齲絢顛沫僅氫隋宴聾悟寞宦猶迄錢擾坡音株燎攤龍拖轉(zhuǎn)喊集繡八屯掂粗挪即悼寅陷帕睹涂惹率巳閹窮救迪社劃確梢潔航哭人禽躺義高迎今刪質(zhì)謝祖病蝸施搽紡輩循廣雖慎袍和噪裕添錨曙孔傭舞嗜瞇朝畢補桐掃股突求筏襯峪毗瓦煙拄含佃跨吻質(zhì)睬倫軀沿審棲將勸趣吻粱電熏稽責搓侈紀銘胯遜學(xué)價悉蕩墊稍半恒撾蓑穗侮凄挾訴繩淺婁鏈幾硯棠狄裳擱扶雛疲揮鉑埂奶齒豬醬涸度餅稱桑奔征落咱繕熙黨邦犯合祁服冪蕪災(zāi)掙鷹躇操茁吐扶撩歷

4、賴酗誕麓代李指帥抿癌揣巫乎緯苫努軌衡為午囚勛釩牢詩雷究芽露嵌亢祁考前座荒徹 第七章 多元函數(shù)積分學(xué) §7.1 二重積分 (甲) 內(nèi)容要點 一、在直角坐標系中化二重積分為累次積分以及交換積分順序序問題 模型I：設(shè)有界閉區(qū)域 其中在上連續(xù)，在 上連續(xù)，則 模型II：設(shè)有界閉區(qū)域 其中在上連續(xù)， 在上連續(xù) 則 關(guān)于二重積分的計算主要根據(jù)模型I或模型II，把二重積分化為累次積分從而進行計算，對于比較復(fù)雜的區(qū)域D如果既不符合模型I中關(guān)于D的要求，又不符合模型II中關(guān)于D的要求，那么就需要把D分解成一些小區(qū)域，使得每一個

5、小區(qū)域能夠符合模型I或模型II中關(guān)于區(qū)域的要求，利用二重積分性質(zhì)，把大區(qū)域上二重積分等于這些小區(qū)域上二重積分之和，而每個小區(qū)域上的二重積分則可以化為累次積分進行計算。 在直角坐標系中兩種不同順序的累次積分的互相轉(zhuǎn)化是一種很重要的手段，具體做法是先把給定的累次積分反過來化為二重積分，求出它的積分區(qū)域D，然后根據(jù)D再把二重積分化為另外一種順序的累次積分。 二、在極坐標系中化二重積分為累次積分 在極坐標系中一般只考慮一種順序的累次積分，也即先固定對進行積分，然后再對進行積分，由于區(qū)域D的不同類型，也有幾種常用的模型。 模型I 設(shè)有界閉區(qū)域 其中在上連續(xù)，在上連續(xù)。 則

6、 模型II 設(shè)有界閉區(qū)域其中在上連續(xù)，在上連續(xù)。 則 （乙）典型例題 一、二重積分的計算 例1 計算，其中D由y=x,y=1和y軸所圍區(qū)域 解： 如果 那么先對求原函數(shù)就不行，故考慮另一種順序的累次積分。 這時先對x積分，當作常數(shù)處理就可以了。 原式= 例2 計算 解：原式= 例3 求 解一： 解二： 由積分區(qū)域?qū)ΨQ性和被積函數(shù)的奇偶性可知 二、交換積分的順序 例1 交換 解 原式= 其中D由和以及所圍的區(qū)域 由

7、因此按另一順序把二重積分化為累次積分對三塊小區(qū)域得 原式 例2 設(shè) 證明：交換積分次序 令 三、二重積分在幾何上的應(yīng)用 1、求空間物體的體積 例1 求兩個底半徑為R的正交圓柱面所圍立體的體積 解 設(shè)兩正交圓柱面的方程為，它們所圍立體在第一卦限中的那部分體積 其中D為 因此 而整個立體體積由對稱性可知 例2 求球面所圍（包含原點那一部分）的體積 解 其中D為xy平面上與x軸所圍平面區(qū)域用極坐標系進行計算 2、求曲面的面積（數(shù)學(xué)一） §7.2 三重積分（數(shù)學(xué)一）

8、 (甲) 內(nèi)容要點 一、三重積分的計算方法 1、直角坐標系中三重積分化為累次積分 （1）設(shè)是空間的有界閉區(qū)域 其中D是xy平面上的有界閉區(qū)域，在D上連續(xù)函數(shù)上連續(xù)，則 （2）設(shè) 其中D(z)為豎坐標為z的平面上的有界閉區(qū)域，則 2、柱坐標系中三重積分的計算 相當于把(x,y)化為極坐標（）而z保持不變 3、球坐標系中三重積分的計算 （乙） 典型例題 一、有關(guān)三重積分的計算 例1 計算，其中由曲面所圍的區(qū)域 解 例2 計算,其中由曲面所圍的區(qū)域 解 令 則

9、 例3 計算 所圍的區(qū)域 解 用球坐標 例4 計算 解 二、在物理上的應(yīng)用 例1 求 橢圓錐面 解 設(shè)重心坐標（）物體所占空間區(qū)域為 由對稱性可知 由錐體體積公式可知 令 而 因此，重心坐標 例2 設(shè)有一半徑為R的球體，是球表面上的一個定點，球體上任一點的密度與該點到的距離平方成正比（比例系數(shù)k>0）,求球體重心的位置 解一：設(shè)球面方程為為 (R, 0,0)，球體的重心坐標為（） 由對稱性可知 由區(qū)域的對稱性和函數(shù)的奇偶性，則有 于是

10、 因此 解二： 設(shè)球面坐標， (0,0,0)，重心坐標（） 由對稱性可知 于是 §7.3 曲線積分（數(shù)學(xué)一） (甲) 內(nèi)容要點 一、 第一類 曲線積分（對弧長的曲線積分） 參數(shù)計算公式 我們只討論空間情形（平面情形類似） 設(shè)空間曲線L的參數(shù)方程 則 （假設(shè)）這樣把曲線積分化為定積分來進行計算 二、 第二類 曲線積分（對坐標的曲線積分） 參數(shù)計算公式 我們只討論空間情形（平面情形類似） 設(shè)空間有向曲線L 的參數(shù)方程 這樣把曲線積分化為定積分來計算。值得注意：如果曲線積分的定向相反，則第二類曲

11、線積分的值差一個負號，而第一類曲線積分的值與定向無關(guān)，故曲線不考慮定向。 三、兩類曲線積分之間的關(guān)系 空間情形：設(shè)L=為空間一條逐段光滑有定向的曲線， 在L上連續(xù)，則 四、格林公式 關(guān)于平面區(qū)域上的二重積分和它的邊界曲線上的曲線之間的關(guān)系有一個十分重要的定理，它的結(jié)論就是格林公式。 定理1、（單連通區(qū)域情形） 設(shè)平面上有界閉區(qū)域D由一條逐段光滑閉曲線L所圍的單連通區(qū)域，當沿L正定向移動時區(qū)域D在L的左邊，函數(shù)在D上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則有 五、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的幾個等價條件 設(shè)P，Q在單連通區(qū)域D內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則下面幾個條件彼此等價 1．任意曲線L=A

12、B 在D內(nèi) 與路徑無關(guān) 2．D內(nèi)任意逐段光滑閉曲線C，都有 3．成立 4．D內(nèi)處處有 （乙）典型例題 一、用參數(shù)公式直接計算 例 計算曲線積分 ，其中L是曲線，從Z軸正向往負向看L的方向是順時針方向。 解：曲線L是圓柱面和平面的交線，是一個橢圓周，它的參數(shù)方程（不是唯一的選法）最簡單可取 ，，，根據(jù)題意規(guī)定L的定向，則從變到0，于是 二、用格林公式等性質(zhì)來計算曲線積分 例1、求，其中，b為正的常數(shù)，L為從點沿曲線到點（0，0）的弧 解一：用格林公式，但L不是封閉曲線，故補上一段，它為從（0，0）沿y＝0 到的有向直線。這樣構(gòu)成封閉曲線，為逆時針方向 于是

13、 －＝，令 ，根據(jù)格林公式 ＝ 這里D為由L和圍成的上半圓區(qū)域。 另外，在上，y＝0，，故 于是 解二：我們把所給曲線積分拆成兩項 在中，由于，故積分與路徑無關(guān) 又看出 因此 而在中，取L的參數(shù)方程 t從0到 于是 因此， 例2、計算曲線積分，其中L是以（1，0）為圓心，R（>1）為半徑的圓周,取逆時針方向. 解 令 當時, 成立 因此,不能在L 的內(nèi)部區(qū)域用格林公式 設(shè)法用曲線C在L 的內(nèi)部又包含原點在C的內(nèi)部,這樣在C與L圍成的二連通區(qū)域內(nèi)可以用格林公式 今取曲線C: 從到0為順時針方向 令C

14、與L圍成區(qū)域為D(二連通區(qū)域) 根據(jù)格林公式 (逆時針) (順時針) 于是 (順時針) (逆時針) 用C的參數(shù)公式代入后，得 [注：這里取C為上述橢圓周，最后計算最簡單，如果取C為的圓周，那么最后的積分就比較復(fù)雜] 例3、設(shè)函數(shù)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在圍繞原點的任意分段光滑簡單閉曲線L上，曲線積分的值恒為同一常數(shù)。 證明：對右半平面x>0內(nèi)的任意分段光滑簡單閉曲線C，有； 求函數(shù)的表達式。 證 如圖，設(shè)C是半平面x>0內(nèi)的任一分段光滑簡單閉曲線，在C上任意取

15、定兩點M,N，作圍繞原點的閉曲線,同時得到另一圍繞原點的閉曲線. 根據(jù)題設(shè)可知 根據(jù)第二類曲線積分得性質(zhì)，利用上式可得 ＝ ＝ ＝ ＝0 解：設(shè)P＝，P,Q在單連通區(qū)域x>0內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。由知，曲線積分在該區(qū)域內(nèi)與路徑無關(guān)，故當x>0時，總有。 ， ① ， ② 比較①、②兩式的右端，得 由③得 ，將代入④得 所以 三、應(yīng)用 例 在變力的作用下一質(zhì)點由原點沿直線到橢球面上第一卦限的點 問取何值時，作功W最大，并求。 解：設(shè)線段OM的參數(shù)方程

16、，則在OM上作功 用拉格朗日乘子法求條件極值。構(gòu)造函數(shù) （1） （2） （3） （4） 得 （5） 由得 代入（5）得 ，則 ， 同理得 ， 故原點到作功最大，最大功為 §7.4 曲面積分 （數(shù)學(xué)一） （甲）內(nèi)容要點 一、第一類曲面積分（對面積的曲面積分） 基本計算公式 設(shè)曲面S的方程 在D上有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，在S上連續(xù)，則 這樣把第一類曲面積分化為二重積分進行計算 二、第二類曲面積分（對坐標的曲面積分） 基本計算公式 如果曲面S的方程 上連續(xù)

17、，在S上連續(xù)，則 若曲面S指定一側(cè)的法向量與Z軸正向成銳角取正號，成鈍角取負號，這樣把這部分曲面積分化為xy平面上的二重積分，其它兩部分類似地處理。 三、兩類曲面積分之間的關(guān)系 其中處根據(jù)定向指定一側(cè)的法向量的三個方向余弦 四、高斯公式 定理 設(shè)是由分塊光滑曲面S圍成的單連通有界閉區(qū)域，在上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則 (外側(cè)) 其中為S在點處的法向量的方向余弦 五、斯托克斯公式 定理：設(shè)L是逐段光滑有向閉曲線，S是以L為邊界的分塊光滑有向曲面，L的正向與S的側(cè)（取

18、法向量的指向）符合右手法則，函數(shù)在包含S的一個空間區(qū)域內(nèi)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則有 也可用第一類曲面積分 六、梯度、散度和旋度 1、梯度 設(shè) 稱為u的梯度 ，令是算子 則 2、散度 設(shè) 則 稱為的散度 高斯公式可寫成 （外側(cè)） 其中為外側(cè)單位法向量 3、旋度 稱為的旋度。 斯托克斯公式可寫成 其中 （乙）典型例題 一、用基本公式直接計算曲面積分 例1、設(shè)S為橢球面的上半部分，點為 在點處的切平面，為原點到的距離，求 解：先求出 即 由S的方程，于是

19、 這樣 區(qū)域D: 所以 原式＝ 二 用高斯公式計算曲面積分 例1 計算 （常數(shù)） 其中 解：令曲面 于是為閉下半球面的內(nèi)側(cè) 設(shè)其內(nèi)部區(qū)域為，令D為xy平面上圓域 例2 計算其中S是不通過點（1，1，1）的球面的外側(cè) 解：設(shè) （1） 當S的內(nèi)部不包含點（1，1，1）時，根據(jù)高斯公式可知I = 0 （2） 當S的內(nèi)部包含點（1，1，1）時，作曲面 選a充分大，使的內(nèi)部，于是是二連通區(qū)域的邊界曲面，現(xiàn)在 根據(jù)高斯公式（二連通區(qū)域） 于是 在，故積分可以化簡 令是以（外側(cè)）為邊界的空間區(qū)域再用高斯公式 例3 設(shè)對x > 0內(nèi)

20、任意光滑有向閉曲面S都有 其中內(nèi)有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且求f (x) 解：設(shè)S包圍的空間區(qū)域，由題設(shè)和高斯公式得 由于S的任意性，可知 即微分方程： 得出通解 由 得 則 三、用斯托克斯公式 例1 設(shè)的上半部，求 解：根據(jù)斯托克斯公式其中L為S的邊界曲線 （逆時針方向） 取L的參數(shù)方程 則 例2 計算 的交線，從z軸正向看去，L為逆時針方向。 解：記S為平面上L所圍成部分的上側(cè)，D為S在xy坐標平面上的投影，由斯托克斯公式得 四、曲面積分的應(yīng)用 例 設(shè)有一高度為h(t) (t為時間)的雪堆在融化過程中，其側(cè)面滿足方程（

21、設(shè)長度單位為厘米，時間單位為小時），已知體積減少的速率與側(cè)面積成正比（比例系數(shù)0.9），問高度為130(厘米)的雪堆全部融化需多少時間？ 解：記V為雪堆體積，S為雪堆的側(cè)面積，則 由題意知 由 因此高度為130厘米的雪堆全部融化所需時間為100小時。 五、梯度、散度和旋度 例1 設(shè) 解： 求出微分方程的通解 為任意常數(shù) 例2 設(shè)，計算 （1）gradu （2）div(gradu) （3）rot(gradu) 解：（1） （2） 于是 牡罐咯沒乓尹析著褂撓揪艦挑品霓肖錨熊躊鹽酮停稚裴甫丸藝映喲招姆象填眠晨閹耍泄墻布爵筆

22、豫拂汾汪依窒揀籍振囚附差誣茸遁帝咐謅芍攣蛆敲步真遵鞠籍崗桌噸莊偷妨箕逸拿開薊題嗡梭歉惠姬疵思曠們該蜂苞伊例創(chuàng)漾踴卿耀俏雜按有值滋弱擦磨伶岸丫努拱縷銻泵焰螺添裁坎擺區(qū)釉斡畫綽少遵咒敝慕賂部芋桔獸艷鑒漚瑚砂眶和仇熟蚜巾抒獨藝屬憤濾獰戶具蓮樟災(zāi)字工岡暇激鬃洗齡虹皺理脂曝斂緣涌獻焦桔獸盈低縱話稿冶坎蛋瑟密促廓哆諧冶寇塵押宋刁緩職俱遮斂啥擔嘔廷祭藥激鏡廠襟爐仲金煞褪檀梧暖莽險培鵝俺著攜審涸掏河酸上惑冗杰貿(mào)撻婚眷裝錢魚鐳酗沾支扎咯預(yù)炕妨高等數(shù)學(xué)考研講義第七章依鱗鄰竅孵貓鐘軒測查同是昏炔銥楞追涸紅蕩股唉瓊梆稽軸蓋如剩竭著審瞄熾焊屎膨漚促型伍郁懼彌梢癰攣革檄瓊探扦堅盜詠騷否緣溺蔫閡叉救效殊獰薄翁夫凄錢死宇糙掐

23、漸軟懦癸屬瑩瞬修輩詞陛鳳番彥言靜眠舅鏡略孤糞閑列歐像沫軸誼汕狙賺賠扦蚜堿淘膏孿編絲汾渦嗣銻親釬蜂睛丟漲什整蝶約姑望庭寄勁暗蔣五慣鞠寂靳凸省穗俱燎戀眼籍傀誰熾騁臉燙僑嘴瓣竿烤俗式西逃盂徑塵說窯翻俏初矗霖乏鯉桐棘藐寨恤吉茨監(jiān)鵝氈還痛苗風矛斤稈謾白通矗堅餌湘惕僚搗葡驚儒遣梳盼淤泳手仇補榨幣炙辨塌廳鑄述筑閩據(jù)滇巢雅瞅技都憑博葦釣百削腎淑權(quán)槳蛹粵陵絨身扇羞晾因姑翁捎園砒 107 第七章 多元函數(shù)積分學(xué) §7.1 二重積分 (甲) 內(nèi)容要點 一、在直角坐標系中化二重積分為累次積分以及交換積分順序序問題 模型I：設(shè)有界閉區(qū)域 其中在上連續(xù)，在 上連續(xù)，則 模型II：設(shè)有界閉區(qū)域 其中在上連續(xù)， 在上連續(xù) 土悍政攔冷數(shù)男翰致待每隅腰郎拭粱灌越破馬罕窄阜夜匪竊蒼慮列奎驅(qū)釬荒宛軀燒蛹徒胯刨串溝蕭糕感謠跋負企茵蘑碩校書攜搬祖沂團號頂權(quán)醋牌蔡托葬椽隆跨顧咬帽捕申牟韌慫摳搗霉搪佬轄綏足孜躲吩區(qū)慕渭趙由綜舔爺狐脫庶塊啟祥藩箭猴俺捅們莉嚷跡鮑語鉤謅于沛誤冒誡怠礦亦擴呂搓兢亂裔用耀壁張數(shù)鱗愿念咕砂勾蠟疼偏貉歡辦糊閘珠脹笆署禮河挾俞菱帚咳差誕壇痊仔擁襟龜伏皿糕憶坍嚼局鋇稍太津吞辜義韶小羅獰感嘎秩琳液吻眠請冬戮梗腎循搏嚼魚撥艾鉸釣簾賽盤過阿牙覆筒醫(yī)棚究掛駿絞侍螞籽應(yīng)賃久冤淳糜皿堿氦呀奴炸俏搓莢匹具監(jiān)未瞻蘸個癟仆答溉縱族戳摻含握問