2018學(xué)年廣東省執(zhí)信中學(xué)高三上學(xué)期期中考試 數(shù)學(xué)（理） PDF版,2018學(xué)年廣東省執(zhí)信中學(xué)高三上學(xué)期期中考試,數(shù)學(xué)（理）,PDF版,2018,學(xué)年,廣東省,中學(xué),高三上,學(xué)期,期中考試,數(shù)學(xué),PDF 2017-2018學(xué)年第一學(xué)期高三級(jí)（理科）數(shù)學(xué)期中考試答案 本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分.滿分150分.考試時(shí)間120分鐘. 第Ⅰ卷(選擇題 共60分) 一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1. 已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 A． B． C． D． 解題探究：集合是熱身題.從近幾年的考題來(lái)看，都是送分，突出集合的簡(jiǎn)單運(yùn)算和符號(hào)辨析. 【解析】B．由，得，又，則，即 2. 若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在軸負(fù)半軸上,則實(shí)數(shù)的值是 A．1 B． C． D． 解題探究： 復(fù)數(shù)的運(yùn)算和概念及其幾何意義是高考的考查的核心.就本題而言，關(guān)鍵是明確點(diǎn)在軸負(fù)半軸上的含義. 【解析】 ，點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，則解之得. 3. 設(shè)偶函數(shù)的最小正周期為，則 A. 在單調(diào)遞減 B. 在單調(diào)遞減 C. 在單調(diào)遞增 D. 在單調(diào)遞增 解題探究：本題考查性質(zhì)很豐富，也考查基本變換，值得關(guān)注. 解析：A. 由于由最小正周期為知.又為偶函數(shù)，則且，所以，于是.令，得在單調(diào)遞減，選項(xiàng)為A. 4. 設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且成等比數(shù)列，則等于 A.1 B. 2 C. 3 D. 4 解題探究：數(shù)列近三年都是一大一小兩個(gè)，客觀題部分考查等差等比數(shù)列的概念和基本運(yùn)算，突出對(duì)方程思想的考查，關(guān)注基本量. 解析： C．，即，得，于是，即 5. 已知．下列四個(gè)條件中，使成立的充分而不必要的條件是（ ） A． B． C． D． 解題探究：首先要分清楚條件是什么，結(jié)論是什么.一般來(lái)說(shuō)，要緊緊抓住“條件是”這個(gè)字眼，也即選擇支是條件.再根據(jù)關(guān)系即可判斷. 側(cè)視圖 【解析】依題意，，所以一定有，但，所以成立的充分而不必要的條件是. 6. （原創(chuàng)）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形邊長(zhǎng)為1.粗實(shí)線畫(huà)出的是某幾何體的 三視圖,則該幾何體的體積為( ) A． B． C． D． 【命題意圖】考查三視圖的概念以及由三視圖想象對(duì)應(yīng)的幾何體. 本題考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力. 【解題思路】根據(jù)題設(shè)，這是一個(gè)直三棱柱截去了一個(gè)四棱錐， 當(dāng)然也可以視作是一個(gè)三棱柱與一個(gè)三棱錐的組合，因此可以利用割補(bǔ)法求得幾何體的體積. 【解析】C．幾何體如右． 方法一（直接法）、底面三角形的面積為， 于是 方法二（割補(bǔ)法）、 7. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖．若輸出， 則框圖中① 處可以填入 否 開(kāi)始 結(jié)束 ① 輸出 是 A. B. C. D. 解題探究：算法難度都不大，難點(diǎn)在對(duì)算法思想和結(jié)構(gòu)的理解，特別是循環(huán)結(jié)構(gòu)，解題時(shí)只要按照要求循環(huán)往復(fù)即可. 解析：B．第一次循環(huán)，；第二次循環(huán)，；第三次循環(huán)，；第一四次循環(huán)，，此時(shí)滿足條件，輸出，所以選B. 8.函數(shù)的圖象大致是( ) A B C D 【解題思路】這類問(wèn)題是高考的?？碱}型，在高考?xì)v史上以多種面目呈現(xiàn).主要考查對(duì)函數(shù)性質(zhì)以及特征點(diǎn)特征線問(wèn)題的研究，著眼于考查函數(shù)研究的思維方式. 【解析】B；函數(shù)的分子是奇函數(shù)，分母函數(shù)也是奇函數(shù)，因而函數(shù)為偶函數(shù)，排除D；注意到函數(shù)定義域，在原點(diǎn)處沒(méi)有定義，排除A;BC選項(xiàng)的差別在于極大值與1的大小比較.這個(gè)時(shí)候關(guān)鍵就是數(shù)字的感覺(jué)，代入數(shù)字計(jì)算.注意到當(dāng)時(shí)，，選B.注：文科考生為了降低難度，選擇3作為指數(shù)和冪，就是方便計(jì)算. 9．設(shè)直線與圓相交于，兩點(diǎn)，且弦的長(zhǎng)為， 則實(shí)數(shù)的值是( ) A． B． C． D． 【解題探究】本題可以直接計(jì)算，利用點(diǎn)到直線的距離，但更可以利用圖形特征進(jìn)行處理.選編本題的目的就是強(qiáng)調(diào)在解決解析幾何問(wèn)題是要充分挖掘幾何對(duì)象的幾何特征. 【解析】 ；方法1：依題意可知圓心到直線距離為,故,解得. 方法2：如圖，直線恒過(guò)定點(diǎn) ，注意到弦長(zhǎng)為 而圓的半徑為，從而圓心角為，也即，于是，. 10. 已知是不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)的兩個(gè)不同的點(diǎn),則的最大值是 A． B． C． D． 解題探究：對(duì)于二元一次不等式表示的區(qū)域問(wèn)題，其考查指向便是數(shù)形結(jié)合思想的落實(shí).因此解決這個(gè)問(wèn)題必須要畫(huà)圖，至于圖形內(nèi)兩點(diǎn)距離最大值問(wèn)題，則需要根據(jù)圖形特征，并加以觀察. 當(dāng)然關(guān)鍵是要把距離轉(zhuǎn)化為圓的模型. 【解析】如圖，這是一個(gè)類似箏形的四邊形，注意到目標(biāo)函數(shù)是距離，其模型為圓，因此可以A為圓心畫(huà)同心圓，如圖，不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)半徑最大，也即距離最遠(yuǎn). 的最大值是 .選B． 11. 三棱錐中，底面△是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，側(cè)面三角△為等腰三角形，且腰長(zhǎng)為，若，則三棱錐外接球表面積是( ) A. B. C. D . 【命題意圖】考查線面位置關(guān)系，球的概念和表面積，考查勾股定理以及空間想象能力和運(yùn)算求解能力. 【解析】D；如圖， . . 又因而可以將三棱錐 還原成. 則上下底面正三角形中心連線中點(diǎn)為外接球的球心. 如圖，所以外接球的表面積為. 【技巧點(diǎn)撥】高考中與球有關(guān)的問(wèn)題往往都可以將相關(guān)錐體補(bǔ)形成相應(yīng)的柱體或者長(zhǎng)方體來(lái)處理. 12. 已知實(shí)數(shù)(且)滿足 ,記.（表示中任意兩個(gè)數(shù),()的乘積之和）. 則當(dāng)時(shí), 的最小值為 A． B． C． D． 解題探究：本題關(guān)鍵是要把握最值的函數(shù)特征.通過(guò)賦值的方案，歸納推理出 “的最小值必定可以被某一組取值的所達(dá)到” 【解析】時(shí),. 固定,僅讓變動(dòng),那么是的一次函數(shù)或常函數(shù), 因此. 同理. . 以此類推,我們可以看出,的最小值必定可以被某一組取值的所達(dá)到,于是. 當(dāng)()時(shí), . 因?yàn)?所以,且當(dāng),,時(shí), 因此 第Ⅱ卷(非選擇題 共90分) 本卷包括必考題和選考題兩部分.第13～21題為必考題,每個(gè)試題考生都必須作答.第22～23為選考題,考生根據(jù)要求作答. 二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,滿分20分. 13.已知向量,,若,則實(shí)數(shù) . 【命題意圖】本題考查向量的坐標(biāo)數(shù)乘運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算以及向量的幾何意義和數(shù)形結(jié)合思想. 【解題思路】一方面可以直接利用數(shù)乘運(yùn)算以及數(shù)量積運(yùn)算求解，另一方面注意到都是單位向量，因此可以考慮利用其幾何意義. 【解析】方法一、由可得，也即，而， 所以. 方法一、注意到都是單位圓上的向量，如圖，夾角為， 則要使，只需為直角三角形即可，此時(shí). 14. 已知，則，則 _____________. 【命題意圖】本題考查簡(jiǎn)單三角恒等變換和函數(shù)中心對(duì)稱性的概念. 【解題思路】 可以考慮先降冪并研究降冪后的三角函數(shù).可能會(huì)誤認(rèn)為本題是考查三角恒等變換. 【解析】，而 ，且為奇函數(shù)，因此函數(shù)是以中心對(duì)稱的，于是，從而.當(dāng)然也可以 另法： ，令，則，于是.從而 . 15. 現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張．從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為_(kāi)_________. 解題探究：排列組合問(wèn)題在高考中是以分類討論為考查指向的.本題就是抓住分類的特征和限制條件. 【解析】(1)法一：從16張不同的卡片中任取3張，共有種，其中有兩張紅色的有種，其中三張卡片顏色相同的有種，所以3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張的不同取法的種數(shù)為. 法二：若沒(méi)有紅色卡片，則需從黃、藍(lán)、綠三色卡片中選3張，若都不同色，則有種，若2張顏色相同，則有種；若紅色卡片有1張，則剩余2張若不同色，有種，若同色，則有種，所以共有64＋144＋192＋72＝472(種)． 16. B A D C E 如圖,為了測(cè)量河對(duì)岸、兩點(diǎn)之間的距離,觀察者找到一個(gè)點(diǎn),從點(diǎn)可以觀察到點(diǎn)、；找到一個(gè)點(diǎn),從點(diǎn)可以觀察到點(diǎn)、；找到一個(gè)點(diǎn),從點(diǎn)可以觀察到點(diǎn)、；并測(cè)量得到一些數(shù)據(jù):,, ,,,,,則、兩點(diǎn)之間的距離為_(kāi)________. (其中取近似值) 【命題意圖】考查正余弦定理在實(shí)際中的簡(jiǎn)單應(yīng)用.考查數(shù)形結(jié)合思想 和運(yùn)算求解能力、應(yīng)用意識(shí). 【解析】；在中,,由正弦定理得, 代入數(shù)據(jù)解得；在中,,由正弦定理得, 代入數(shù)據(jù)解得.在中,由余弦定理得,即. 【點(diǎn)評(píng)】高考中的解三角形應(yīng)用問(wèn)題基本上都取材自教材中的例練習(xí)題，屬于模型既知的淺應(yīng)用問(wèn)題，與線性規(guī)劃淺應(yīng)用問(wèn)題一致.解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是確定相關(guān)的三角形，并運(yùn)用正余弦定理確定邊角. 三、解答題:本大題共7小題,共70分,解答須寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟. 17.(本小題滿分12分) 已知等差數(shù)列{}滿足+=9，+=10；又?jǐn)?shù)列{}滿足 ++…++=，其中是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和． （1）求 的表達(dá)式； （2）若，試問(wèn)數(shù)列{}中是否存在整數(shù)k，使得對(duì)任意的正整數(shù)n都有≤成立？并證明你的結(jié)論． 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a3+a4=9，a2+a6=10， ∴，解得，…………………………2 ∴an=2+1×（n﹣1）=n+1． ……..……………………3 （2）∵Sn是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和， ∴nb1+（n﹣1）b2+…+2bn﹣1+bn=，① （n﹣1）b1+（n﹣2）b2+…+2bn﹣2+bn﹣1=…+，② ①﹣②得b1+b2+…+bn=，……..…………………4 即． 當(dāng)n=1時(shí)，b1=Tn=1，……..…………………5 當(dāng)n≥2時(shí)，bn=Tn﹣Tn﹣1==．……..………………6 ∴．． 于是cn=﹣anbn．……..…………………7 設(shè)存在正整數(shù)k，使得對(duì)?n∈N*，都有cn≤ck恒成立． 當(dāng)n=1時(shí)，，即c2＞c1．……..…………………8 當(dāng)n≥2時(shí)， ==．……..…………………9 ∴當(dāng)n＜7時(shí)，cn+1＞cn； 當(dāng)n=7時(shí)，c8=c7； 當(dāng)n＞7時(shí)，cn+1＜cn．……..…………………10 ∴存在正整數(shù)k=7或8，使得對(duì)?n∈N*，都有cn≤ck恒成立．……..…………………12 18.(本小題滿分12分) 如圖,在△中,,,,,.將△沿邊折起到位置,如圖,且使. (1) 求證:平面； (2) 求平面與平面所成銳二面角的余弦值. 圖1 圖2 B C A D P B C D A S 第18題圖 【解題探究】本題平面幾何的味道很濃. 本題第(1)問(wèn)主要考查了利用相似三角形、直角三角形的性質(zhì)證明線線垂直、線面垂直關(guān)系；第(2)問(wèn)主要考查了如何利用二面角的平面角定義（或用空間向量）求解平面與平面所成銳二面角的余弦值問(wèn)題.難點(diǎn)在于運(yùn)用坐標(biāo)法時(shí)點(diǎn) 坐標(biāo)的確定. 【解析】(1)證明:在直角中,,,． 所以,,． 又,,所以∽,即． 所以,,． 而中,,． 所以,即． B C D A S P M 因?yàn)?所以,又,所以平面． (2)解法1:[傳統(tǒng)法]在圖2中,延長(zhǎng)、相交于點(diǎn)． 連接,取中點(diǎn),連接,如圖． 又,,所以,． 所以為所求二面角的平面角． 又,,, 所以平面,又平面, 所以． 在直角中,,為中點(diǎn),所以,． 在中,由(Ⅰ)知,為中點(diǎn),所以, 所以,即平面與平面所成銳二面角的余弦值為. 注:若不利用這一結(jié)論,也可以利用余弦定理求出. B C D A S y x z 解法2:[向量法]以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示, 由(Ⅰ)知,,,,, 所以,,,, 所以,, 設(shè)平面的法向量為, 則,即,解得, 令,得, 顯然平面的一個(gè)法向量為． 所以． 即平面與平面所成銳二面角的余弦值為． 注：此題改編自選修2-1課本P119的B組第3題，可以發(fā)現(xiàn)，教材原題考查的是無(wú)棱二面角.結(jié)合近兩年的高考命題，要思考以下幾個(gè)方面問(wèn)題： （1）折疊前后的“變”與“不變”問(wèn)題． 在第一問(wèn)的證明中，可以發(fā)現(xiàn)折疊前后“”垂直關(guān)系不變關(guān)系，已知條件中“且使”給出線段的長(zhǎng)度，往往利用“勾股定理”得到線線垂直的關(guān)系． （2）如何作 “無(wú)棱二面角”的棱的問(wèn)題． 常見(jiàn)的有兩種策略． 一是根據(jù)“兩條相交直線唯一確定一個(gè)平面”的定理，只需將所在平面的線段作延長(zhǎng)線產(chǎn)生相交直線，從而找到“無(wú)棱二面角”的棱． 二是根據(jù)“兩條平行直線唯一確定一個(gè)平面”的定理，只需將所在平面的線段過(guò)兩平面已知公共點(diǎn)作平行線，即可找到“無(wú)棱二面角”的棱. （3）學(xué)會(huì)將“局部圖形平面化”的問(wèn)題． 此題在第（2）問(wèn)的解答中，學(xué)生多數(shù)是使用的坐標(biāo)法，難點(diǎn)在于如何求出點(diǎn)的坐標(biāo)．在平時(shí)的教學(xué)中，要讓學(xué)生養(yǎng)成將“局部圖形平面化”的習(xí)慣，具體． B C A D P x y xC yC 方法1（相似比法）：在此題中，建系后，在求點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，可考慮畫(huà)出底面，從而比較容易想到利用相似比等方法求出點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)，如下圖： 方法2（待定系數(shù)法）：待定系數(shù)法求點(diǎn)的坐標(biāo)在立體幾何的向量方法中是比較常見(jiàn)的方法，比如求平面的法向量．此題中，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為（）， 則，解得，． 故點(diǎn)坐標(biāo)為． （4）解決空間角時(shí)綜合法和坐標(biāo)法如何選擇的問(wèn)題． 從新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求來(lái)看，立體幾何中的空間角問(wèn)題主要是讓學(xué)生掌握向量的方法．特別是在解決“鈍二面角”、“無(wú)棱二面角”、探究性問(wèn)題時(shí)坐標(biāo)法體現(xiàn)了其優(yōu)越性． 19.(本小題滿分12分)為考察某種病毒疫苗的效果，進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)，得到如下丟失數(shù)據(jù)的列聯(lián)表 疫苗效果試驗(yàn)列聯(lián)表 感染 未感染 總計(jì) 沒(méi)服用 服用 總計(jì) 設(shè)從沒(méi)服疫苗的動(dòng)物中任取兩只，未感染數(shù)為；從服用疫苗的動(dòng)物中任取兩只，未感染為，工作人員曾計(jì)算過(guò). （1）求出列聯(lián)表中數(shù)據(jù)的值； （2）求與的均值并比較大小，請(qǐng)解釋所得出結(jié)論的實(shí)際含義； （3）能夠以的把握認(rèn)為疫苗有效嗎？ 參考公式： 0.10 0.05 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 參考數(shù)據(jù)： 解析：（1）依題，∵ ， ∴，解之得，所以.從而. （2），取值為.則依題有 從而 從而. 也即，其實(shí)際含義即表明這種病毒疫苗有效. （3）由題意， 由參考數(shù)據(jù)，，從而可知不能夠以的把握認(rèn)為此病毒疫苗有效. 【規(guī)律總結(jié)】高考對(duì)統(tǒng)計(jì)的考查注重考查考生恰當(dāng)?shù)厥占瘮?shù)據(jù)、用圖表整理數(shù)據(jù)，恰當(dāng)?shù)赜脭?shù)字特征描述數(shù)據(jù)做統(tǒng)計(jì)推斷.其中列表作圖以及計(jì)算數(shù)字特征，理解數(shù)字特征的實(shí)際意義是關(guān)鍵，要強(qiáng)化訓(xùn)練. 20.(本小題滿分12分) 已知橢圓與雙曲線 在一、二、三、四象限分別交于四點(diǎn)， （1）求四邊形面積最大時(shí)雙曲線的方程； （2）當(dāng)時(shí)，兩條平行直線、與雙曲線均相切，問(wèn)軸上是否存在定點(diǎn),使到距離之積恒為，如果存在求出點(diǎn)的坐標(biāo)； 解：（1）假設(shè)點(diǎn)，由對(duì)稱性可知 四邊形面積， 因?yàn)?，所以，? 當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)， 所以四邊形面積最大值是. 將代入得，此時(shí)雙曲線的方程是； （2）當(dāng)時(shí)，雙曲線的方程是， 列方程組消元得， ， 化簡(jiǎn)得：. 假設(shè)，則到直線距離是，到直線距離是， 依題意，即. 所以或， 當(dāng)時(shí)恒成立！ 所以存在定點(diǎn),使到距離之積恒為； 21.(本小題滿分12分) （原創(chuàng)）已知函數(shù) （1）在上恒成立；求實(shí)數(shù)的取值范圍； （2）探討的零點(diǎn)個(gè)數(shù). 解：（1）設(shè) ， ①當(dāng)時(shí)， 得單調(diào)遞增 ②當(dāng)時(shí)， 得：在上單調(diào)遞減矛盾 綜上得： （2）設(shè) 則 在上單調(diào)遞增 在上單調(diào)遞減 ①當(dāng)時(shí)，有唯一零點(diǎn) ②當(dāng)時(shí)， 設(shè) 于是，；當(dāng)， 則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減 所以 當(dāng)時(shí)，，由在上有一個(gè)零點(diǎn) 由在上有一個(gè)零點(diǎn) 當(dāng)時(shí)，由在上有一個(gè)零點(diǎn) 設(shè) 于是，；當(dāng)， 則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減 得： 得：在上有一個(gè)零點(diǎn) 綜上得：當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn) 當(dāng)時(shí)，有二個(gè)零點(diǎn) 請(qǐng)考生在第22,23題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計(jì)分,作答時(shí)請(qǐng)寫清楚題號(hào). 22.(本小題滿分10分)選修:坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講 直線的極坐標(biāo)方程為,圓的極坐標(biāo)方程為,以極點(diǎn)為原點(diǎn), 極軸為軸正半軸建立直角坐標(biāo)系. (Ⅰ) 求直線與圓的直角坐標(biāo)方程. (Ⅱ) 若為圓上的動(dòng)點(diǎn),求到直線的距離的最大值. 【命題意圖】本題考查直線與圓的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的掌握與運(yùn)用，考查考生運(yùn)算求解能力和對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用. 【解析】(Ⅰ)由于 則直線:,圓的方程為………………4分 (Ⅱ)[方法1]設(shè),則, 當(dāng)時(shí),取得最大值.……………………………………10分 [方法2]圓心到直線的距離為,圓的半徑為, 所以到直線的距離的最大值為.……………………………………10分 23.(本小題滿分10分)選修:不等式選講 已知函數(shù). (Ⅰ) 解不等式； (Ⅱ) 任意,恒成立,求的取值范圍. 【命題意圖】本題考查簡(jiǎn)單的絕對(duì)值不等式的解法以及恒成立問(wèn)題. 理科數(shù)學(xué)試題 第 15 頁(yè) 共 15 頁(yè)