《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 17-18版 附加題部分 第5章 第71課 矩陣與變換》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 17-18版 附加題部分 第5章 第71課 矩陣與變換（12頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第五章矩陣與變換第71課 矩陣與變換最新考綱內(nèi)容要求ABC矩陣的概念二階矩陣與平面向量常見的平面變換變換的復(fù)合與矩陣的乘法二階逆矩陣二階矩陣的特征值與特征向量二階矩陣的簡(jiǎn)單應(yīng)用1乘法規(guī)則(1)行矩陣a11a12與列矩陣的乘法規(guī)則：a11a12a11b11a12b21.(2)二階矩陣與列向量的乘法規(guī)則：.(3)兩個(gè)二階矩陣相乘的結(jié)果仍然是一個(gè)矩陣，其乘法法則如下：.(4)兩個(gè)二階矩陣的乘法滿足結(jié)合律，但不滿足交換律和消去律即(AB)CA(BC)，ABBA，由ABAC不一定能推出BC.一般地，兩個(gè)矩陣只有當(dāng)前一個(gè)矩陣的列數(shù)與后一個(gè)矩陣的行數(shù)相等時(shí)才能進(jìn)行乘法運(yùn)算2常見的平面變換(1)恒等變換：如；

2、(2)伸壓變換：如；(3)反射變換：如；(4)旋轉(zhuǎn)變換：如，其中為旋轉(zhuǎn)角度；(5)投影變換：如，；(6)切變變換：如(kR，且k0)3逆變換與逆矩陣(1)對(duì)于二階矩陣A、B，若有ABBAE，則稱A是可逆的，B稱為A的逆矩陣；(2)若二階矩陣A、B均存在逆矩陣，則AB也存在逆矩陣，且(AB)1B1A1.4特征值與特征向量設(shè)A是一個(gè)二階矩陣，如果對(duì)于實(shí)數(shù)，存在一個(gè)非零向量，使A，那么稱為A的一個(gè)特征值，而稱為A的屬于特征值的一個(gè)特征向量5特征多項(xiàng)式設(shè)A是一個(gè)二階矩陣，R，我們把行列式f()2(ad)adbc，稱為A的特征多項(xiàng)式1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)每一

3、個(gè)二階矩陣都可逆()(2)每一個(gè)二階矩陣都有特征值及特征向量()(3)把每個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，橫坐標(biāo)不變的線性變換對(duì)應(yīng)的二階矩陣為.()(4)對(duì)于矩陣A，B來說ABBA.()答案(1)(2)(3)(4)2函數(shù)yx2在矩陣M變換作用下的解析式為_yx2，代入yx2得yx2，即yx2.3(教材改編)二階矩陣A對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)(2,1)變換成(0，b)，則a_，b_.22由，得即4設(shè)矩陣A，則矩陣A的特征向量為_，f()210，得11，21.當(dāng)1時(shí)，得特征向量a1；當(dāng)1時(shí)，得特征向量a2.5已知矩陣A，B，若AXB，則矩陣X_.設(shè)X，由，得解得X.二階矩陣與線性變換二階矩陣M對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)(1

4、，1)與(2,1)分別變成點(diǎn)(1，1)與(0，2)(1)求矩陣M；(2)設(shè)直線l在變換M作用下得到了直線m：xy4.求直線l的方程. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172370】解(1)設(shè)二階矩陣M.依題意，也就是，且解得a1，b2，c3，d4，因此所求矩陣M.(2)M，坐標(biāo)變換公式為(x，y)是直線m：xy4上的點(diǎn)(x2y)(3x4y)4，即xy20，直線l的方程為xy20.規(guī)律方法1.二階矩陣與線性變換的題目往往和矩陣的基本運(yùn)算相結(jié)合命題包括二階矩陣的乘法，矩陣與向量的乘法等2(1)二階矩陣與線性變換涉及變換矩陣、變換前的曲線方程、變換后的曲線方程三個(gè)要素知其二可求第三個(gè)(2)在解決通過矩陣進(jìn)行平面曲線的

5、變換問題時(shí)，要把變換前后的變量區(qū)別清楚，防止混淆變式訓(xùn)練1(2017南通二調(diào))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)A(1,2)在矩陣M對(duì)應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)A，將點(diǎn)B(3,4)繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到點(diǎn)B，求點(diǎn)B的坐標(biāo)解設(shè)B(x，y)，依題意，由，得A(1,2)則(2,2)，(x1，y2)記旋轉(zhuǎn)矩陣N，則，即，解得所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,4).求逆矩陣已知矩陣A.(1)求逆矩陣A1；(2)若二階矩陣X滿足AX，試求矩陣X.解(1)det(A)10.矩陣A是可逆的，A1.(2)AX，A1AXA1，X.規(guī)律方法求逆矩陣的方法：(1)待定系數(shù)法設(shè)A是一個(gè)二階可逆矩陣，ABBAE；(2)公式法Aadbc0，有

6、A1.變式訓(xùn)練2已知矩陣A，B，求矩陣A1B.解設(shè)矩陣A的逆矩陣為，則，即，故a1，b0，c0，d，從而A的逆矩陣為A1，所以A1B.特征值與特征向量(2017蘇州模擬)求矩陣M的特征值和特征向量. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172371】解特征多項(xiàng)式f()(1)(6)82514(7)(2)，由f()0，解得17，22.將17代入特征方程組，得即y2x，可取為屬于特征值17的一個(gè)特征向量，同理，22時(shí)，特征方程組是即x4y，所以可取為屬于特征值22的一個(gè)特征向量綜上所述，矩陣M有兩個(gè)特征值17，22；屬于17的一個(gè)特征向量為，屬于22的一個(gè)特征向量為.規(guī)律方法已知A，求特征值和特征向量的步驟：(1)令f(

7、)(a)(d)bc0，求出特征值；(2)列方程組(3)賦值法求特征向量，一般取x1或者y1，寫出相應(yīng)的向量變式訓(xùn)練3(2015江蘇高考)已知x，yR，向量是矩陣A的屬于特征值2的一個(gè)特征向量，求矩陣A以及它的另一個(gè)特征值解由已知，得A2，即，則即所以矩陣A.從而矩陣A的特征多項(xiàng)式f()(2)(1)，所以矩陣A的另一個(gè)特征值為1.思想與方法1二階矩陣與平面列向量乘法：，這是所有變換的基礎(chǔ)2證明兩個(gè)矩陣互為逆矩陣時(shí)，切記從兩個(gè)方向進(jìn)行，即ABEBA.3二元一次方程組相應(yīng)的矩陣方程為AXB，其中A為系數(shù)矩陣，X為未知數(shù)向量，B為常數(shù)向量4若某一向量在矩陣交換作用下的像與原像共線，則稱這個(gè)向量是屬于該

8、變換矩陣的特征向量，相應(yīng)共線系數(shù)為屬于該特征向量的特征值易錯(cuò)與防范1兩個(gè)矩陣相等，不但要求元素相同，而且要求相同元素的位置也一樣2對(duì)于矩陣的乘法運(yùn)算不滿足消去律，即由ACBC不一定得到AB.3矩陣A的屬于特征值的特征向量不唯一，其特征值的特征向量共線課時(shí)分層訓(xùn)練(十五)A組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)(建議用時(shí)：30分鐘)1已知矩陣A，B，向量，若AB，求實(shí)數(shù)x，y的值解A，B，由AB得解得x，y4.2(2017如皋中學(xué)模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)P(x,5)在矩陣M對(duì)應(yīng)的變換下得到點(diǎn)Q(y2，y)，求M1. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172372】解依題意，即解得，由逆矩陣公式知，矩陣M的逆矩陣M1，所以M1.3(

9、2017泰州二中月考)若點(diǎn)A(2,2)在矩陣M對(duì)應(yīng)變換的作用下得到的點(diǎn)為B(2,2)，求矩陣M的逆矩陣解由題意，得，sin 1，cos 0，M.10，M1.4已知矩陣A，其中aR，若點(diǎn)P(1,1)在矩陣A的變換下得到點(diǎn)P(0，3)(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)求矩陣A的特征值及特征向量. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172373】解(1)由，得a13，a4.(2)由(1)知A，則矩陣A的特征多項(xiàng)式為f(x)(1)24223，令f()0，得矩陣A的特征值為1或3.當(dāng)1時(shí)二元一次方程y2x.矩陣A的屬于特征值1的一個(gè)特征向量為.當(dāng)3時(shí)，二元一次方程2xy0.矩陣A的屬于特征值3的一個(gè)特征向量為.B組能力提升(建議用

10、時(shí)：15分鐘)1(2017蘇州市期中)已知二階矩陣M有特征值8及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量e1，并且矩陣M將點(diǎn)(1,3)變換為(0,8)(1)求矩陣M；(2)求曲線x3y20在M的作用下的新曲線方程解(1)設(shè)M，由8及，得解得M.(2)設(shè)原曲線上任一點(diǎn)P(x，y)在M作用下對(duì)應(yīng)點(diǎn)P(x，y)，則，即解得代入x3y20得x2y40，即曲線x3y20在M的作用下的新曲線方程為x2y40.2(2016南京鹽城一模)設(shè)矩陣M的一個(gè)特征值為2，若曲線C在矩陣M變換下的方程為x2y21，求曲線C的方程解由題意，矩陣M的特征多項(xiàng)式f()(a)(1)，因矩陣M有一個(gè)特征值為2，f(2)0，所以a2.所以M，即代入方程x2y21，得(2x)2(2xy)21，即曲線C的方程為8x24xyy21.3(2016蘇北三市三模)已知矩陣A，向量，計(jì)算A5.解因?yàn)閒()256 ，由f()0，得2或3.當(dāng)2時(shí)，對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為1；當(dāng)3時(shí)，對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為2.設(shè)mn，解得所以A5225135.4已知矩陣A，B(1)求矩陣A的逆矩陣；(2)求直線xy10在矩陣A1B對(duì)應(yīng)的線性變換作用下所得的曲線的方程解(1)設(shè)A1，AA1，A1.(2)A1B，設(shè)直線xy10上任意一點(diǎn)P(x，y)在矩陣A1B對(duì)應(yīng)的線性變換作用下得P(x，y)，則，即代入xy10得x3y(y)10，可化為：x2y10，即x2y10為所求的曲線方程