2018年福建省福州市高三下學期質量檢測（3月）數學（理） PDF版,2018年福建省福州市高三下學期質量檢測（3月）數學（理）,PDF版,2018,福建省,福州市,高三下,學期,質量,檢測,數學,PDF 理科數學參考答案及評分細則 第 1 頁（共 11 頁） 2018 年福州市高中畢業(yè)班質量檢測 理科數學參考答案及評分細則 評分說明： 1本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據試題的主要考查內容比照評分標準制定相應的評分細則。 2對計算題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應給分數的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分。 3解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數。 4只給整數分數。選擇題和填空題不給中間分。 一、選擇題：本大題考查基礎知識和基本運算每小題一、選擇題：本大題考查基礎知識和基本運算每小題 5 分，滿分分，滿分 60 分分 （1）B （2）C （3）B （4）B （5）D （6）A （7）D （8）B （9）C （10）C （11）D （12）B 二、填空題：本大題考查基礎知識和基本運算每小題二、填空題：本大題考查基礎知識和基本運算每小題 5 分，滿分分，滿分 20 分分 （13）6 （14）3 34 （15）6, （16）1 三、解答題：本大題共三、解答題：本大題共 6 小題，共小題，共 70 分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟 (17) 本小題考查等差數列的通項與前n項和的公式、等比數列的前n項和的公式、錯位相減法求數列的和等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數與方程思想、化歸和轉化思想等滿分 12 分 解法一： （1）設等差數列na的公差為d， 因為1055105SS， 所以11015105225,105aaaa 2 分 所以10510,aa 3分 所以510d ， 解得2d . 4分 理科數學參考答案及評分細則 第 2 頁（共 11 頁） 所以1(1)2(1)22naandnn； 5分 (2)由（1）知，2nan，所以2222nnnSnn 6分 所以2122424222,nnSnnannnnnbannn 7分 所以34521 222222nnTn ， 所以456232 1 2223 2(1) 22nnnTnn ， 8分 34232222nnnTn 9分 332 (12 )212nnn 10分 33282nnn 11分 所以3(1)28nnTn. 12分 解法二： （1）設等差數列na的公差為d， 因為1055105SS， 所以111095410+5+225,105adad 2分 所以552d， 3分 解得2.d 4分 所以1(1)2(1)22naandnn; 5分 (2)由（1）知，2nan，所以2222nnnSnn 6分 所以2122424222,nnSnnannnnnbannn 7分 設322 (1) 2() 2(2) 2nnnnbA nBAnBAnAB， 8分 所以222(2) 2nnnAnAB， 所以1,20,AAB解得1,2.AB 9分 所以32(1) 222nnnbnn， 10分 理科數學參考答案及評分細則 第 3 頁（共 11 頁） 所以12nnTbbb 3565320121 20221 2(1) 222nnnn 11分 33(1) 212nn 3(1)28nn 12分 (18) 本小題主要考查空間直線與直線、直線與平面的平行關系及線面角等基礎知識，考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想等滿分12分 解： （1）證明:如圖，連接1AB、1AB交于點H，1AB交EF于點K,連接DK， 因為11ABB A為矩形,所以H為線段1AB中點, 1分 因為點E、F分別為棱1,AB BB的中點， 所以點K為線段BH的中點，所以13AKBK 又因為3CDBD，所以1ACDK 2分 又1AC 平面DEF，DK 平面DEF， 3分 所以1AC平面DEF； 4分 （2）由（1）知，1EHAA，因為1AA 平面ABC，所以EH 平面ABC 因為ABC為正三角形，且點E為棱AB的中點， 所以CEAB 5分 故以點E為坐標原點，分別以,EA EH EC 的方向為x軸、y軸、z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系Exyz設4AB ，10AAt t（）， 則1(2, ,0),(0,0,2 3),(0,0,0),( 2,0)2tAtCEF ，33(,0,)22D ， 所以1( 2,2 3),( 2,0)2tACtEF ， 因為1ACEF，所以10AC EF ， 所以 222 3002tt ，解得2 2t 7分 所以( 2, 2,0),EF 33(,0,)22ED ， 設平面DEF的法向量為( , , )nx y z， xyHKFDEB1C1CBA1Az 理科數學參考答案及評分細則 第 4 頁（共 11 頁） 則00EF nED n ，所以22033022xyxz， 取1x ，則(1, 2, 3)n 9分 又因為11( 2,0,2 3)ACAC ，設直線11AC與平面DEF所成的角為， 所以11sincos, n AC 1111n ACnAC 46664 11分 所以直線11AC與平面DEF所成的角的正弦值為66. 12分 (19) 本小題主要考查頻率分布直方圖，隨機變量的分布列與期望，二項分布，樣本的數字特征及正態(tài)分布等基礎知識，考查用數據說話的能力、運算求解能力，考查或然與必然思想等滿分12分 解： （1）由頻率估計概率， 產品為正品的概率為0.0330.0240.0080.002100.67， 2分 所以隨機變量X的分布列為： 90 30 P 0.67 0.33 3分 所以 90 0.67300.3350.4E . 4分 （2） 由頻率分布直方圖， 抽取產品的該項質量指標值的樣本平均數x和樣本方差2s分別為 700.02800.09900.221000.33 1100.241200.081300.02100 x ， 5分 2222222300.02200.09100.2200.33100.24200.08s 2300.02150 6分 因為100,150ZN， 從而88.8112.2100 12.2100 12.20.6826PZPZ. 8分 理科數學參考答案及評分細則 第 5 頁（共 11 頁） 由知，一件產品中該項質量指標值位于區(qū)間87.8,112.2的概率為0.6826， 依題意知500,0.6826XB， 10分 所以5000.6826341.3E X. 12分 (20) 本小題考查橢圓的標準方程及其幾何性質、直線與橢圓的位置關系、圓的概念等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化的思想、分類與整合思想等滿分12分 解法一： （1）設點( , )M x y,由2MQAQ ，得( ,2 )A xy， 2分 由于點A在圓:C224xy上，則2244xy， 3分 即點M的軌跡E的方程為2214xy. 4分 （2）由（1）知，E的方程為2214xy， 因為E與y軸正半軸的交點為B，所以B0,1 . 所以過點B斜率為k的直線l的方程為1(0)ykxk. 由22114ykxxy得22(14)80kxkx， 設1122( ,), (,)B x yP xy，因此12280,14kxxk ， 5分 2212281114kBPkxxkk. 6分 由于圓與橢圓的公共點有個，由對稱性可設在軸左側的橢圓上有兩個不同的公共點,P T，滿足BPBT此時直線BP斜率0k ， 記直線BT的斜率為，且10k ，1kk 則121218114kBTkk， 7分 故122122188111414kkkkkk,所以24241122101414kkkkkk， 即224224111(14)(14)kkkkkk， 4y1k 理科數學參考答案及評分細則 第 6 頁（共 11 頁） 所以222222111()(18)0kkkkk k， 8分 由于1kk，因此222211180kkk k， 故22122111198188 81kkkk. 9分 因為20k ，所以21810k ， 因此221191888 81kk，又因為0k ，所以24k . 10分 又因為1kk，所以2222180kkk k， 所以42821 0kk ，又因為0k ，解得22k . 所以222(,)(,)422k； 根據橢圓的對稱性，222(,)(,)224k 也滿足題意； 11分 綜上所述，k的取值范圍為222222(,)(,)(,)(,)224422 12分 解法二： （1）設點11( , ), ( ,),M x y A x y則1( ,0)Q x. 因為2MQAQ ，所以112,0,xxyy，所以11202xxyy ， 1分 解得112xxyy. 2分 由于點A在圓:C224xy上，所以2244xy， 3分 理科數學參考答案及評分細則 第 7 頁（共 11 頁） 所以點M的軌跡E的方程為2214xy. 4分 （2）由（1）知，E的方程為2214xy，因為直線:1(0)l ykxk， 由22114ykxxy得22(14)80kxkx， 設1122(,),(,)B x yP xy，因此12280,14kxxk ， 5分 2212281114kBPkxxkk. 6分 則點的P的軌跡方程為22222264(1)(1)(14)kkxyk， 由2222222264(1)(1),(14)44,kkxykxy 得2222264(1)3250, ( 11) (*)(14)kkyyyk 7分 依題意得，(*)式關于y的方程在( 1,1)有兩個不同的實數解. 設2222264(1)( )325( 11)(14)kkf yyyyk ， 8分 因為函數( )f y的對稱軸為13x ， 要使函數( )f y的圖象在( 1,1)與x軸有兩個不同的交點， 則222264(1)443 50,(14)( 1)0,kkkf 10分 整理得4222224410,64(1)40,(14)kkkkk 即42424410,12810,kkkk 理科數學參考答案及評分細則 第 8 頁（共 11 頁） 所以221,21.8kk 11分 解得222222(,)(,)(,)(,)224422k . 所以k的取值范圍為222222(,)(,)(,)(,)224422 12分 (21) 本小題主要考查導數及其應用、函數的零點、函數的最值與值域等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、抽象概括能力等，考查函數與方程思想、化歸與轉化思想、分類與整合思想、數形結合思想等. 解： （1）函數( )f x的定義域為(0,)，且( )ln1fxx . 1分 令( )0fx，得1ex . 當01ex時，( )0f x，( )f x在區(qū)間(0, )e1內單調遞減; 當e1x 時，( )0f x，( )f x在區(qū)間()e1,內單調遞增. 3分 故min( )( )ee11f xfa. 3分 因為0a ，當0,1x時，ln0 xx ，即( )0f x ， 所以函數( )f x在區(qū)間0,1內無零點. 4分 因為(1)0fa，1(ee0)-eaaafaaa . 又( )f x在區(qū)間()1,內單調遞增， 根據零點存在性定理，得 函數( )f x在區(qū)間( e)1,a內有且只有一個零點. 5分 綜上，當0a 時，函數( )f x在(0,)的零點個數為1. 6分 （2）( )4 ln4ln4ag xxxaxx， 理科數學參考答案及評分細則 第 9 頁（共 11 頁） 則( )4ln4ag xxx，由（1）知，ln4ayxx在1x 時單調遞增， 對任意e,04a ，(1)0ga，e(0e)44ag. 因此，存在唯一, 1 eax ，使得()0ag x. 7分 當1axx時，( )0g x，( )g x單調遞減; 當axx時，( )0g x，( )g x單調遞增. 因此( )g x在axx處取得最小值()ag x， 22()2lnaaaaag xxxxax 22222ln4ln2lnaaaaaaaaaxxxxxxxxx 8分 于是( )h a2212eln,aaaaxxxx ， 由222ln4 (ln1)xxxxx 0(,)1 ex， 得222lnyxxx 在1,e單調遞減. 9分 所以，由, 1 eax ，得222lneee( )h a222l11 1n ， 23e( )h a1， 10分 因為222lnyxxx (e )1,x單調遞減， 對任意23e , 1 ， 存在唯一的, 1 eax ，n,04el4aaaxx ， 使得( )h a.所以( )h a的值域是23e , 1. 11分 綜上，當e,04a ，函數22( )2lng xxxxax有最小值， ( )h a的值域是23e , 1. 12分 (22) 本小題考查極坐標方程、直線與圓的位置關系、三角形面積的最值等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想等滿分10分 解： （1）設P的極坐標為,0 ，Q的極坐標為11,0 ， 理科數學參考答案及評分細則 第 10 頁（共 11 頁） 由題設知，OP，12cos6OQ， 1分 由4OQ OP得2C的極坐標方程2cos06， 3分 因此2C的直角坐標方程為2231122xy,但不包括點0 0，. 5分 （2）設點B的極坐標為,0BB ， 由題設知2OA ，2cos6B， 6分 于是AOB面積為1sin2BSOAAOB 7分 2cossin63= 2332 sin,42 9分 當0時，S取得最大值32. 所以AOB面積的最大值為32. 10分 (23) 本小題考查絕對值不等式的解法、不等式恒成立等基礎知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查分類與整合思想、化歸與轉化思想等滿分10分 解：（1）不等式 2f xx等價于2210 xxx， 當0 x時，式化為2310 xx， 1分 解得352x或3502x； 3分 當0 x時，式化為210 xx， 4分 解得0 x， 綜上所述，不等式 2f xx的解集為353522x xx或. 5分 理科數學參考答案及評分細則 第 11 頁（共 11 頁） （2）不等式( )2xf xa在0,上恒成立， 2xf xaf x在0,上恒成立， 6分 22112xxxaxx在0,上恒成立， ， 22131122xxaxx在0,上恒成立， ， 7分 由221115151241616xxx （當且僅當14x 時取等號） ， 8分 2233771241616xxx （當且僅當34x 時取等號） ， 9分 所以1571616a， 綜上所述，a的取值范圍是15 7,16 16. 10分