《同濟六版高數(shù)第四章第4節(jié)課件》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《同濟六版高數(shù)第四章第4節(jié)課件（22頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、4.4 有理函數(shù)的積分一、有理函數(shù)的積分二、可化為有理函數(shù)的積分舉例一、有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的形式當(dāng)nm時, 稱這有理函數(shù)是真分式; 而當(dāng)nm時, 稱這有理函數(shù)是假分式. 有理函數(shù)是指由兩個多項式的商所表示的函數(shù), 即具有如下形式的函數(shù): mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP11101110)()(, 假分式總可以化成一個多項式與一個真分式之和的形式. .1111) 1(1122223xxxxxxxx1111) 1(1122223xxxxxxxx1111) 1(1122223xxxxxxxx. 有理函數(shù)相除多項式 + 真分 式分解其中部分分式的形式為kkqxpxNxMaxA)

2、(;)(2)04,N(2qpk若干部分分式之和例如例1. 將下列真分式分解為部分分式 :;) 1(1) 1 (2xx;653)2(2xxx解解: (1) 用拼湊法22) 1() 1(1xxxx2) 1(1x) 1(1xx2) 1(1x) 1( xx2) 1(1x11xx1) 1( xx) 1( xx(2) 用賦值法6532xxx)3)(2(3xxx2xA3xB原式)2(xA2x233xxx5原式)3(xB3x323xxx6故25x原式36x四種典型部分分式的積分: CaxAln) 1( nCaxnAn1)(1xaxAd. 1xaxAnd)(. 2xqxpxNxMd. 32xqxpxNxMnd)

3、(. 42) 1,04(2nqp變分子為 )2(2pxM2pMN 再分項積分 提示：dxxdxx25366ln|x3|5ln|x2|C. 求真分式的不定積分時, 如果分母可因式分解, 則先因式分解, 然后化成部分分式再積分. 解 例1 1 求dxxxx6532. 解 dxxxx6532dxxxx) 3)(2(3dxxx)2536(dxxxx6532dxxxx) 3)(2(3dxxx)2536(dxxxx6532dxxxx) 3)(2(3dxxx)2536( 分母可因式分解的真分式的不定積分 dxxdxx25366ln|x3|5ln|x2|C. AB1, 2A3B3, ) 3)(2()32()(

4、23) 3)(2(3xxBAxBAxBxAxxxA6, B5. ) 3)(2()32()(23) 3)(2(3xxBAxBAxBxAxxx) 3)(2()32()(23) 3)(2(3xxBAxBAxBxAxxx, 提示： 解 例2 例 3 求dxxx2) 1(1. 解 dxxxxdxxx) 1(1111) 1(122dxxxxdxxx) 1(1111) 1(122 求真分式的不定積分時, 如果分母可因式分解, 則先因式分解, 然后化成部分分式再積分. 分母可因式分解的真分式的不定積分 222) 1(1) 1(1) 1(1) 1(1xxxxxxxxx22) 1(1111) 1(1) 1(1xx

5、xxxxxxdxxdxxdxx2) 1(1111Cxxx11| 1|ln|lndxxdxxdxx2) 1(1111Cxxx11| 1|ln|ln. 222) 1(1) 1(1) 1(1) 1(1xxxxxxxxx222) 1(1) 1(1) 1(1) 1(1xxxxxxxxx22) 1(1111) 1(1) 1(1xxxxxxxx. 提示： 解 例3 例 2 求dxxxx3222. 解 dxxxx3222dxxxxxx)3213322221(22 dxxxdxxxx321332222122 2222)2() 1() 1(332) 32(21xxdxxxxd Cxxx21arctan23) 32

6、ln(212. dxxxx3222dxxxxxx)3213322221(22 分母是二次質(zhì)因式的真分式的不定積分 321332221323) 22(213222222xxxxxxxxxxx321332221323) 22(213222222xxxxxxxxxxx321332221323) 22(213222222xxxxxxxxxxx. xxxd)4)(1(22)4() 1(22xx例4. 求求.d4555222423xxxxxxIxxxxxId4552243xxxxd455224245)55d(212424xxxx45ln2124xx2arctan21xCxarctan解解:說明說明: 將有

7、理函數(shù)分解為部分分式進(jìn)行積分雖可行,但不一定簡便 , 因此要注意根據(jù)被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)尋求簡便的方法. 例5. 求求解解: 原式xxd14) 1(2x) 1(2 x211d4xx2arctan2211xx21221 ln21xx21xxCxxxxd12122121xxxxd121221212)(2121xx)d(1xx 2)(2121xx)d(1xx 注意本題技巧注意本題技巧xx21arctan2212Cxxxx1212ln24122)0( x按常規(guī)方法較繁按常規(guī)方法較繁按常規(guī)方法解:1d4xx第一步 令)(1224dxcxbxaxx比較系數(shù)定 a , b , c , d . 得) 12)(12(

8、1224xxxxx第二步 化為部分分式 . 即令) 12)(12(111224xxxxx121222xxDxCxxBxA比較系數(shù)定 A , B , C , D .第三步 分項積分 .此解法較繁 !二、可化為有理函數(shù)的積分舉例 三角函數(shù)有理式是指由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算所構(gòu)成的函數(shù). 用于三角函數(shù)有理式積分的變量代換 三角函數(shù)有理式的積分 設(shè)2tanxu, 則有 222122tan12tan22sec2tan22cos2sin2sinuuxxxxxxx222122tan12tan22sec2tan22cos2sin2sinuuxxxxxxx222122tan12tan22sec2tan

9、22cos2sin2sinuuxxxxxxx222122tan12tan22sec2tan22cos2sin2sinuuxxxxxxx, 222222112sec2tan12sin2coscosuuxxxxx222222112sec2tan12sin2coscosuuxxxxx222222112sec2tan12sin2coscosuuxxxxx. 提示： 解 令2tanxu, 則212sinuux, 2211cosuux. 例4 例 4 求dxxxx)cos1 (sinsin1. 解 令2tanxu, 則 uxarctan2, duuuuuuuudxxxx2222212)111 (12)12

10、1 ()cos1 (sinsin1Cuuuduuu|)|ln22(21)12(212 duudx212. duuuuuuuudxxxx2222212)111 (12)121 ()cos1 (sinsin1 Cuuuduuu|)|ln22(21)12(212 解 令2tanxu, 則212sinuux, 2211cosuux. 例4 例 4 求dxxxx)cos1 (sinsin1. 解 令2tanxu, 則 duuuuuuuudxxxx2222212)111 (12)121 ()cos1 (sinsin1Cuuuduuu|)|ln22(21)12(212duuuuuuuudxxxx222221

11、2)111 (12)121 ()cos1 (sinsin1 Cuuuduuu|)|ln22(21)12(212 Cxxx|2tan|ln212tan2tan412. 說明： 并非所有的三角函數(shù)有理式的積分都要通過上述代換化為有理函數(shù)的積分. 因為這種代換不一定是最簡捷的代換. 請看如下積分: 令2tanxu, 則212sinuux, 2211cosuux. Cxxdxdxxx)sin1ln()sin1 (sin11sin1cosCxxdxdxxx)sin1ln()sin1 (sin11sin1cosCxxdxdxxx)sin1ln()sin1 (sin11sin1cos. 無理函數(shù)的積分一般采

12、用第二類換元法把根號消去. 解 簡單無理函數(shù)的積分 例5 例 5 求dxxx 1. 解 設(shè)ux1, 即duuuuduuudxxx12211222Cuuduu)arctan( 2)111 (22Cxx)1arctan1( 2. , 即12ux, 則 duuuuduuudxxx12211222duuuuduuudxxx12211222 Cuuduu)arctan( 2)111 (22 duuuduuuxdx111331121223 解 無理函數(shù)的積分一般采用第二類換元法把根號消去. 簡單無理函數(shù)的積分 例6 例 6 求321xdx. Cuuuduuu|)1 |ln2( 3)111(32Cxxx|2

13、1 |ln23) 2(233332. Cuuuduuu|)1 |ln2( 3)111(32 ux32設(shè) , 即xu32, 則 duuuduuuxdx111331121223duuuduuuxdx111331121223 解 無理函數(shù)的積分一般采用第二類換元法把根號消去. 簡單無理函數(shù)的積分 例7 例 7 求xxdx)1 (3. 設(shè)xt6, 于是dx6t5dt, 從而 dtttdttttxxdx22325316)1 (6)1 (Cttdtt)arctan( 6)111 (62Cxx)arctan( 666. dtttdttttxxdx22325316)1 (6)1 (dtttdttttxxdx2

14、2325316)1 (6)1 ( Cttdtt)arctan( 6)111 (62 解 無理函數(shù)的積分一般采用第二類換元法把根號消去. 簡單無理函數(shù)的積分 例8 例 8 求dxxxx11. 解 設(shè)txx1, 即, 即112tx, 于是 112tx, 于是 dtttdtttttdxxxx12) 1(2) 1(1122222Ctttdtt|11|ln2)111 (22Cxxxxxx11ln12. dtttdtttttdxxxx12) 1(2) 1(1122222dtttdtttttdxxxx12) 1(2) 1(1122222 Ctttdtt|11|ln2)111 (22 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 可積函數(shù)的特殊類型有理函數(shù)分解多項式及部分分式之和三角函數(shù)有理式萬能代換簡單無理函數(shù)三角代換根式代換2. 特殊類型的積分按上述方法雖然可以積出, 但不一定 要注意綜合使用基本積分法 , 簡便計算 .簡便 , 思考與練習(xí)思考與練習(xí)如何求下列積分更簡便 ?)0(d. 1662axxaxxxxcossind. 23解解: 1.23233)()(d31xax原式Caxaxa33333ln61Caxaxa33333ln612. 原式xxxxxdcossincossin322xxxcossindxxxdsincos3xxtantandxx3sinsindxtanlnCx2sin121