《高三數(shù)學(xué)北師大版文一輪教師用書：第9章 第6節(jié)　拋物線 Word版含解析》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高三數(shù)學(xué)北師大版文一輪教師用書：第9章 第6節(jié)　拋物線 Word版含解析（15頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第六節(jié)拋物線最新考綱1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率).2.理解數(shù)形結(jié)合思想.3.了解拋物線的實(shí)際背景及拋物線的簡單應(yīng)用(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第158頁)1拋物線的概念平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y22px (p0)y22px(p0)x22py (p0)x22py (p0)p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離圖形頂點(diǎn)坐標(biāo)O(0,0)對(duì)稱軸x軸y軸焦點(diǎn)坐標(biāo)FFFF離心率e1準(zhǔn)線方程xxyy范圍x0，yRx0，yRy0，xRy0，

2、xR開口方向向右向左向上向下焦半徑P(x0，y0)|PF|x0|PF|x0|PF|y0|PF|y0與拋物線焦點(diǎn)弦有關(guān)的幾個(gè)常用結(jié)論設(shè)AB是過拋物線y22px(p0)焦點(diǎn)F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，為弦AB的傾斜角則(1)x1x2，y1y2p2.(2)弦長|AB|x1x2p.(3)以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切(4)通徑：過焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱軸的弦，長等于2p，通徑是過焦點(diǎn)最短的弦一、思考辨析(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡一定是拋物線()(2)拋物線y24x的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是4.()(3)拋物線既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖

3、形()(4)方程yax2(a0)表示的曲線是焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，且其焦點(diǎn)坐標(biāo)是，準(zhǔn)線方程是x.()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改編1拋物線yx2的準(zhǔn)線方程是()Ay1By2Cx1Dx2Ayx2，x24y，準(zhǔn)線方程為y1.2若拋物線y4x2上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是()A.B.C.D0BM到準(zhǔn)線的距離等于M到焦點(diǎn)的距離，又準(zhǔn)線方程為y，設(shè)M(x，y)，則y1，y.3過拋物線y24x的焦點(diǎn)的直線l交拋物線于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點(diǎn)，如果x1x26，則|PQ|等于()A9B8 C7D6B拋物線y24x的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x1.根據(jù)題意可得，|PQ

4、|PF|QF|x11x21x1x228.4已知拋物線的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，并且經(jīng)過點(diǎn)P(2，4)，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_y28x或x2y設(shè)拋物線方程為y22px(p0)或x22py(p0)將P(2，4)代入，分別得方程為y28x或x2y.(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第159頁)考點(diǎn)1拋物線的定義及應(yīng)用與拋物線有關(guān)的最值問題的解題策略(1)將拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，構(gòu)造出“兩點(diǎn)之間線段最短”，使問題得解；(2)將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，利用“與直線上所有點(diǎn)的連線中，垂線段最短”解決(1)(2019長春模擬)已知拋物線y24x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)

5、為K，拋物線上一點(diǎn)P.若|PF|5，則PFK的面積為()A4B5C8D10(2)(2019福州模擬)已知拋物線y24x的焦點(diǎn)F，點(diǎn)A(4，3)，P為拋物線上一點(diǎn)，且點(diǎn)P不在直線AF上，則當(dāng)PAF周長取最小值時(shí)，線段PF的長為()A1B. C5D.(1)A(2)B(1)由拋物線的方程y24x，可得F(1,0)，K(1,0)，準(zhǔn)線方程為x1.設(shè)P(x0，y0)，則|PF|x015，即x04，不妨設(shè)P(x0，y0)在第一象限，則P(4，4)，所以SPKF|FK|y0|244.故選A.(2)如圖，求PAF周長的最小值，即求|PA|PF|的最小值設(shè)點(diǎn)P在準(zhǔn)線上的投影為D，根據(jù)拋物線的定義，可知|PF|P

6、D|，因此|PA|PF|的最小值，即|PA|PD|的最小值，可得當(dāng)D，P，A三點(diǎn)共線時(shí)，|PA|PD|最小，此時(shí)P，F(xiàn)(1,0)，線段PF的長為1.故選B.拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和到準(zhǔn)線的距離相互轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵1.(2019臨川模擬)若拋物線y22px(p0)上的點(diǎn)A(x0，)到其焦點(diǎn)的距離是A到y(tǒng)軸距離的3倍，則p等于()A.B1 C.D2D由拋物線y22px知其準(zhǔn)線方程為x.又點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)A到焦點(diǎn)的距離，3x0x0，x0，A.點(diǎn)A在拋物線y22px上，2.p0，p2.故選D.2動(dòng)圓過點(diǎn)(1,0)，且與直線x1相切，則動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為_. y24x設(shè)動(dòng)圓的圓心坐標(biāo)為(x，

7、y)，則圓心到點(diǎn)(1,0)的距離與到直線x1的距離相等，根據(jù)拋物線的定義易知?jiǎng)訄A的圓心的軌跡方程為y24x.3已知拋物線方程為y24x，直線l的方程為xy50，在拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d1，到直線l的距離為d2，則d1d2的最小值為_31由題意知，拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0) 點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離d1|PF|1，所以d1d2d2|PF|1.易知d2|PF|的最小值為點(diǎn)F到直線l的距離，故d2|PF|的最小值為3，所以d1d2的最小值為31.考點(diǎn)2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)1求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的主要方法是定義法和待定系數(shù)法若題目已給出拋物線的方程(含有未知數(shù)p)，那么只

8、需求出p即可；若題目未給出拋物線的方程，對(duì)于焦點(diǎn)在x軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可統(tǒng)一設(shè)為y2ax(a0)，a的正負(fù)由題設(shè)來定；焦點(diǎn)在y軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為x2ay(a0)，這樣就減少了不必要的討論2拋物線性質(zhì)的應(yīng)用技巧(1)利用拋物線方程確定其焦點(diǎn)、準(zhǔn)線時(shí)，關(guān)鍵是將拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程(2)要結(jié)合圖形分析，靈活運(yùn)用平面圖形的性質(zhì)簡化運(yùn)算(1)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且過點(diǎn)P(4，2)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()Ay2xBx28yCy28x或x2yDy2x或x28y(2)(2018北京高考)已知直線l過點(diǎn)(1,0)且垂直于x軸，若l被拋物線y24ax截得的線段長為4，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_

9、(1)D(2)(1,0)(1)(待定系數(shù)法)設(shè)拋物線為y2mx，代入點(diǎn)P(4，2)，解得m1，則拋物線方程為y2x；設(shè)拋物線為x2ny，代入點(diǎn)P(4，2)，解得n8，則拋物線方程為x28y.(2)由題知直線l的方程為x1，則直線與拋物線的交點(diǎn)為(1，2)(a0)又直線被拋物線截得的線段長為4，所以44，即a1.所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)若拋物線的焦點(diǎn)位置不確定，應(yīng)分焦點(diǎn)在x軸和y軸兩種情況求解，如本例(1)教師備選例題1點(diǎn)M(5,3)到拋物線yax2的準(zhǔn)線的距離為6，那么拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()Ax2yBx2y或x2yCx2yDx212y或x236yD將yax2化為x2y.當(dāng)a0時(shí)，準(zhǔn)線y

10、，則36，a.當(dāng)a0，即m1時(shí)，x1,222.從而|AB|x1x2|4.由題設(shè)知|AB|2|MN|，即42(m1)，解得m7.所以直線AB的方程為yx7.(1)對(duì)于拋物線x2ay(a0)，直線與拋物線相切問題多用到導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識(shí)(2)本例第(2)問中，找出隱含條件|AB|2|MN|是解題的關(guān)鍵拋物線的焦點(diǎn)弦問題解決拋物線的弦及弦中點(diǎn)問題的常用方法(1)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不過焦點(diǎn)，則必須用一般弦長公式(2)涉及拋物線的弦長、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問題時(shí)，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整體代入”等解法提

11、醒：涉及弦的中點(diǎn)、斜率時(shí)一般用“點(diǎn)差法”求解(2018全國卷)設(shè)拋物線C：y24x的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為k(k0)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求過點(diǎn)A，B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程解(1)由題意得F(1,0)，l的方程為yk(x1)(k0)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)由得k2x2(2k24)xk20.16k2160，故x1x2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21).由題設(shè)知8，解得k1或k1(舍去)因此l的方程為yx1.(2)由(1)得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2)，所以AB的垂直平分線方程為y2(x3)，即yx5.設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x0，

12、y0)，則解得或因此所求圓的方程為(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144.(1)本例第(1)問中，x1x2是建立等式的紐帶(2)本例第(2)問中，設(shè)出圓心坐標(biāo)(x0，y0)，構(gòu)造關(guān)于x0，y0的方程組是關(guān)鍵1.(2019開封模擬)已知直線ykxt與圓x2(y1)21相切且與拋物線C：x24y交于不同的兩點(diǎn)M，N，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是()A(，3)(0，)B(，2)(0，)C(3,0)D(2,0)A由直線與圓相切得，1，即k2t22t，由得x24kx4t0.由題意知16k216t0.即t23t0，解得t0或t3.故選A.2(2018全國卷)設(shè)拋物線C：y24x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)(2

13、,0)且斜率為的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，則()A5B6 C7D8D法一：過點(diǎn)(2,0)且斜率為的直線的方程為y(x2)，由得x25x40，解得x1或x4，所以或不妨設(shè)M(1,2)，N(4,4)，易知F(1,0)，所以(0,2)，(3,4)，所以8.故選D.法二：過點(diǎn)(2,0)且斜率為的直線的方程為y(x2)，由得x25x40，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則y10，y20，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得x1x25，x1x24.易知F(1,0)，所以(x11，y1)，(x21，y2)，所以(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1445188.故選D.3已知拋物線y216x的焦點(diǎn)為F，過

14、F作一條直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若|AF|6，則|BF|_.12不妨設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)(A在B上方)，根據(jù)焦半徑公式|AF|x1x146，所以x12，y14，所以直線AB的斜率為k2，所以直線方程為y2(x4)，與拋物線方程聯(lián)立得x210x160，即(x2)(x8)0，所以x28，故|BF|8412.課外素養(yǎng)提升數(shù)學(xué)運(yùn)算“設(shè)而不求”在解析幾何中的妙用(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第160頁)1數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的過程，解析幾何正是利用數(shù)學(xué)運(yùn)算解決幾何問題的一門科學(xué)2“設(shè)而不求”是簡化運(yùn)算的一種重要手段，它的精彩在于設(shè)而不求，化繁為簡解題過程中，巧妙

15、設(shè)點(diǎn)，避免解方程組，常見類型有：(1)靈活應(yīng)用“點(diǎn)、線的幾何性質(zhì)”解題；(2)根據(jù)題意，整體消參或整體代入等.巧妙運(yùn)用拋物線定義得出與根與系數(shù)關(guān)系的聯(lián)系，從而設(shè)而不求【例1】(2019泰安模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線1(a0，b0)的右支與焦點(diǎn)為F的拋物線x22py(p0)交于A，B兩點(diǎn)，若|AF|BF|4|OF|，則該雙曲線的漸近線方程為_yx設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，由拋物線定義可得|AF|BF|yAyB4yAyBp，由可得a2y22pb2ya2b20，所以yAyBp，解得ab，故該雙曲線的漸近線方程為yx.評(píng)析根據(jù)拋物線的定義把|AF|BF|用A，B點(diǎn)的縱坐標(biāo)表示，

16、再把雙曲線方程和拋物線方程聯(lián)立得到A，B點(diǎn)縱坐標(biāo)和的關(guān)系，然后進(jìn)一步求解即可【素養(yǎng)提升練習(xí)】1(2019懷化模擬)過拋物線y24x的焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦AB，CD，則四邊形ACBD面積的最小值為()A8B16C32D64C焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)，所以可設(shè)直線AB的方程為yk(x1)，代入y24x并整理得k2x2(2k24)xk20，所以x1x22，|AB|x1x224.同理可得|CD|44k2.所以四邊形ACBD的面積S|AB|CD|4(k21)8832，當(dāng)且僅當(dāng)k1時(shí)取等號(hào)故選C.中點(diǎn)弦或?qū)ΨQ問題，可以利用“點(diǎn)差法”， “點(diǎn)差法”實(shí)質(zhì)上是“設(shè)而不求”的一種方法【例2】(1)ABC的三個(gè)頂

17、點(diǎn)都在拋物線E：y22x上，其中A(2,2)，ABC的重心G是拋物線E的焦點(diǎn)，則BC所在直線的方程為_(2)拋物線E：y22x上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線yk(x2)對(duì)稱，則k的取值范圍是_(1)xy0(2)(，)(1)設(shè)B(x1，y1)，C(x2，y2)，邊BC的中點(diǎn)為M(x0，y0)，易知G，則從而即M，又y2x1，y2x2，兩式相減得(y1y2)(y1y2)2(x1x2)，則直線BC的斜率kBC1，故直線BC的方程為y(1)，即4x4y50.(2)當(dāng)k0時(shí)，顯然成立當(dāng)k0時(shí)，設(shè)兩對(duì)稱點(diǎn)為B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC的中點(diǎn)為M(x0，y0)，由y2x1，y2x2，兩式相減得(y1y2)(

18、y1y2)2(x1x2)，則直線BC的斜率kBC，由對(duì)稱性知kBC，點(diǎn)M在直線yk(x2)上，所以y0k，y0k(x02)，所以x01.由點(diǎn)M在拋物線內(nèi)，得y2x0，即(k)22，所以k，且k0.綜上，k的取值范圍為(，)評(píng)析(1)先求BC的中點(diǎn)坐標(biāo)，再用點(diǎn)差法求解(2)分k0和k0兩種情況求解，當(dāng)k0時(shí)，顯然成立，當(dāng)k0時(shí)，用點(diǎn)差法求解【素養(yǎng)提升練習(xí)】2中心為(0,0)，一個(gè)焦點(diǎn)為F(0,5)的橢圓，截直線y3x2所得弦中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則該橢圓的方程是()A.1B.1C.1D.1C由題意知c5，設(shè)橢圓方程為1，聯(lián)立方程消去y，整理得(10a2450)x212(a250)x(4a2)(a250

19、)0，由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x21，解得a275，所以橢圓方程為1.求解直線與圓錐曲線的相關(guān)問題時(shí)，若兩條直線互相垂直或兩直線斜率有明確等量關(guān)系，可用“替代法”，“替代法”的實(shí)質(zhì)是設(shè)而不求【例3】已知F為拋物線C：y22x的焦點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D，E兩點(diǎn)，則|AB|DE|的最小值為_8由題意知，直線l1，l2的斜率都存在且不為0，F(xiàn)，不妨設(shè)l1的斜率為k，則l1：yk，l2：y.由消去y得k2x2(k22)x0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x21.由拋物線的定義知，|AB|x1x21112.同理可得，用替換|AB

20、|中k，可得|DE|22k2，所以|AB|DE|222k242k2448，當(dāng)且僅當(dāng)2k2，即k1時(shí)等號(hào)成立，故|AB|DE|的最小值為8.評(píng)析設(shè)出直線l1的方程，則直線l2的方程也已知，先求|AB|，根據(jù)兩直線的關(guān)系求|DE|，最后求|AB|DE|的最小值3(2019銀川模擬)橢圓1(ab0)的焦點(diǎn)分別為F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)，直線l：xa2交x軸于點(diǎn)A，且2.(1)試求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別作互相垂直的兩條直線與橢圓分別交于D，E，M，N四點(diǎn)(如圖所示)，試求四邊形DMEN面積的最大值和最小值解(1)由題意知，|F1F2|2c2，A(a2,0)，2，F(xiàn)2為線段AF1的中點(diǎn)，則a23，b22，則橢圓方程為1.(2)當(dāng)直線DE與x軸垂直時(shí)，|DE|，此時(shí)|MN|2a2，四邊形DMEN的面積S4.同理當(dāng)MN與x軸垂直時(shí)，也有四邊形DMEN的面積S4.當(dāng)直線DE，MN與x軸均不垂直時(shí)，設(shè)直線DE：yk(x1)(k0)，D(x1，y1)，E(x2，y2)，代入橢圓方程，消去y可得(23k2)x26k2x3k260，則x1x2，x1x2，|x1x2|，|DE|x1x2|.同理|MN|，四邊形DMEN的面積S，令uk2，則S4.uk22，當(dāng)k1時(shí)，u2，S，且S是以u(píng)為自變量的增函數(shù)，則S4.綜上可知，S4，故四邊形DMEN面積的最大值為4，最小值為.