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高等數(shù)學(xué) 第十二章 無窮級數(shù)

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1、第十二章 無窮級數(shù) 【教學(xué)重點(diǎn)】 1、級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。 2、正項(xiàng)級數(shù)收斂性的比較判別法、比值判別法和根值判別; 3、交錯級數(shù)的萊布尼茨判別法; 4、冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域; 5、,和的麥克勞林展開式; 6、傅里葉級數(shù)。 【教學(xué)難點(diǎn)】 1、 比較判別法的極限形式; 2、 萊布尼茨判別法; 3、 任意項(xiàng)級數(shù)的絕對收斂與條件收斂; 4、 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂域及和函數(shù); 5、 泰勒級數(shù); 6、 傅里葉級數(shù)的狄利克雷定理。 第一節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念與性質(zhì) 一、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念

2、 常數(shù)項(xiàng)級數(shù): 給定一個數(shù)列 u1, u2, u3, × × ×, un, × × ×, 則由這數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式u1 + u2 + u3 + × × ×+ un + × × ×叫做常數(shù)項(xiàng))無窮級數(shù), 簡稱常數(shù)項(xiàng))級數(shù), 記為, 即 , 其中第n項(xiàng)u n 叫做級數(shù)的一般項(xiàng). 級數(shù)的部分和: 作級數(shù)的前n項(xiàng)和 稱為級數(shù)的部分和. 級數(shù)斂散性定義: 如果級數(shù)的部分和數(shù)列有極限s, 即, 則稱無窮級數(shù)收斂, 這時極限s叫做這級數(shù)的和, 并寫成 ; 如

3、果沒有極限, 則稱無窮級數(shù)發(fā)散. 余項(xiàng): 當(dāng)級數(shù)收斂時, 其部分和s n是級數(shù)的和s的近似值, 它們之間的差值 rn=s-sn=un+1+un+2+ × × × 叫做級數(shù)的余項(xiàng). 例1 討論等比級數(shù)(幾何級數(shù)) 的斂散性, 其中a10, q叫做級數(shù)的公比. 解 如果q11, 則部分和 . 當(dāng)|q|<1時, 因?yàn)? 所以此時級數(shù)收斂, 其和為. 當(dāng)|q|>1時, 因?yàn)? 所以此時級數(shù)發(fā)散. 如果|q|=1, 則當(dāng)q=1時, sn =na?¥, 因此級數(shù)發(fā)散;

4、 當(dāng)q=-1時, 級數(shù)成為 a-a+a-a+ × × ×, 當(dāng)|q|=1時, 因?yàn)閟n 隨著n為奇數(shù)或偶數(shù)而等于a或零, 所以sn的極限不存在, 從而這時級數(shù)也發(fā)散. 綜上所述,級數(shù) 例2 證明級數(shù) 1+2+3+× × ×+n+× × × 是發(fā)散的. 證 此級數(shù)的部分和為 . 顯然, , 因此所給級數(shù)是發(fā)散的. 例3 判別無窮級數(shù) 的收斂性. 提示: .

5、 二、收斂級數(shù)的基本性質(zhì) 性質(zhì)1 如果級數(shù)收斂于和s, 則它的各項(xiàng)同乘以一個常數(shù)k所得的級數(shù)也收斂, 且其和為ks. 性質(zhì)2 如果級數(shù)收斂于和s, 則級數(shù)也收斂, 且其和為ks. 性質(zhì)3 如果, 則. 性質(zhì)4 如果級數(shù)、分別收斂于和s、s, 則級數(shù)也收斂, 且其和為s±s. 性質(zhì)5 如果、, 則. 性質(zhì)6 在級數(shù)中去掉、加上或改變有限項(xiàng), 不會改變級數(shù)的收斂性. 比如, 級數(shù)是收斂的, 級數(shù)也是收斂的, 級數(shù)也是收斂的. 性質(zhì)7 如果級數(shù)收斂, 則對這級數(shù)的項(xiàng)任意加括號后所成的級數(shù)仍收斂,

6、 且其和不變. 應(yīng)注意的問題: 如果加括號后所成的級數(shù)收斂, 則不能斷定去括號后原來的級數(shù)也收斂. 例如, 級數(shù) (1-1)+(1-1) +× × ×收斂于零, 但級數(shù)1-1+1-1+× × ×卻是發(fā)散的. 推論: 如果加括號后所成的級數(shù)發(fā)散, 則原來級數(shù)也發(fā)散. 級數(shù)收斂的必要條件: 性質(zhì)8 如果收斂, 則它的一般項(xiàng)un 趨于零, 即. 應(yīng)注意的問題: 級數(shù)的一般項(xiàng)趨于零并不是級數(shù)收斂的充分條件. 例4 證明調(diào)和級數(shù) 是發(fā)散的. 證: 假若級數(shù)收

7、斂且其和為s, sn是它的部分和. 顯然有及. 于是. 但另一方面, , 故, 矛盾. 這矛盾說明級數(shù)必定發(fā)散. 小結(jié) 1.常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念; 2. 常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的性質(zhì); 第二節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的審斂法 一、正項(xiàng)級數(shù)及其審斂法 正項(xiàng)級數(shù): 各項(xiàng)都是正數(shù)或零的級數(shù)稱為正項(xiàng)級數(shù). 定理1 正項(xiàng)級數(shù)收斂的充分必要條件它的部分和數(shù)列{sn}有界. 定理2(比較審斂法) 設(shè)和都是正項(xiàng)級數(shù), 且un£vn(k>0, "n3N). 若收斂, 則收斂; 若發(fā)散, 則發(fā)散. 證 設(shè)級數(shù)收斂于和

8、s, 則級數(shù)的部分和 sn=u1+u2+ × × × +un£v1+ v2+ × × × +vn£s (n=1, 2, × × ×), 即部分和數(shù)列{sn}有界, 由定理1知級數(shù)收斂. 反之, 設(shè)級數(shù)發(fā)散, 則級數(shù)必發(fā)散. 因?yàn)槿艏墧?shù) 收斂, 由上已證明的結(jié)論, 將有級數(shù)也收斂, 與假設(shè)矛盾. 推論 設(shè)和都是正項(xiàng)級數(shù), 如果級數(shù)收斂, 且存在自然數(shù)N, 使當(dāng)n3N時有un£kvn(k>0)成立, 則級數(shù)收斂; 如果級數(shù)發(fā)散, 且當(dāng)n3N時有un3kvn(k>0)成立, 則級數(shù)發(fā)散. 例1 討論p-級數(shù)

9、 的收斂性, 其中常數(shù)p>0. 提示: 級數(shù)的部分和為 . 因?yàn)? 所以級數(shù)收斂. p-級數(shù)的收斂性: p-級數(shù)當(dāng)p>1時收斂, 當(dāng)p£1時發(fā)散. 例2 證明級數(shù)是發(fā)散的. 證 因?yàn)? 而級數(shù)是發(fā)散的, 根據(jù)比較審斂法可知所給級數(shù)也是發(fā)散的. 定理3(比較審斂法的極限形式) 設(shè)和都是正項(xiàng)級數(shù), (1)如果(0£l<+¥), 且級數(shù)收斂, 則級數(shù)收斂; (2)如果, 且級數(shù)發(fā)散, 則級數(shù)發(fā)散. 證明 由極限的定義可知, 對, 存在自然數(shù)N, 當(dāng)n>

10、N時, 有不等式 , 即, 再根據(jù)比較審斂法的推論1, 即得所要證的結(jié)論. 例3 判別級數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)? 而級數(shù)發(fā)散, 根據(jù)比較審斂法的極限形式, 級數(shù)發(fā)散. 例4 判別級數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)? 而級數(shù)收斂, 根據(jù)比較審斂法的極限形式, 級數(shù)收斂. 定理4(比值審斂法, 達(dá)朗貝爾判別法) 若正項(xiàng)級數(shù)的后項(xiàng)與前項(xiàng)之比值的極限等于r: , 則當(dāng)r<1時級數(shù)收斂; 當(dāng)r>1(或)時級數(shù)發(fā)散; 當(dāng)r =1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.

11、 例5 證明級數(shù) 是收斂的. 例6 判別級數(shù)的收斂性. 例7 判別級數(shù)的收斂性. 提示: , 比值審斂法失效. 因?yàn)? 而級數(shù)收斂, 因此由比較審斂法可知所給級數(shù)收斂. 定理5(根值審斂法, 柯西判別法) 設(shè)是正項(xiàng)級數(shù), 如果它的一般項(xiàng)un的n次根的極限等于r: , 則當(dāng)r<1時級數(shù)收斂; 當(dāng)r>1(或)時級數(shù)發(fā)散; 當(dāng)r=1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 例8 證明級數(shù)是收斂的. 并估計(jì)以級數(shù)的部分和sn近似代替和s所產(chǎn)生的誤差. 解 因?yàn)? 所以根據(jù)

12、根值審斂法可知所給級數(shù)收斂. 以這級數(shù)的部分和sn 近似代替和s所產(chǎn)生的誤差為 + . 例9判定級數(shù)的收斂性. 定理6(極限審斂法) 設(shè)為正項(xiàng)級數(shù), (1)如果, 則級數(shù)發(fā)散; (2)如果p>1, 而, 則級數(shù)收斂. 例10 判定級數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)? 故, 根據(jù)極限審斂法, 知所給級數(shù)收斂. 例11 判定級數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)?, 根據(jù)極限審斂法, 知所給級數(shù)收斂. 二、交錯級數(shù)及其審斂法

13、 交錯級數(shù): 交錯級數(shù)是這樣的級數(shù), 它的各項(xiàng)是正負(fù)交錯的. 交錯級數(shù)的一般形式為, 其中. 例如, 是交錯級數(shù), 但不是交錯級數(shù). 定理7(萊布尼茨定理) 如果交錯級數(shù)滿足條件: (1)un3un+1 (n=1, 2, 3, × × ×); (2), 則級數(shù)收斂, 且其和s£u1, 其余項(xiàng)rn的絕對值|rn|£un+1. 簡要證明: 設(shè)前n項(xiàng)部分和為sn. 由s2n=(u1-u2)+(u3-u4)+ × × × +(u2n 1-u2n), 及 s2n=u1-

14、(u2-u3)+(u4-u5)+ × × × +(u2n-2-u2n-1)-u2n 看出數(shù)列{s2n}單調(diào)增加且有界(s2n

15、收斂, 而級數(shù)發(fā)散, 則稱級條件收斂. 例13 級數(shù)是絕對收斂的, 而級數(shù)是條件收斂的. 定理8 如果級數(shù)絕對收斂, 則級數(shù)必定收斂. 值得注意的問題: 如果級數(shù)發(fā)散, 我們不能斷定級數(shù)也發(fā)散. 但是, 如果我們用比值法或根值法判定級數(shù)發(fā)散, 則我們可以斷定級數(shù)必定發(fā)散. 這是因?yàn)? 此時|un|不趨向于零, 從而un也不趨向于零, 因此級數(shù)也是發(fā)散的. 例14 判別級數(shù)的收斂性. 例15 判別級數(shù)的收斂性. 小結(jié) 1.利用部分和數(shù)列的極限判別級數(shù)的斂散性; 2. 利用正項(xiàng)級數(shù)審斂法;

16、3. 任意項(xiàng)級數(shù)審斂法:Leibniz判別法。 第三節(jié) 冪函數(shù) 一、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念 函數(shù)項(xiàng)級數(shù): 給定一個定義在區(qū)間I 上的函數(shù)列{un(x)}, 由這函數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式 u1(x)+u2(x)+u3(x)+ × × × +un(x)+ × × × 稱為定義在區(qū)間I上的(函數(shù)項(xiàng))級數(shù), 記為. 收斂點(diǎn)與發(fā)散點(diǎn): 對于區(qū)間I內(nèi)的一定點(diǎn)x0, 若常數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂, 則稱點(diǎn)x0是級數(shù)的收斂點(diǎn). 若常數(shù)項(xiàng)級數(shù)發(fā)散, 則稱點(diǎn)x0是級數(shù)的發(fā)散點(diǎn). 收斂域與發(fā)散域: 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的所有收斂點(diǎn)的全體稱

17、為它的收斂域, 所有發(fā)散點(diǎn)的全體稱為它的發(fā)散域. 和函數(shù): 在收斂域上, 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和是x的函數(shù)s(x), s(x)稱為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和函數(shù), 并寫成. ∑un(x)是的簡便記法, 以下不再重述. 在收斂域上, 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)∑un(x)的和是x的函數(shù)s(x), s(x)稱為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)∑un(x)的和函數(shù), 并寫成s(x)=∑un(x). 這函數(shù)的定義就是級數(shù)的收斂域, 部分和: 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的前n項(xiàng)的部分和記作sn(x), 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)∑un(x)的前n項(xiàng)的部分和記作sn(x), 即 sn(x)

18、= u1(x)+u2(x)+u3(x)+ × × × +un(x). 在收斂域上有或sn(x)?s(x)(n?¥) . 余項(xiàng): 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和函數(shù)s(x)與部分和sn(x)的差 rn (x)=s(x)-sn(x)叫做函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的余項(xiàng). 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)∑un(x)的余項(xiàng)記為rn (x), 它是和函數(shù)s(x)與部分和sn(x)的差 rn (x)=s(x)-sn(x). 在收斂域上有. 二、冪級數(shù)及其收斂性 冪級數(shù): 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)中簡單而常見的一類級數(shù)就是各項(xiàng)都冪函數(shù)的函數(shù) 項(xiàng)級數(shù), 這種形式的級數(shù)稱為冪級數(shù), 它的形式是

19、 a0+a1x+a2x2+ × × × +anxn+ × × × , 其中常數(shù)a0, a1, a2, × × × , an , × × ×叫做冪級數(shù)的系數(shù). 冪級數(shù)的例子: 1+x+x2+x3+ × × × +xn + × × × , . 注: 冪級數(shù)的一般形式是 a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+ × × × +an(x-x0)n+ × × × , 經(jīng)變換t=x-x0就得a0+a1t+a2t2+ × × × +antn

20、+ × × × . 冪級數(shù) 1+x+x2+x3+ × × × +xn + × × × 可以看成是公比為x的幾何級數(shù). 當(dāng)|x|<1時它是收斂的; 當(dāng)|x|31時, 它是發(fā)散的. 因此它的收斂 域?yàn)?-1, 1), 在收斂域內(nèi)有 . 定理1 (阿貝爾定理) 如果級數(shù)當(dāng)x=x0 (x010)時收斂, 則適合不等式 |x|<|x0|的一切x使這冪級數(shù)絕對收斂. 反之, 如果級數(shù)當(dāng) x=x0時發(fā)散, 則適合不等式|x|>|x0|的一切x使這冪級數(shù)發(fā)散. 提示: ∑anxn是的簡記形式. 簡要證明 設(shè)∑an

21、xn在點(diǎn)x0收斂, 則有anx0n?0(n?¥) , 于是數(shù)列{anx0n}有界, 即存在一個常數(shù)M, 使| anx0n |£M(n=0, 1, 2, × × ×). 因?yàn)? , 而當(dāng)時, 等比級數(shù)收斂, 所以級數(shù)∑|anxn|收斂, 也就是級數(shù)∑anxn絕對收斂. 定理的第二部分可用反證法證明. 倘若冪級數(shù)當(dāng)x=x0時發(fā)散而有一點(diǎn)x1適合|x1|>|x0|使級數(shù)收斂, 則根據(jù)本定理的第一部分, 級數(shù)當(dāng)x=x0時應(yīng)收斂, 這與所設(shè)矛盾. 定理得證. 推論 如果級數(shù)不是僅在點(diǎn)x=0一點(diǎn)收斂, 也不是在整個數(shù)軸上都收斂, 則必有一個完全確定的正數(shù)R存在, 使得

22、 當(dāng)|x|R時, 冪級數(shù)發(fā)散; 當(dāng)x=R與x=-R時, 冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 收斂半徑與收斂區(qū)間: 正數(shù)通常叫做冪級數(shù)的收斂半徑. 開區(qū)間(-R, R)叫做冪級數(shù)的收斂區(qū)間. 再由冪級數(shù)在x=±R處的收斂性就可以決定它的收斂域. 冪級數(shù)的收斂域是(-R, R)(或[-R, R)、(-R, R]、[-R, R]之一. 規(guī)定: 若冪級數(shù)只在x=0收斂, 則規(guī)定收斂半徑R=0 , 若冪級數(shù)對一切x都收斂, 則規(guī)定收斂半徑R=+¥, 這時收斂域?yàn)?-¥,

23、 +¥). 定理2 如果, 其中an、an+1是冪級數(shù)的相鄰兩項(xiàng)的系數(shù), 則這冪級數(shù)的收斂半徑 . 簡要證明: . (1)如果0

24、級數(shù)成為, 是收斂的; 當(dāng)x=-1時, 冪級數(shù)成為, 是發(fā)散的. 因此, 收斂域?yàn)?-1, 1]. 例2 求冪級數(shù)的收斂域. 例3 求冪級數(shù)的收斂半徑. 例4 求冪級數(shù)的收斂半徑. 解 級數(shù)缺少奇次冪的項(xiàng), 定理2不能應(yīng)用. 可根據(jù)比值審斂法來求收斂半徑, 冪級數(shù)的一般項(xiàng)記為. 因?yàn)?, 當(dāng)4|x|2<1即時級數(shù)收斂; 當(dāng)4|x|2>1即時級數(shù)發(fā)散, 所以收斂半徑為. 提示: . 例5 求冪級數(shù)的收斂域. 解 令t=x-1, 上述級數(shù)變?yōu)? 因?yàn)?, 所以收斂半徑R=2.

25、 當(dāng)t=2時, 級數(shù)成為, 此級數(shù)發(fā)散; 當(dāng)t=-2時, 級數(shù)成為, 此級數(shù)收斂. 因此級數(shù)的收斂域?yàn)?2£t<2. 因?yàn)?2£x-1<2, 即-1£x<3, 所以原級數(shù)的收斂域?yàn)閇-1, 3). 三、冪級數(shù)的運(yùn)算 設(shè)冪級數(shù)及分別在區(qū)間(-R, R)及(-R¢, R¢)內(nèi)收斂, 則在(-R, R)與(-R¢, R¢)中較小的區(qū)間內(nèi)有 加法: , 減法: , 設(shè)冪級數(shù)∑anxn及∑bnxn分別在區(qū)間(-R, R)及(-R¢, R¢)內(nèi)收斂, 則在(-R, R)與(-R¢, R¢)中較小的區(qū)間內(nèi)有 加法:

26、 ∑anxn+∑bnxn =∑(an+bn)xn , 減法: ∑anxn-∑bnxn =∑(an-bn)xn . 乘法: =a0b0+(a0b1+a1b0)x+(a0b2+a1b1+a2b0)x2+ × × × +(a0bn+a1bn-1+ × × × +anb0)xn+ × × × 性質(zhì)1 冪級數(shù)的和函數(shù)s(x)在其收斂域I上連續(xù). 如果冪級數(shù)在x=R (或x=-R)也收斂, 則和函數(shù)s(x)在(-R, R](或[-R, R))連續(xù). 性質(zhì)2 冪級數(shù)的和函數(shù)s(x)在其收斂域I上可積, 并且有逐項(xiàng)積分公式

27、 (x?I ), 逐項(xiàng)積分后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑. 性質(zhì)3 冪級數(shù)的和函數(shù)s(x)在其收斂區(qū)間(-R, R)內(nèi)可導(dǎo), 并且有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式 (|x|

28、有. 從而. 因?yàn)? , 所以, 當(dāng)x10時, 有, 從而 . 提示: 應(yīng)用公式, 即. . 例7 求級數(shù)的和. 小結(jié) 1.求冪級數(shù)收斂域和收斂半徑的方法; 2. 冪級數(shù)的性質(zhì)。 第四節(jié) 函數(shù)展開成冪級數(shù) 一、泰勒級數(shù) 要解決的問題: 給定函數(shù)f(x), 要考慮它是否能在某個區(qū)間內(nèi)“展開成冪級數(shù)”, 就是說, 是否能找到這樣一個冪級數(shù), 它在某區(qū)間內(nèi)收斂, 且其和恰好就是給定的函數(shù)f(x). 如果能找到這樣的冪級數(shù), 我們就說, 函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)能展開成冪級數(shù), 或簡單地說函數(shù)f(x)能展開成冪級數(shù)

29、, 而該級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)就表達(dá)了函數(shù)f(x). 泰勒多項(xiàng)式: 如果f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù), 則在該鄰域內(nèi)f(x)近似等于 , 其中(x介于x與x0之間). 泰勒級數(shù): 如果f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)f¢(x), f¢¢(x), × × × , f (n)(x), × × × , 則當(dāng)n?¥時, f(x)在點(diǎn)x0的泰勒多項(xiàng)式 成為冪級數(shù) 這一冪級數(shù)稱為函數(shù)f(x)的泰勒級數(shù). 顯然, 當(dāng)x=x0時, f(x)的泰勒級數(shù)收斂于f(

30、x0). 需回答的問題: 除了x=x0外, f(x)的泰勒級數(shù)是否收斂? 如果收斂, 它是否一定收斂于f(x)? 定理 設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域U(x0)內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù), 則f(x)在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級數(shù)的充分必要條件是f(x)的泰勒公式中的余項(xiàng)Rn(x)當(dāng)n?0時的極限為零, 即 . 證明 先證必要性. 設(shè)f(x)在U(x0)內(nèi)能展開為泰勒級數(shù), 即 , 又設(shè)sn+1(x)是f(x)的泰勒級數(shù)的前n+1項(xiàng)的和, 則在U(x0)內(nèi)sn+1(x)? f(x)(n?¥). 而f(x)的n階泰勒公式可寫成f(x)=sn

31、+1(x)+Rn(x), 于是R n(x)=f(x)-sn+1(x)?0(n?¥). 再證充分性. 設(shè)Rn(x)?0(n?¥)對一切x?U(x0)成立. 因?yàn)閒(x)的n階泰勒公式可寫成f(x)=sn+1(x)+R n(x), 于是sn+1(x)=f(x)-R n(x)?f(x), 即f(x)的泰勒級數(shù)在U(x0)內(nèi)收斂, 并且收斂于f(x). 麥克勞林級數(shù): 在泰勒級數(shù)中取x0=0, 得 , 此級數(shù)稱為f(x)的麥克勞林級數(shù). 展開式的唯一性: 如果f(x)能展開成x的冪級數(shù), 那么這種展式是唯一的, 它一定與f(x

32、)的麥克勞林級數(shù)一致. 這是因?yàn)? 如果f(x)在點(diǎn)x0=0的某鄰域(-R, R)內(nèi)能展開成x的冪級數(shù), 即 f(x)=a0+a1x+a2x2+ × × × +anxn + × × × , 那么根據(jù)冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項(xiàng)求導(dǎo), 有 f ¢(x)=a1+2a2x+3a3x2+ × × ×+nanxn-1+ × × × , f ¢¢(x)=2!a2+3×2a3x+ × × × + n×(n-1)anxn-2 + × × × , f ¢¢¢(x)=3!a3+ × × ×+n×(n-1)(n-2)anxn-3 + × × × , × × × × × ×

33、 × × × × × × × × × f (n)(x)=n!an+(n+1)n(n-1) × × × 2an+1x + × × × , 于是得 a0=f(0), a1=f ¢(0), , × × ×, , × × ×. 應(yīng)注意的問題: 如果f(x)能展開成x的冪級數(shù), 那么這個冪級數(shù)就是f(x)的麥克勞林級數(shù). 但是, 反過來如果f(x)的麥克勞林級數(shù)在點(diǎn)x0=0的某鄰域內(nèi)收斂, 它卻不一定收斂于f(x). 因此, 如果f(x)在點(diǎn)x0=0處具有各階導(dǎo)數(shù), 則f(x)的麥克勞林級數(shù)雖然能作出來, 但這個級數(shù)是否在某個區(qū)

34、間內(nèi)收斂, 以及是否收斂于f(x)卻需要進(jìn)一步考察. 二、函數(shù)展開成冪級數(shù) 展開步驟: 第一步 求出f (x)的各階導(dǎo)數(shù): f ¢(x), f ¢¢(x), × × × , f (n)(x), × × × . 第二步 求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在x=0 處的值: f(0), f ¢(0), f ¢¢(0), × × × , f (n)( 0), × × × . 第三步 寫出冪級數(shù):, 并求出收斂半徑R. 第四步 考察在區(qū)間(-R, R)內(nèi)時是否Rn(x)?0(n?¥). 是否為零. 如果Rn(x)?0(n?¥),

35、則f(x)在(-R, R)內(nèi)有展開式 (-R

36、x<1). 注: 收斂半徑的確定: 由-1<-x2<1得-1

37、x-1)的冪級數(shù). 提示: ,. , , 收斂域的確定: 由和得. 展開式小結(jié): , , , , , . 小結(jié) 1.函數(shù)的冪級數(shù)展開式; 2.常用函數(shù)的冪級數(shù)展開式; 練習(xí)題 (A) 用定義判斷下列級數(shù)的斂散性 1. ;2.;3.。 判斷下列正項(xiàng)級數(shù)的斂散性 4.;5.;6.;7.;8.; 9.;10.。 求下列任意項(xiàng)級數(shù)的斂散性,收斂時要說明條件收斂或絕對收斂 11.;12.;13.; 14.; 求下列冪級數(shù)的收斂半徑和收斂區(qū)間 15.;16.;17.;18.;

38、 19.;20.; 求下列級數(shù)的和函數(shù) 21.;22.; 將下列函數(shù)展開成的冪的級數(shù) 23.,;24.,; 25.,;26.,; (B) 用定義判斷下列級數(shù)的斂散性 1.;2.;3.; 判斷下列正項(xiàng)級數(shù)的斂散性 4.;5.;6.,(); 7.,其中(),,,均為正數(shù); 8.,();9.; 判斷下列任意項(xiàng)級數(shù)的斂散性,收斂時要說明條件收斂或絕對收斂 10.;11.;12.; 求下列冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域 13.;14.,(,); 15.;16.; 求下列級數(shù)的和函數(shù) 17.;18.;19.; 20.求證:; 將下列函數(shù)展開成的冪的級數(shù) 21.,;2

39、2.,;23.,; (C) 1.用定義判斷下列級數(shù)的斂散性 2.設(shè),,判斷級數(shù) 的斂散性。 判斷下列正項(xiàng)級數(shù)的斂散性 3.;4.;5.; 6.判斷級數(shù)的斂散性。 求下列冪級數(shù)的收斂半徑和收斂區(qū)間 7.;8.; 求下列級數(shù)的和 9. 10.展開為冪級數(shù),并推出。 11.求級數(shù)的收斂區(qū)間及和函數(shù)。 (A) 1.解:∵,(),∴原級數(shù)發(fā)散。 2.解:∵,(),∴原級數(shù)收斂且和為。 3.解:∵ ,(),∴原級數(shù)收斂且和為。 4.解:∵,∴由比值判別法知原級數(shù)發(fā)散。 5.解:∵,∴由比值判別法知,原級數(shù)收斂。 6.解:∵,∴原級數(shù)發(fā)散。 7.解:∵,而發(fā)散,

40、∴由比較判別法知原級數(shù)發(fā)散。 8.解:∵,∴由比值判別法知,原級數(shù)收斂。 9.解:∵,∴由比值判別法知,原級數(shù)收斂。 10.解:∵,而,故,∴由比值判別法知,原級數(shù)收斂。 11.解:,由正項(xiàng)級數(shù)的比值判別可知,此級數(shù)收斂,故原級數(shù)絕對收斂。 12.解:,而發(fā)散,故發(fā)散。因此原級數(shù)非絕對收斂,又,顯然,,且,故由萊布尼茲判別法知原級數(shù)條件收斂。 13.解:∵,∴原級數(shù)發(fā)散。 14.解:此為交錯級數(shù),∵,()而級數(shù)發(fā)散,故發(fā)散,即原級數(shù)非絕對收斂,顯然單調(diào)遞減且趨向于零,故原級數(shù)條件收斂。 15.解:∵,∴,當(dāng)時,級數(shù)為發(fā)散,當(dāng)時,級數(shù)為收斂。故原級數(shù)的收斂區(qū)間為。 16.解:∵

41、,,∴,收斂區(qū)間為。 17.解:∵,,∴。 18.解:∵,∴。故當(dāng),即時收斂,當(dāng)或時發(fā)散,當(dāng)時,級數(shù)為,收斂;當(dāng)時,級數(shù)為,發(fā)散。故收斂區(qū)間為。 19.解:∵,,當(dāng)時,即時收斂,當(dāng),即或時發(fā)散,∴。當(dāng)時原級數(shù)為,發(fā)散,故收斂區(qū)間為。 20.解:∵,,∴,當(dāng)時,原級數(shù),發(fā)散。故收斂區(qū)間為。 21.解:設(shè),, ∴,。 22.解:設(shè),,則 , 即, ∴,。 23.解:,。 24.解: ,。 25.解:, 。 26.解: ,即 (B) 1.解:∵, ,∴原級數(shù)收斂且和為。 2.解:∵

42、 ,,∴原級數(shù)收斂且和為。 3.解:∵ ,,∴原級數(shù)收斂且和為。 4.解:∵,∴由比值判別法知原級數(shù)收斂。 5.解:∵,∴由根值判別法知原級數(shù)收斂。 6.解:∵當(dāng)充分大時有,而,故,∴由根值判別法知原級數(shù)收斂。 7.解:∵,,∴當(dāng),即 時,原級數(shù)收斂;,即 ,原級數(shù)發(fā)散,當(dāng)時不定。 8.解:當(dāng)時,∵,∴級數(shù)發(fā)散。 當(dāng)時,∵,(),而收斂,∴級數(shù)發(fā)散。 9.解:∵,∵收斂,∴由比較判別法知級數(shù)收斂。 10.解:∵,,故也發(fā)散,故也非條件收斂。 11.解:∵,而發(fā)散,故級數(shù)發(fā)散,即原級數(shù)非絕對收斂,原級數(shù)為交錯級數(shù),顯然數(shù)列單調(diào)遞減且收斂于零,故由萊布尼茲判別法知,

43、原級數(shù)條件收斂。 12.解:∵,而發(fā)散,∴發(fā)散,即原級數(shù)非絕對收斂。 記原級數(shù)為為交錯級數(shù),∵ 又,即,故由萊布尼茲判別法知原級數(shù)收斂,故原級數(shù)條件收斂。 13.解:∵,,故對,原級數(shù)收斂,所以收斂半徑為,收斂區(qū)間為。 14.∵,∴,當(dāng)時,原級數(shù)發(fā)散,故收斂區(qū)間為,其中。 15.解:∵,, ∴當(dāng),即時,原級數(shù)收斂,當(dāng),即或時,原級數(shù)發(fā)散,當(dāng),原級數(shù)收斂,當(dāng)時原級數(shù)也收斂。故原級數(shù)收斂半徑為2,收斂區(qū)間為。 16.解:∵,,∴,當(dāng),即,原級數(shù)收斂。當(dāng)時,原級數(shù)收斂,當(dāng)時,原級數(shù)發(fā)散。故原級數(shù)的收斂區(qū)間為。 17.解:,但 ,故有,。 18.解:∵,,而 , ∴,。 19.

44、解:∵, ∵ ,故 ,。 20.證明:考慮級數(shù),,逐項(xiàng)微分得:,。 ,取,得。 21.解:,,,, 。 ∴,。 22.解: ,()。 23.解:∵ , ∴,。 (C) 1.解: , 故原級數(shù)收斂,且和為。 2.證:,由比較判別法知原正項(xiàng)級數(shù)收斂。 3.解:∵,,∴由比值判別法知,原級數(shù)發(fā)散。 4.解:考慮函數(shù),,,由得,易知時的最大值,所以當(dāng)?shù)?,,∴,但為收斂的幾何級?shù),∴原級數(shù)也收斂。 5.解:,∵有;而當(dāng)時,有,∴當(dāng)時,,而級九可判別其是收斂的,∴原級數(shù)收斂。

45、 6.解:因?yàn)橐阎墧?shù) 條件收斂的級數(shù)。設(shè)其部分和數(shù)極限為,則有,而級數(shù),取其前項(xiàng),其和與的部分和相等且為,當(dāng)時,,故原級數(shù)收斂且和為。 7.解:,,當(dāng),即時,收斂;當(dāng)時發(fā)散。故,當(dāng)時,級數(shù)為發(fā)散,故原級數(shù)收斂域?yàn)椤? 8.解:,由于,而當(dāng),故;當(dāng)時,原級數(shù)為,由于通項(xiàng)不以零為極限,故發(fā)散。所以原級數(shù)的收斂域?yàn)椤? 9.解:當(dāng)時,級數(shù)收斂。設(shè),,則,,,,兩邊積分得: ,(∵); 再積分一次 ,(∵); ∴,即原級數(shù)的和。 10.解:∵,∴ 因?yàn)楫?dāng)時, 又當(dāng)時, 故展開式對所有的均成立,在展開式中令,得 。 11.解:,(),故當(dāng),即當(dāng)時級數(shù)收斂,當(dāng)時級數(shù)發(fā)散,因此原級數(shù)收斂區(qū)間為,且 ,。

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