《2013-2017高考數(shù)學(xué)分類匯編-文科 第三章導(dǎo)數(shù) 第2節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(1)》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2013-2017高考數(shù)學(xué)分類匯編-文科 第三章導(dǎo)數(shù) 第2節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(1)(18頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第三章 導(dǎo)數(shù)第2節(jié) 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用題型36 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性1.(2013湖北文21) 設(shè),已知函數(shù)(1) 當(dāng)時,討論函數(shù)的單調(diào)性;(2) 當(dāng)時,稱為,關(guān)于的加權(quán)平均數(shù)(i)判斷,是否成等比數(shù)列,并證明; (ii),的幾何平均數(shù)記為稱為,的調(diào)和平均數(shù),記為. 若,求的取值范圍1. 分析 (1)利用導(dǎo)數(shù)通過分類討論求解;(2)用等比中項證明成 等比數(shù)列;通過函數(shù)的單調(diào)性求解.解析 (1)定義域為,.當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞增;當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞減.(2)計算得,故 所以成等比數(shù)列.因為,即.由得.由知,故,得 當(dāng)時,.這時,的取值范圍為;當(dāng),時,從而,由在上單調(diào)遞增與式,得,即的取值范圍為;當(dāng)
2、時,從而,由在上單調(diào)遞減與式,得,即的取值范圍為.2.(2013廣東文21)設(shè)函數(shù)(1) 當(dāng),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2) 當(dāng),求函數(shù)在上的最小值和最小值2.分析 (1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,就是求不等式和的解集.(2)函數(shù)是一個三次函數(shù),其導(dǎo)數(shù)為二次函數(shù),因為不確定,故需要討論判別式的符號,在時,通過表格列出函數(shù)在閉區(qū)間上的變化情況,比較區(qū)間商戰(zhàn)的函數(shù)值和極值的大小確定最值. 解析 (1)當(dāng)時,因為,所以恒成立,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,函數(shù)沒有單調(diào)遞減區(qū)間.(2)當(dāng)時,.當(dāng)時,所以恒成立,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,故.當(dāng)時,由可求得方程的兩個根為,因為(可以利用一元二次方程根與系數(shù)
3、的關(guān)系進(jìn)行判斷:,從而),所以由可得,由可得,所以,隨的變化情況如下表:極大值極小值所以.因為,所以,所以.又因為,(其中)所以,所以.綜上所述,.3.(2013山東文21). 已知函數(shù) (1)設(shè),求的單調(diào)區(qū)間;(2)設(shè),且對任意,試比較與的大小3.分析 (1)求的單調(diào)區(qū)間,需要對求導(dǎo),當(dāng)時,是增函數(shù),當(dāng) 時,是減函數(shù),但是需要對參數(shù)和進(jìn)行討論.(2)的最小值為,當(dāng)有唯一極小值點時,極小值就是最小值,然后構(gòu)造函數(shù)求解.解析 (1)由,得.當(dāng)時,.a.若,當(dāng)時,恒成立,所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.b.若,當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞減,當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞增.所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是,單調(diào)遞增區(qū)間是.當(dāng)時,令,得
4、.由,得.顯然,.當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞減;當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞增.所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是,單調(diào)遞增區(qū)間是.綜上所述,當(dāng)時,函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是;當(dāng)時,函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是,單調(diào)遞增區(qū)間是;當(dāng)時,函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是,單調(diào)遞增區(qū)間是.(2)由題意知函數(shù)在處取得最小值.由(1)知是的唯一極最小點,故.整理,得,即.令,則.令,得.當(dāng)時,單調(diào)遞增;當(dāng)時,單調(diào)遞減.因此.故,即,即.4. (2013四川文21)已知函數(shù),其中是實數(shù).設(shè),為該函數(shù)圖象上的兩點,且.(1)指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)的圖象在點處的切線互相垂直,且,證明:;(3)若函數(shù)的圖象在點處的切線重合,求的取值范圍.4.分析 第(1)問
5、直線由二次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象求解;第(2)問由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知,并借助基本不等式求解;第(3)問中兩直線重合的充要條件是兩直線方程系數(shù)成比例,求時需先分離出,再進(jìn)一點利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)值域.解析 (1)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為,.(2)證明:由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知,點處的切線斜率為,點處的切線斜率為.故當(dāng)點處的切線與點處的切線垂直時,有.因為,所以.當(dāng)時,對函數(shù)求導(dǎo),得.因為,所以,.因此(當(dāng)且僅當(dāng),即且時等號成立)所以,函數(shù)的圖象在點處的切線互相垂直時,有.(3)當(dāng)或時,故.當(dāng)時,函數(shù)的圖象在點處的切線方程為,即.當(dāng)時,函數(shù)的圖象在點處的切線方程為,即.兩切線重合的充要條件是由及知.
6、由得.令,則,且.設(shè),則.所以為減函數(shù).則,所以.而當(dāng)且趨近于時,無限增大,所以的取值范圍是.故當(dāng)函數(shù)的圖象在點處的切線重合時,的取值范圍是.5. (2013湖南文21)已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間;(2)證明:當(dāng)時,. 5.分析 (1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)數(shù)的不等式求得其單調(diào)區(qū)間.(2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)值的秸,設(shè)出有大小的兩個值,通過與的大小,將問題轉(zhuǎn)化為與的大小,從而得出結(jié)論.解析 (1)函數(shù)的定義域為.當(dāng)時,;當(dāng)時,.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)證明:當(dāng)時,由于,故;同理,當(dāng)時,.當(dāng)時,不妨設(shè),由(1)知,.下面證明:,即證.此不等式等價于.令,則.當(dāng)時,單調(diào)遞
7、減,從而,即.所以.而,所以,從而.由于在上單調(diào)遞增,所以,即.6.(2014新課標(biāo)文11)若函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增,則的取值范圍是( ).A. B. C. D.7.(2014山東文20)(本小題滿分13分)設(shè)函數(shù) ,其中a為常數(shù).(1)若,求曲線在點處的切線方程;(2)討論函數(shù)的單調(diào)性.8.(2014江西文18)(本小題滿分12分) 已知函數(shù),其中. (1)當(dāng)時,求的單調(diào)遞增區(qū)間; (2)若在區(qū)間上的最小值為,求的值.9(2014湖北文21)(本小題滿分14分)為圓周率,為自然對數(shù)的底數(shù). ()求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;()求,這個數(shù)中的最大數(shù)與最小數(shù).10. (2014江蘇19(1)已知函數(shù)試討論的單
8、調(diào)性.10.解析 由題意,當(dāng),即時,對恒成立,故的單調(diào)遞增區(qū)間為;當(dāng),即時,令,則或,所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間為;當(dāng),即時,令,則或,所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間為11.(2015安徽文10)函數(shù)的圖像如圖所示,則下列結(jié)論成立的是( ).A BC D11. 解析 令,可得.又,由函數(shù)圖像的單調(diào)性,可知.由圖可知,是的兩根,且,.所以,得.故選A.12.(2016山東文20)設(shè),.(1)令,求的單調(diào)區(qū)間;(2)已知在處取得極大值,求實數(shù)的取值范圍.12.C 解析 問題轉(zhuǎn)化為對恒成立,故,即恒成立.令,得對恒成立.解法一:構(gòu)造,開口向下的二次函數(shù)的最小值的可能值為端點值,故只需
9、保證,解得.故選C.解法二:當(dāng)時,不等式恒成立;當(dāng)時,恒成立,由在上單調(diào)遞增,所以,故;當(dāng)時,恒成立.由在上單調(diào)遞增,所以.綜上可得,.故選C.評注 曾經(jīng)談到必要條件的問題,如取,則轉(zhuǎn)化為,因此直接選擇C選項.這緣于運(yùn)氣好,若不然取,則式子恒成立;取,則,此時只能排除A選項.此外,可在未解題之前取,此時,則,但此時,不具備在上單調(diào)遞增,直接排除A,B,D.故選C. 13.(2016天津文20)設(shè)函數(shù),其中.(1)求的單調(diào)區(qū)間;(2)若存在極值點,且,其中,求證:;(3)設(shè),函數(shù),求證:在區(qū)間上的最大值不小于.13.解析 (1)由 可得,則,當(dāng)時,時,函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)時,當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)時
10、,函數(shù)單調(diào)遞減.綜上所述,當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為;當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為. (2)由(1)知,.當(dāng)時, 單調(diào)遞增.所以當(dāng)時,單調(diào)遞減.當(dāng)時,單調(diào)遞增.所以在處取得極小值,不合題意.當(dāng)時,由(1)知在內(nèi)單調(diào)遞增,可得當(dāng)時,時,所以在內(nèi)單調(diào)遞減,在內(nèi)單調(diào)遞增,所以在處取得極小值,不合題意.當(dāng)時,即時,在內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減,所以當(dāng)時, 單調(diào)遞減,不合題意.當(dāng)時,即 ,當(dāng)時,單調(diào)遞增,當(dāng)時,單調(diào)遞減,所以在處取得極大值,合題意.綜上可知,實數(shù)的取值范圍為.14.(2016全國乙文12)若函數(shù)在上單調(diào)遞增,則的取值范圍是( ).A. B. C. D.14.解析 (1)由,可得,
11、下面分兩種情況討論:當(dāng)時,有恒成立,所以在上單調(diào)遞增.當(dāng)時,令,解得或.當(dāng)變化時,的變化情況如表所示.0極大值極小值所以的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為,.(2)證明:因為存在極值點,所以由(1)知且.由題意得,即,所以.又,且,由題意及(1)知,存在唯一實數(shù)滿足,且,因此,所以.(3)證明:設(shè)在區(qū)間上的最大值為,表示,兩數(shù)的最大值,下面分三種情況討論:當(dāng)時,由知在區(qū)間上單調(diào)遞減,所以在區(qū)間上的取值范圍為,因此,所以 當(dāng)時,由(1)和(2) 知,所以在區(qū)間上的取值范圍為,所以. 當(dāng)時,由(1)和(2)知,所以在區(qū)間上的取值范圍為,因此.綜上所述,當(dāng)時,在區(qū)間上的最大值不小于.15.(2017全
12、國1文21)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)若,求的取值范圍.15.解析 (1).當(dāng)時,恒成立,所以在上單調(diào)遞增;當(dāng)時,恒成立,令,則,故,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時,恒成立,令,則,即,所以,所以在上單調(diào)遞增,同理在上單調(diào)遞減(2)當(dāng)時,恒成立,符合題意;當(dāng)時,故,即;當(dāng)時,從而,故,所以綜上所述,的取值范圍為16.(2017全國2文21)設(shè)函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)當(dāng)時,求的取值范圍.16.解析 (1).令,得,解得,.所以當(dāng)時,當(dāng)或時,所以在區(qū)間,上是減函數(shù),在區(qū)間上是增函數(shù).(2)因為時,所以.所以,令,則,即時,而,所以,所以,.再令,當(dāng)時,恒成立. 所以在上是增
13、函數(shù),恒有,從而是增函數(shù),在上恒成立,故即為所求.題型38 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性1.(2015陜西文9) 設(shè)函數(shù),則( ).A. 既是奇函數(shù)又是減函數(shù) B. 既是奇函數(shù)又是增函數(shù)C. 是有零點的減函數(shù) D. 是沒有零點的奇函數(shù)1. 解析 因為,所以,又的定義域為,關(guān)于原點對稱,所以是奇函數(shù);因為是增函數(shù).因為,所以有零點.故選B.2.(2015新課標(biāo)2卷文12) 設(shè)函數(shù),則使得成立的的取值范圍是( ).A. B. C. D. 2. 解析 由題意知,即為偶函數(shù).因為,所以在上是增函數(shù),所以使成立的條件是.所以,解之得.故選A.3.(2015安徽文21(1)已知函數(shù).求的定義域,并討論的單調(diào)性
14、;3. 分析 函數(shù)有意義,分母不能為0,即,亦即,即可求出的定義域.又,即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解析 由題意可知,即,所以的定義域為.又,令,得.由可知,當(dāng)時,;當(dāng)時,;當(dāng)時,.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為和.4.(2015福建文22(1)已知函數(shù)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.4. 分析 求導(dǎo)函數(shù),解不等式并與定義域求交集,得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.解析 (1),由,得,解得故的單調(diào)遞增區(qū)間是5.(2015新課標(biāo)2卷文21(1))已知函數(shù).討論的單調(diào)性.5. 分析 由題意,先求出函數(shù)的定義域,再對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),得,然后分,兩種情況來討論;解析 的定義域為,.若,則,所以在上單調(diào)遞增.若,則當(dāng)時,;當(dāng)時,.所以在 上單調(diào)遞增, 在上單調(diào)遞減.6.(2015四川文21(1)已知函數(shù),其中.設(shè)為的導(dǎo)函數(shù),討論的單調(diào)性;6. 解析 由已知可得函數(shù)的定義域為.,所以,當(dāng)時,單調(diào)遞減;當(dāng)時,單調(diào)遞增.7.(2015天津文20(1) 已知函數(shù)其中,且.求的單調(diào)性;7. 解析 (1)由,可得,當(dāng) ,即時,函數(shù) 單調(diào)遞增;當(dāng) ,即時,函數(shù)單調(diào)遞減.所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是.8.(2015重慶文19(2)已知函數(shù)在處取得極值.若,討論的單調(diào)性.8. 解析 由(1)得, 故 令,解得,或則,的變化如下表所示:極小值極大值極小值所以在和上為減函數(shù),在和上為增函數(shù)