2018高考數(shù)學(xué)(理)復(fù)習(xí)-2013-2017高考分類匯編-第9章 直線與圓的方程
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1、 第九章 直線與圓的方程第1節(jié) 直線的方程與兩條直線的位置關(guān)系1(2017浙江11)我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立的“割圓術(shù)”可以估算圓周率,理論上能把的值計(jì)算到任意精度.祖沖之繼承并發(fā)展了“割圓術(shù)”,將的值精確到小數(shù)點(diǎn)后七位,其結(jié)果領(lǐng)先世界一千多年,“割圓術(shù)”的第一步是計(jì)算單位圓內(nèi)接正六邊形的面積, .1.解析 正六邊形的面積為6個(gè)正三角形的面積和,所以.題型102 傾斜角與斜率的計(jì)算暫無(wú)1.(2013江西理9)過(guò)點(diǎn)引直線與曲線相交于,兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),當(dāng)?shù)拿娣e取最大值時(shí),直線的斜率等于( ). A B C D2(2015山東理9)一條光線從點(diǎn)射出,經(jīng)軸反射后與圓相切,則反射光線所在直線的斜率為(
2、).A或B或C或D或2.解析 由光的反射原理知,反射光線的反向延長(zhǎng)線必過(guò)點(diǎn)設(shè)反射光線所在直線的斜率為,則反射光線所在直線的方程為,即由題意,圓心到此直線的距離等于圓的半徑1,即,所以,解得或故選D題型103 直線的方程暫無(wú)1.(2013山東理9)過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線,切點(diǎn)分別為,則直線的方程為( ).A. B. C. D. 2.(2013江蘇17)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn),直線.設(shè)圓的半徑為,圓心在上.(1)若圓心也在直線上,過(guò)點(diǎn)作圓的切線,求切線的方程; (2)若圓上存在點(diǎn),使,求圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍. 3(2015廣東理5)平行于直線且與圓相切的直線的方程是( ).A或 B或C或 D或
3、3.解析 設(shè)所求切線方程為,依題意有,解得,所以所求切線的方程為或故選A題型104 兩直線位置關(guān)系的判定暫無(wú)1(2015廣東理5)平行于直線且與圓相切的直線的方程是( ).A或 B或C或 D或1.解析 設(shè)所求切線方程為,依題意有,解得,所以所求切線的方程為或故選A題型105 有關(guān)距離的計(jì)算1.(2014 重慶理 13)已知直線與圓心為的圓相交于兩點(diǎn),且為等邊三角形,則實(shí)數(shù)_.2.(2014 新課標(biāo)2理16)設(shè)點(diǎn),若在圓:上存在點(diǎn),使得,則的取值范圍是 .3.(2014 新課標(biāo)1理 6)如圖,圓的半徑為,是圓上的定點(diǎn),是圓上的動(dòng)點(diǎn),角的始邊為射線,終邊為射線,過(guò)點(diǎn)作直線的垂線,垂足為,將點(diǎn)到直線
4、的距離表示成的函數(shù),則在上的圖像大致為( ).1A.1B.1C.Error! Reference source not found.1D.4.(2014 福建理 6)直線與圓相交于兩點(diǎn),則是“的面積為”的( ). A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件C. 充分必要條件 D. 既不充分又不必要條件5(2015廣東理5)平行于直線且與圓相切的直線的方程是( ).A或 B或C或 D或5.解析 設(shè)所求切線方程為,依題意有,解得,所以所求切線的方程為或故選A6(2015江蘇理10)在平面直角坐標(biāo)系中,以點(diǎn)為圓心且與直線相切的所有圓中,半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 6.解析 解法一(幾何意義):動(dòng)直
5、線整理得,則經(jīng)過(guò)定點(diǎn),故滿足題意的圓與切于時(shí),半徑最大,從而,故標(biāo)準(zhǔn)方程為解法二(代數(shù)法基本不等式):由題意,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取“”故標(biāo)準(zhǔn)方程為解法三(代數(shù)法判別式):由題意,設(shè),則,因?yàn)椋?,解得,即的最大值?(2015湖北理14)如圖,圓與軸相切于點(diǎn),與軸正半軸交于兩點(diǎn)(B在A的上方),且(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ;(2)過(guò)點(diǎn)任作一條直線與圓相交于兩點(diǎn),下列三個(gè)結(jié)論:; ; 其中正確結(jié)論的序號(hào)是 . (寫出所有正確結(jié)論的序號(hào))7.解析(1)由條件可設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(為半徑),因?yàn)?,所以,故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)在中令得,因?yàn)樵趫A上,所以由三角函數(shù)的定義可設(shè)從而.同理,故,8(2015全國(guó)II理
6、7)過(guò)三點(diǎn),的圓交于軸于兩點(diǎn),則( )A.2 B. C. 4 D. 8. 解析 由題意得,所以,所以,即為直角三角形,則外接圓的圓心為的中點(diǎn),半徑為,所以外接圓方程為,令,則有,所以,故選C9(2015廣東理20)已知過(guò)原點(diǎn)的動(dòng)直線與圓相交于不同的兩點(diǎn),.(1) 求圓的圓心坐標(biāo);(2) 求線段的中點(diǎn)的軌跡的方程;(3) 是否存在實(shí)數(shù),使得直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)?若存在,求出的取值范圍;若不存在,說(shuō)明理由.9. 解析 (1)由得,所以圓的圓心坐標(biāo)為;(2)設(shè)因?yàn)辄c(diǎn)為弦中點(diǎn),即,所以,即,所以線段的中點(diǎn)的軌跡的方程為;(3)由(2)知點(diǎn)的軌跡是以為圓心,為半徑的部分圓?。ú话▋啥它c(diǎn)),且,又直線
7、過(guò)定點(diǎn),當(dāng)直線與圓相切時(shí),由得又,所以當(dāng)時(shí),直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)10(2015四川理10)設(shè)直線與拋物線相交于兩點(diǎn),與圓:相切于點(diǎn),且為線段中點(diǎn),若這樣的直線恰有條,則的取值范圍是( ).A. B. C. D. 10. 解析 設(shè)直線的方程為,代入拋物線方程得,則.又中點(diǎn),則,即.代入,可得,即.又由圓心到直線的距離等于半徑,可得.由,可得.故選D.11.(2015重慶理8)已知直線是圓的對(duì)稱軸.過(guò)點(diǎn)作圓的一條切線,切點(diǎn)為,則( ).A. 2 B. C.6 D.11. 解析 易知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,圓心為. 又因?yàn)橹本€是圓的對(duì)稱軸,則該直線一定經(jīng)過(guò)圓心,得知,又因?yàn)橹本€與圓相切,則為直角三角形,12
8、.(2016全國(guó)甲理4)圓的圓心到直線的距離為1,則( ).A. B. C. D.212.A 解析 將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為:,故圓心為,所以,解得.故選A13.(2016上海理3),則,的距離為 13. 解析 由題意故填14.(2016全國(guó)丙理16)已知直線與圓交于,兩點(diǎn),過(guò),分別做的垂線與軸交于,兩點(diǎn),若,則_.14.4 解析 解法一:根據(jù)直線與圓相交弦長(zhǎng)公式有,得,又,得.因此圓心到直線:的距離,解得因此直線的方程為.所以直線的傾斜角為.如圖所示,過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),則.解法二:直線:,知直線過(guò)定點(diǎn),又,所以為等邊三角形,因?yàn)?,所以,又?所以點(diǎn)在軸上(直線的斜率存在).所以得直線的傾斜角為,則.第2
9、節(jié) 圓的方程題型106 求圓的方程暫無(wú)1.(2014 陜西理 12)若圓的半徑為1,其圓心與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱,則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi).2(2015江蘇理10)在平面直角坐標(biāo)系中,以點(diǎn)為圓心且與直線相切的所有圓中,半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 2.解析 解法一(幾何意義):動(dòng)直線整理得,則經(jīng)過(guò)定點(diǎn),故滿足題意的圓與切于時(shí),半徑最大,從而,故標(biāo)準(zhǔn)方程為解法二(代數(shù)法基本不等式):由題意,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取“”故標(biāo)準(zhǔn)方程為解法三(代數(shù)法判別式):由題意,設(shè),則,因?yàn)?,所以,解得,即的最大值?(2015湖北理14)如圖,圓與軸相切于點(diǎn),與軸正半軸交于兩點(diǎn)(B在A的上方),且(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ;(2)過(guò)點(diǎn)任作一
10、條直線與圓相交于兩點(diǎn),下列三個(gè)結(jié)論:; ; 其中正確結(jié)論的序號(hào)是 . (寫出所有正確結(jié)論的序號(hào))3.解析(1)由條件可設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(為半徑),因?yàn)椋?,故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)在中令得,因?yàn)樵趫A上,所以由三角函數(shù)的定義可設(shè)從而.同理,故,4(2015全國(guó)II理7)過(guò)三點(diǎn),的圓交于軸于兩點(diǎn),則( )A.2 B. C. 4 D. 4. 解析 由題意得,所以,所以,即為直角三角形,則外接圓的圓心為的中點(diǎn),半徑為,所以外接圓方程為,令,則有,所以,故選C題型107 與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題暫無(wú)1(2015廣東理20)已知過(guò)原點(diǎn)的動(dòng)直線與圓相交于不同的兩點(diǎn),.(1)求圓的圓心坐標(biāo);(2)求線段的中點(diǎn)的軌
11、跡的方程;(3)是否存在實(shí)數(shù),使得直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)?若存在,求出的取值范圍;若不存在,說(shuō)明理由.1. 解析 (1)由得,所以圓的圓心坐標(biāo)為;(2)設(shè)因?yàn)辄c(diǎn)為弦中點(diǎn),即,所以,即,所以線段的中點(diǎn)的軌跡的方程為;(3)由(2)知點(diǎn)的軌跡是以為圓心,為半徑的部分圓?。ú话▋啥它c(diǎn)),且,又直線過(guò)定點(diǎn),當(dāng)直線與圓相切時(shí),由得又,所以當(dāng)時(shí),直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)題型115 與圓有關(guān)的最值或取值范圍問(wèn)題1(2015四川理10)設(shè)直線與拋物線相交于兩點(diǎn),與圓:相切于點(diǎn),且為線段中點(diǎn),若這樣的直線恰有條,則的取值范圍是( ).A. B. C. D. 1. 解析 設(shè)直線的方程為,代入拋物線方程得,則.又中
12、點(diǎn),則,即.代入,可得,即.又由圓心到直線的距離等于半徑,可得.由,可得.故選D.第3節(jié) 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系題型108 直線與圓的位置關(guān)系1.(2014 湖北理 12)直線和將單位圓分成長(zhǎng)度相等的四段弧,則_.2.(2014 江西理 9)在平面直角坐標(biāo)系中,分別是軸和軸上的動(dòng)點(diǎn),若以為直徑的圓與直線相切,則圓面積的最小值為( ).A. B. C. D.3.(2014 福建理 6)直線與圓相交于兩點(diǎn),則是“的面積為”的( ). A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件C. 充分必要條件 D. 既不充分又不必要條件4.(2014 大綱理 15)直線和是圓的兩條切線,若與的交點(diǎn)為,則與
13、的夾角的正切值等于 .5(2015山東理9)一條光線從點(diǎn)射出,經(jīng)軸反射后與圓相切,則反射光線所在直線的斜率為( ).A或B或C或D或5.解析 由光的反射原理知,反射光線的反向延長(zhǎng)線必過(guò)點(diǎn)設(shè)反射光線所在直線的斜率為,則反射光線所在直線的方程為,即由題意,圓心到此直線的距離等于圓的半徑1,即,所以,解得或故選D6(2015廣東理5)平行于直線且與圓相切的直線的方程是( ).A或 B或C或 D或6.解析 設(shè)所求切線方程為,依題意有,解得,所以所求切線的方程為或故選A7(2015江蘇理10)在平面直角坐標(biāo)系中,以點(diǎn)為圓心且與直線相切的所有圓中,半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 7.解析 解法一(幾何意義):動(dòng)
14、直線整理得,則經(jīng)過(guò)定點(diǎn),故滿足題意的圓與切于時(shí),半徑最大,從而,故標(biāo)準(zhǔn)方程為解法二(代數(shù)法基本不等式):由題意,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取“”故標(biāo)準(zhǔn)方程為解法三(代數(shù)法判別式):由題意,設(shè),則,因?yàn)?,所以,解得,即的最大值?(2015湖北理14)如圖,圓與軸相切于點(diǎn),與軸正半軸交于兩點(diǎn)(B在A的上方),且(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ;(2)過(guò)點(diǎn)任作一條直線與圓相交于兩點(diǎn),下列三個(gè)結(jié)論:; ; 其中正確結(jié)論的序號(hào)是 . (寫出所有正確結(jié)論的序號(hào))8.解析(1)由條件可設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(為半徑),因?yàn)?,所以,故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)在中令得,因?yàn)樵趫A上,所以由三角函數(shù)的定義可設(shè)從而.同理,故,9(2015全國(guó)II
15、理7)過(guò)三點(diǎn),的圓交于軸于兩點(diǎn),則( )A.2 B. C. 4 D. 9. 解析 由題意得,所以,所以,即為直角三角形,則外接圓的圓心為的中點(diǎn),半徑為,所以外接圓方程為,令,則有,所以,故選C10(2015廣東理20)已知過(guò)原點(diǎn)的動(dòng)直線與圓相交于不同的兩點(diǎn),.(1)求圓的圓心坐標(biāo);(2)求線段的中點(diǎn)的軌跡的方程;(3)是否存在實(shí)數(shù),使得直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)?若存在,求出的取值范圍;若不存在,說(shuō)明理由.10. 解析 (1)由得,所以圓的圓心坐標(biāo)為;(2)設(shè)因?yàn)辄c(diǎn)為弦中點(diǎn),即,所以,即,所以線段的中點(diǎn)的軌跡的方程為;(3)由(2)知點(diǎn)的軌跡是以為圓心,為半徑的部分圓?。ú话▋啥它c(diǎn)),且,又直線
16、過(guò)定點(diǎn),當(dāng)直線與圓相切時(shí),由得又,所以當(dāng)時(shí),直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)11(2015四川理10)設(shè)直線與拋物線相交于兩點(diǎn),與圓:相切于點(diǎn),且為線段中點(diǎn),若這樣的直線恰有條,則的取值范圍是( ).A. B. C. D. 11. 解析 設(shè)直線的方程為,代入拋物線方程得,則.又中點(diǎn),則,即.代入,可得,即.又由圓心到直線的距離等于半徑,可得.由,可得.故選D.12.(2015重慶理8)已知直線是圓的對(duì)稱軸.過(guò)點(diǎn)作圓的一條切線,切點(diǎn)為,則( ).A. 2 B. C.6 D.12. 解析 易知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,圓心為. 又因?yàn)橹本€是圓的對(duì)稱軸,則該直線一定經(jīng)過(guò)圓心,得知,又因?yàn)橹本€與圓相切,則為直角三角形,13
17、.(2016全國(guó)甲理4)圓的圓心到直線的距離為1,則( ).A. B. C. D.213.A 解析 將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為:,故圓心為,所以,解得.故選A題型109 直線與圓的相交關(guān)系及其應(yīng)用1.(2013江西理9)過(guò)點(diǎn)引直線與曲線相交于,兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),當(dāng)?shù)拿娣e取最大值時(shí),直線的斜率等于( ). A B C D2.(2014 重慶理 13)已知直線與圓心為的圓相交于兩點(diǎn),且為等邊三角形,則實(shí)數(shù)_.3.(2014 江蘇理 9)在平面直角坐標(biāo)系中,直線被圓截得的弦長(zhǎng)為 4.(2016北京理11)在極坐標(biāo)系中,直線圓交于兩點(diǎn), 則 _.4. 解析 解法一:在平面直角坐標(biāo)系中,題中的直線圓的方程分別是
18、,.可得兩點(diǎn)的坐標(biāo),即為方程組的解,用代入法可求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,所以由兩點(diǎn)的距離公式可求得.解法二:直線的直角坐標(biāo)方程為,圓的直角坐標(biāo)方程為.圓心在直線上,因此為圓的直徑,所以.5.(2016全國(guó)丙理14)在上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù),則事件”直線與圓相交”發(fā)生的概率為 .5. 解析 首先的取值空間的長(zhǎng)度為2,由直線與圓相交,所以,解得,所以得事件發(fā)生時(shí)的取值空間為,其長(zhǎng)度為,利用幾何概型可知,所求概率為. 6.(2016全國(guó)丙理16)已知直線與圓交于,兩點(diǎn),過(guò),分別做的垂線與軸交于,兩點(diǎn),若,則_.6.4 解析 解法一:根據(jù)直線與圓相交弦長(zhǎng)公式有得,又,得.因此圓心到直線:的距離,解得因此直線的方
19、程為.所以直線的傾斜角為.如圖所示,過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),則.解法二:直線:,知直線過(guò)定點(diǎn),又,所以為等邊三角形,因?yàn)?,所?又知,所以點(diǎn)在軸上(直線的斜率存在).所以得直線的傾斜角為,則.題型110 直線與圓相切、相離關(guān)系及其應(yīng)用暫無(wú)1. (2013山東理9)過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線,切點(diǎn)分別為,則直線的方程為( ).A. B. C. D. 2.(2013江蘇17)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn),直線.設(shè)圓的半徑為,圓心在上.(1)若圓心也在直線上,過(guò)點(diǎn)作圓的切線,求切線的方程; (2)若圓上存在點(diǎn),使,求圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍. 3.(2014 江西理 9)在平面直角坐標(biāo)系中,分別是軸和軸上的動(dòng)點(diǎn),若以為直
20、徑的圓與直線相切,則圓面積的最小值為( ).A. B. C. D.4.(2014 大綱理 15)直線和是圓的兩條切線,若與的交點(diǎn)為,則與的夾角的正切值等于 .題型111 直線與圓的綜合1.(2014 新課標(biāo)2理16)設(shè)點(diǎn),若在圓:上存在點(diǎn),使得,則的取值范圍是 .2.(2014 湖北理 12)直線和將單位圓分成長(zhǎng)度相等的四段弧,則_.3(2016江蘇18)如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,已知以為圓心的圓及其上一點(diǎn).(1)設(shè)圓與軸相切,與圓外切,且圓心在直線上,求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)平行于的直線與圓相交于兩點(diǎn),且,求直線的方程;(3)設(shè)點(diǎn)滿足:存在圓上的兩點(diǎn)和,使得,求實(shí)數(shù)的取值范圍3.解析 (
21、1)因?yàn)樵谥本€上,設(shè),因?yàn)榕c軸相切,則圓為,.又圓與圓外切,圓,則,解得,即圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)由題意得,設(shè),則圓心到直線的距離,則,解得或,即或.(3)解法一:不妨設(shè),又因?yàn)?,由,所以,因?yàn)辄c(diǎn)在圓上,因此滿足,故有,又點(diǎn)在圓上,故點(diǎn)既在圓上,也在圓上,所以只需兩圓有公共點(diǎn)即可,所以,解得所以實(shí)數(shù)的取值范圍為評(píng)注 對(duì)于第(3)問(wèn),嘗試將向量進(jìn)行組合運(yùn)算可以得到解法二:,即.則有必要條件.因?yàn)椋?,即,解?下論證充分性,即存在兩點(diǎn)可使.對(duì)于任意,欲使,此時(shí),只需要作直線的平行線,使圓心到直線的距離為,必然與圓交于兩點(diǎn),此時(shí),且有,因此對(duì)于任意,均滿足題意,綜上實(shí)數(shù)的取值范圍為.4.(2017
22、江蘇13)在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn),點(diǎn)在圓上若,則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是 4.解析 不妨設(shè),則,且易知因?yàn)?,故所以點(diǎn)在圓上,且在直線的左上方(含直線).聯(lián)立,得,如圖所示,結(jié)合圖形知故填評(píng)注 也可以理解為點(diǎn)在圓的內(nèi)部來(lái)解決,與解析中的方法一致5(2107全國(guó)3卷理科20)已知拋物線,過(guò)點(diǎn)的直線交與,兩點(diǎn),圓是以線段為直徑的圓(1)求證:坐標(biāo)原點(diǎn)在圓上;(2)設(shè)圓過(guò)點(diǎn),求直線與圓的方程5解析 (1)顯然當(dāng)直線斜率為時(shí),直線與拋物線交于一點(diǎn),不符合題意設(shè),聯(lián)立,得,恒大于,所以,即點(diǎn)在圓上(2)若圓過(guò)點(diǎn),則,即,即,即,化簡(jiǎn)得,解得或.當(dāng)時(shí),設(shè)圓心為,則,半徑,則圓.當(dāng)時(shí),設(shè)圓心為,半徑,則圓.題型112 圓與圓的位置關(guān)系及其應(yīng)用暫無(wú)1. (2013重慶理7)已知圓,圓,分別是圓上的動(dòng)點(diǎn),為軸上的動(dòng)點(diǎn),則的最小值為( ).A. B. C. D.
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