《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 17-18版 第5章 第21課 任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 17-18版 第5章 第21課 任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)(14頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第五章三角函數(shù)、解三角形第21課 任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)最新考綱內(nèi)容要求ABC三角函數(shù)的概念1.角的概念的推廣(1)定義:角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形(2)分類(3)終邊相同的角:所有與角終邊相同的角,連同角在內(nèi),可構(gòu)成一個集合S|k360,kZ2.弧度制的定義和公式(1)定義:把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫作1弧度的角,弧度記作rad.(2)公式:角度與弧度的換算:a.1 rad;b.1 rad.弧長公式:lr|.扇形面積公式:Slrr2.3.任意角的三角函數(shù)三角函數(shù)正弦余弦正切定義設(shè)是一個任意角,它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y),那么
2、y叫作的正弦,記作sin x叫作的余弦,記作cos 叫作的正切,記作tan 各象限符號三角函數(shù)線有向線段MP為正弦線有向線段OM為余弦線有向線段AT為正切線1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”,錯誤的打“”)(1)小于90的角是銳角()(2)銳角是第一象限角,反之亦然()(3)角的三角函數(shù)值與終邊上點(diǎn)P的位置無關(guān)()(4)若為第一象限角,則sin cos 1.()答案(1)(2)(3)(4)2.(教材改編)已知角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為M,則sin _.由題意知|r|22y21,所以y.由三角函數(shù)定義知sin y.3.若cos 0,且sin 20,則角的終邊在第_象限四由cos 0,
3、sin 22sin cos 0得sin 0,則角的終邊在第四象限4.在單位圓中,200的圓心角所對的弧長為_單位圓的半徑r1,200的弧度數(shù)是200,由弧度數(shù)的定義得,所以l.5.已知半徑為120 mm的圓上,有一條弧長是144 mm,則該弧所對的圓心角的弧度數(shù)為_rad.1.2由題意知1.2 rad.角的有關(guān)概念及其集合表示(1)若角是第二象限角,則是第_象限角. 【導(dǎo)學(xué)號:62172118】(2)已知角的終邊在如圖211所示陰影部分表示的范圍內(nèi)(不包括邊界),則角用集合可表示為_圖211(1)一或三(2)(kZ)(1)是第二象限角,2k2k,kZ,kk,kZ.當(dāng)k為偶數(shù)時,是第一象限角;當(dāng)
4、k為奇數(shù)時,是第三象限角綜上,是第一或第三象限角(2)在0,2)內(nèi),終邊落在陰影部分角的集合為,所求角的集合為(kZ)規(guī)律方法1.與角終邊相同的角可以表示為2k(kZ)的形式,是任意角;相等的角終邊一定相同,終邊相同的角不一定相等;角度制與弧度制不能混用2由所在象限,判定所在象限,應(yīng)先確定的范圍,并對整數(shù)k的奇、偶情況進(jìn)行討論變式訓(xùn)練1已知角45,在區(qū)間720,0內(nèi)與角有相同終邊的角_.675或315由終邊相同的角的關(guān)系知k36045,kZ,取k2,1,得675或315.扇形的弧長、面積公式(1)已知扇形周長為10,面積是4,求扇形的圓心角;(2)已知扇形周長為40,當(dāng)它的半徑和圓心角分別取何
5、值時,扇形的面積最大? 【導(dǎo)學(xué)號:62172119】解(1)設(shè)圓心角是,半徑是r,則解得(舍去)或扇形的圓心角為.(2)設(shè)圓心角是,半徑是r,則2rr40.又Sr2r(402r)r(20r)(r10)2100100.當(dāng)且僅當(dāng)r10時,Smax100,此時2101040,2,當(dāng)r10,2時,扇形的面積最大規(guī)律方法1.(1)在弧度制下,計算扇形面積和弧長比在角度制下更方便、簡捷;(2)從扇形面積出發(fā),在弧度制下把問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于R的二次函數(shù)的最值問題(如本例)或不等式問題來求解2利用公式:(1)lR;(2)SlR;(3)SR2.其中R是扇形的半徑,l是弧長,(02)為圓心角,S是扇形面積,知道兩個量
6、,可求其余量變式訓(xùn)練2若扇形的圓心角120,弦長AB12 cm,則弧長l_cm.設(shè)扇形的半徑為r cm,如圖由sin 60,得r4 cm,l|r4 cm.三角函數(shù)的定義(1)若tan 0,則下列說法正確的是_(填序號)sin 0;cos 0;sin 20;cos 20.(2)已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)A(,a),若點(diǎn)A在拋物線yx2的準(zhǔn)線上,則sin _.(1)(2)(1)由tan 0知角是第一或第三象限角,當(dāng)是第一象限角時,sin 22sin cos 0;當(dāng)是第三象限角時,sin 0,cos 0,仍有sin 22sin cos 0,故正確(2)拋物線方程yx2可化為x24y,拋物線的準(zhǔn)線方程為y1.
7、點(diǎn)A在拋物線yx2的準(zhǔn)線上,A(,1),由三角函數(shù)的定義得sin .規(guī)律方法1.用定義法求三角函數(shù)值的兩種情況(1)已知角終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo),則可先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r,然后用三角函數(shù)的定義求解;(2)已知角的終邊所在的直線方程,則可先設(shè)出終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo),求出此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,然后用三角函數(shù)的定義來求相關(guān)問題2確定三角函數(shù)值的符號,可以從確定角的終邊所在象限入手進(jìn)行判斷變式訓(xùn)練3(1)設(shè)是第二象限角,P(x,4)為其終邊上的一點(diǎn),且cos x,則tan 2_.(2)函數(shù)y的定義域?yàn)開(1)(2)(kZ)(1)由三角函數(shù)的定義可得cos .cos x,x,又是第二象限角,x0,故可解得x3,
8、cos ,sin ,tan ,tan 2.(2)2cos x10,cos x.由三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影所示)x(kZ)思想與方法1在利用三角函數(shù)定義時,點(diǎn)P(x,y)可取終邊上任意一點(diǎn),若點(diǎn)P在單位圓上,則sin y,cos x,tan ;若|OP|r,則sin ,cos ,tan .2三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律:一全正、二正弦、三正切、四余弦3利用單位圓和三角函數(shù)線是解三角不等式的常用方法易錯與防范1第一象限角、銳角、小于90的角是三個不同的概念,前者是象限角,后兩者是區(qū)間角2角度制與弧度制可利用180 rad進(jìn)行互化,在同一個式子中,采用的度量制必須一致,不可混用3
9、已知三角函數(shù)值的符號確定角的終邊位置不要遺漏終邊在坐標(biāo)軸上的情況課時分層訓(xùn)練(二十一)A組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)(建議用時:30分鐘)一、填空題1給出下列四個命題:是第二象限角;是第三象限角;400是第四象限角;315是第一象限角其中正確的命題是_(填序號)是第三象限角,故錯誤.,從而是第三象限角,正確40036040,從而正確31536045,從而正確2已知2弧度的圓心角所對的弦長為2,則這個圓心角所對的弧長是_由題設(shè)知,圓弧的半徑r,圓心角所對的弧長l2r.3已知點(diǎn)P(cos ,tan )在第三象限,則角的終邊在第_象限二由題意可得則所以角的終邊在第二象限4已知點(diǎn)P在角的終邊上,且0,2),則的值為_.
10、 【導(dǎo)學(xué)號:62172120】因?yàn)辄c(diǎn)P在第四象限,根據(jù)三角函數(shù)的定義可知tan ,則.5已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,終邊在直線y2x上,則cos 2_.取終邊上一點(diǎn)(a,2a)(a0),根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義,可得cos ,故cos 22cos21.6已知扇形的圓心角為,面積為,則扇形的弧長等于_設(shè)扇形半徑為r,弧長為l,則解得7(2017無錫期中)已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(10,m),且tan ,則m的值為_8由題意可知tan ,m8.8(2017鹽城期中)若sin ,2,3,則_.2,3,.由sin ,可知,即.9若角的終邊在直線yx上,則2sin cos a_. 【導(dǎo)
11、學(xué)號:62172121】設(shè)P(4a,3a)(a0)是角終邊上任意一點(diǎn),則OPr5|a|.當(dāng)a0時,r5a,此時sin ,cos ,則2sin cos .當(dāng)a0時,r5a,此時,sin ,cos ,所以2sin cos .10已知角2k(kZ),若角與角的終邊相同,則y的值為_1由2k(kZ)及終邊相同的概念知,角的終邊在第四象限,又角與角的終邊相同,所以角是第四象限角,所以sin 0,tan 0時,rk,sin ,10sin 330;當(dāng)k0時,rk,sin ,10sin 330.綜上,10sin 0.4已知sin 0,tan 0.(1)求角的集合;(2)求終邊所在的象限;(3)試判斷tan sin cos 的符號解(1)由sin 0,知在第三、四象限或y軸的負(fù)半軸上由tan 0,知在第一、三象限,故角在第三象限,其集合為.(2)由2k2k,kZ,得kk,kZ,故終邊在第二、四象限(3)當(dāng)在第二象限時,tan 0,sin 0,cos 0,所以tan sin cos 取正號;當(dāng)在第四象限時,tan 0,sin 0,cos 0,所以tan sin cos 也取正號因此,tan sin cos 取正號