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1、 楚雄師范學(xué)院數(shù)學(xué)系《數(shù)學(xué)模型》課程 教 學(xué) 論 文 ? 題 目： 種群的相互依存模型 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 班 級： 2009級01班 學(xué) 號： 20091021108 學(xué)生姓名： 尹仙菊 完成日期： 2011 年 12 月

2、 種群的相互依存 摘要：本文從種群的增長規(guī)律出發(fā)，對Logistic模型進(jìn)行修改，建立了可以獨立生存、共處時又能互相提供食物的兩種群的依存模型。并通過微分方程組描述了兩種群數(shù)量的變化規(guī)律，且對微分方程組穩(wěn)定點的分析, 得出了在共處的條件下兩種群不會同時都對對方有很大的促進(jìn)作用的結(jié)論。 關(guān)鍵詞：微分方程 穩(wěn)定性 平衡點 Logsitic模型 種群 matlab 一、問題的提出 自然界中處于同一環(huán)境下兩個種群相互依存而共生的現(xiàn)象是很普遍的。植物可以獨立生存，昆蟲的授粉又可以提高植物的增長率，而以花粉為食物的昆蟲卻不能離開植物單獨存活。事實上，人類與人工飼養(yǎng)的牲畜之間也

3、有類似的關(guān)系。 我們關(guān)心兩個相互依存的種群，它們之間有著類似于在農(nóng)業(yè)社會中人和牛的關(guān)系。其發(fā)展和演進(jìn)有著什么樣的定性性質(zhì)呢？ 二、問題的復(fù)述 如果兩個種群都能獨立生存，共處時又能相互提供食物，則建立種群依存模型并討論平衡點的穩(wěn)定性，解釋穩(wěn)定的意義。 這種共生現(xiàn)象可以描述如下： 甲乙兩種群的相互依存有三種形式： 1) 甲可以獨自生存，乙不能獨自生存；甲乙一起生存時相互提供食物、促進(jìn)增長。 2) 甲乙均可以獨自生存；甲乙一起生存 時相互提供食物、促進(jìn)增長。 3) 甲乙均不能獨自生存；甲乙一起生存時相互提供食物、促進(jìn)增長。 三、模型建立及求解 （一）基本假設(shè) 1、該區(qū)域內(nèi)作為考

4、慮對象的僅有兩種群，若存在其他種群視其不對該兩種群的發(fā)展產(chǎn)生影響。 2、 考慮的系統(tǒng)是封閉的，亦即無考慮種群物種個體的遷移。 3、 區(qū)域足夠大，即可容納足夠多的種群個體，進(jìn)而可視各種群個體數(shù)是可微的，且區(qū)域可提供種群存在的資源足夠多但有限。 (二）符號說明 t：時間 ?????、：兩物種與時刻的個體數(shù) 、：兩種群的最大容納量 ??????、：兩種群的固有增長率 ：單位數(shù)量乙提供的供養(yǎng)甲的食物量為單位數(shù)量甲消耗的供養(yǎng)甲食物量的倍數(shù) ：單位數(shù)量乙提供的供養(yǎng)甲的食物量為單位數(shù)量甲消耗的供養(yǎng)甲食物量的倍 （三）分三種情況討論： 形式一：甲可以獨自生存，乙不能獨自生存；甲乙一起生存時相

5、互提供食物、促進(jìn)增長。 1、模型假設(shè) 甲可以獨自生存，數(shù)量變化服從Logistic規(guī)律; 甲乙一起生存時乙為甲提供食物、促進(jìn)增長。乙不能獨自生存；甲乙一起生存時甲為乙提供食物、促進(jìn)增長；乙的增長又受到本身的阻滯作用 (服從Logistic規(guī)律)。 2、模型建立 種群甲的數(shù)量演變規(guī)律可以寫作 （1） 式子中的+號，表示乙不是消耗甲的資源而是為甲提供食物。的含義是，單位數(shù)量乙（相對于）提供的甲的食物量為單位數(shù)量甲(相對于)消耗的供養(yǎng)甲食物的倍。 種群乙沒有甲的存在會滅亡，設(shè)其死亡率為，則乙單獨存在時有

6、 （2） 甲為乙提供食物，于是（2）式右端應(yīng)加上甲對乙增長的促進(jìn)作用，有 （3） 式中表示甲為乙提供食物是乙消耗的 倍 顯然僅當(dāng)時種群乙的數(shù)量才會增長。與此同時乙的增長又會受到自身的阻滯作用， （3）式右端還要添加Logistic項，方程變?yōu)? （4） 方程（1）、（4）構(gòu)成相互依存現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型。 3、模型求解 下面利用平衡點的穩(wěn)定性分析，討論時間足夠長以后兩個種群的變化趨向。 令,可得平衡點: ， ,

7、 線性化矩陣為A== 對于，有 ，于是當(dāng)時，穩(wěn)定； 對于，有 ，，穩(wěn)定條件為p，q>=0,于是當(dāng)時，穩(wěn)定； 對于，有 ，知q恒小于零，所以一定不穩(wěn)定。 綜上所述，得到方程（1）、（4）的平衡點及其穩(wěn)定性分析的結(jié)果列入下表一： 平衡點 P q 穩(wěn)定條件 不穩(wěn)定 表一 種群依存模型的平衡點及其穩(wěn)定性 顯然，點穩(wěn)定才表明兩個種群在同一環(huán)境里相互依存而共生，下面著重分析穩(wěn)定的條件。 局部穩(wěn)定性分析： 可知，只在情況下，穩(wěn)定，甲乙才分別趨向非零的有限值，否則由于二者均能獨立生存又互相提供食物，將使二者均趨向無窮。 全

8、局穩(wěn)定性分析： 由點的表?達(dá)式容易看出，要使平衡點有實際意義，即位于相平面第一象限（x1,x2>=0),必須下面兩個條件中的一個： 而由表一中點的p，q可知，僅在條件下才是穩(wěn)定的（而在下是鞍點，不穩(wěn)定）。圖一畫出了條件下相軌線的示意圖，其中。直線將相平面劃分成4個區(qū)域： 從四個區(qū)域中的正負(fù)不難看出其相軌線的趨向如圖一所示。 圖一 穩(wěn)定的相軌線圖 4、結(jié)果分析： 分析條件的實際意義，其關(guān)鍵部分是。考慮到的含義，這表示種群甲要為乙提供足夠的食物維持其生長。而則是在條件下為使位于相平面第一象限所必須的，當(dāng)然這要求很?。ㄊ潜匾獥l件）。注意到的含義，這實際上是對乙向甲提供食物加

9、以限制，以防止甲的過分增長。 在種群依存模型（1）、（4）中如果平衡點穩(wěn)定，那么種群乙滅絕，沒有種群的共存。即乙提供給甲的食物量大于甲消耗的供養(yǎng)甲的食物量，而甲提供給乙的食物量卻小于乙消耗的供養(yǎng)乙的食物量。在時，平衡點是穩(wěn)定的。此時甲、乙兩種群將分別趨向于非零的有限值，否則由于二者均能獨立生存又相互提供食物，將使二者均趨向無窮。因此，在共處的條件下，兩種群不會同時都對對方有很大的促進(jìn)作用。 5、數(shù)值模擬 (1)為求微分方程組(（1）和（4） 及初始條件的數(shù)值解,（并作圖)，分析穩(wěn)定點的數(shù)值解. 設(shè)=0.7, =0.3 , ==1, ==0.9, =2500,=2000,=8000,

10、=6000,用MatLab 軟件求解. 首先建立M文件，如下： function f=shier(t,x) r1=0.7;r2=0.3;b1=1;b2=0.9;N1=8000;N2=6000; f=[r1*x(1).*((1-x(1)./N1)+b1.*x(2)./N2);r2*x(2).*((-1-x(2)./N2)+b2.*x(1)./N1)]; 并保存為“shier.m”，然后在Maltab命令窗口中輸入下列程序： >> ts=0:0.5:20; >> [t,x]=ode45('shier',ts,[2500,2000]) >>plot(t,x),grid,gtext('

11、x1(t)'),gtext('x2(t)'),pause,plot(x(:,1),x(:,2)),grid 執(zhí)行得到的數(shù)值結(jié)果為： 17 t = 0 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 2.5000 3.0000 3.5000 4.0000 4.5000 5.0000 5.5000 6.0000 6.5000 7.0000 7.5000

12、 8.0000 8.5000 9.0000 9.5000 10.0000 10.5000 11.0000 11.5000 12.0000 12.5000 13.0000 13.5000 14.0000 14.5000 15.0000 15.5000 16.0000 16.5000 17.0000 17.5000 18.0000 18.5000 19.0000 19.5000 20.0000

13、 x = 1.0e+003 * 2.5000 2.0000 3.4717 1.7278 4.5454 1.5278 5.6193 1.3820 6.5928 1.2758 7.4002 1.1983 8.0187 1.1414 8.4639 1.0983 8.7723 1.0642 8.9741 1.0366 9.1017 1.0131 9.1796 0.9922 9.2221 0.9733 9.2433 0.9557 9.2504 0.9390 9.2467 0

14、.9230 9.2371 0.9075 9.2249 0.8925 9.2101 0.8778 9.1932 0.8634 9.1757 0.8494 9.1583 0.8356 9.1406 0.8221 9.1227 0.8088 9.1050 0.7957 9.0876 0.7829 9.0703 0.7703 9.0533 0.7580 9.0365 0.7458 9.0200 0.7339 9.0038 0.7221 8.9878 0.7106 8.972

15、1 0.6993 8.9566 0.6881 8.9414 0.6772 8.9265 0.6664 8.9118 0.6558 8.8973 0.6454 8.8831 0.6352 8.8692 0.6251 8.8554 0.6152 可得、及相軌線如圖二、圖三。 圖二 數(shù)值解、的圖形 圖三 相軌線的圖形 由圖可知，甲種群的數(shù)量隨著時間的增加而增加。即甲可以獨自生存，乙不能獨自生存。亦即當(dāng)時，平衡點是穩(wěn)定點，此時種群依存模型是全局穩(wěn)定的。驗證了平衡點的穩(wěn)定條件是正確的。 (2)為求微分方程

16、組(（1）和（4）) 及初始條件的數(shù)值解,（并作圖) , 分析穩(wěn)定點的數(shù)值解. 設(shè)=0.7, =0.3 , ==0.8, ==1.2, =2500,=2000,=8000, =6000,用MatLab 軟件求解. 首先建立M文件，如下： function f=shier1(t,x) r1=0.7;r2=0.3;b1=0.8;b2=1.2;N1=8000;N2=6000; f=[r1*x(1).*((1-x(1)./N1)+b1.*x(2)./N2);r2*x(2).*((-1-x(2)./N2)+b2.*x(1)./N1)]; 并保存為“shier1.m”，然后在Maltab命令

17、窗口中輸入下列程序： >> ts=0:0.5:20; >> [t,x]=ode45('shier1',ts,[2500,2000]) >>plot(t,x),grid,gtext('x1(t)'),gtext('x2(t)'),pause,plot(x(:,1),x(:,2)),grid 執(zhí)行得到的數(shù)值結(jié)果為： t = 0 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 2.5000 3.0000 3.5000 4.0000 4.5000 5.000

18、0 5.5000 6.0000 6.5000 7.0000 7.5000 8.0000 8.5000 9.0000 9.5000 10.0000 10.5000 11.0000 11.5000 12.0000 12.5000 13.0000 13.5000 14.0000 14.5000 15.0000 15.5000 16.0000 16.5000 17.0000 17.500

19、0 18.0000 18.5000 19.0000 19.5000 20.0000 x = 1.0e+004 * 0.2500 0.2000 0.3404 0.1755 0.4402 0.1582 0.5409 0.1464 0.6342 0.1388 0.7140 0.1344 0.7777 0.1324 0.8259 0.1321 0.8619 0.1330 0.8883 0.1348 0.9067 0.1373 0.9201 0.1403

20、 0.9306 0.1435 0.9388 0.1470 0.9456 0.1507 0.9516 0.1546 0.9569 0.1586 0.9618 0.1627 0.9667 0.1669 0.9715 0.1713 0.9763 0.1758 0.9811 0.1803 0.9859 0.1850 0.9909 0.1898 0.9960 0.1947 1.0011 0.1997 1.0064 0.2048 1.0118 0.2100 1.0173

21、0.2154 1.0229 0.2208 1.0286 0.2264 1.0345 0.2321 1.0405 0.2379 1.0466 0.2438 1.0528 0.2498 1.0592 0.2560 1.0657 0.2623 1.0723 0.2687 1.0791 0.2752 1.0860 0.2819 1.0931 0.2887 可得、及相軌線如圖四、圖五。 圖四 數(shù)值解、的圖形 圖五 相軌線的圖形 由圖可知，甲乙種群的數(shù)量都隨著時間的增加而增加，但甲增

22、加的數(shù)量較大，乙剛開始有一段下滑，說明不能獨自生存，隨著甲給它提供食物，數(shù)量開始增加。即甲可以獨自生存，乙不能獨自生存，甲乙一起生存時相互提供食物。亦即當(dāng)時，平衡點是穩(wěn)定點，此時種群依存模型是全局穩(wěn)定的。驗證了平衡點的穩(wěn)定條件是正確的。 形式二：甲乙均可以獨自生存；甲乙一起生存時相互提供食物、促進(jìn)增長。 1、模型假設(shè) 甲、乙均可以獨自生存，數(shù)量變化均服從Logistic規(guī)律; 甲乙一起生存時相互提供食物、促進(jìn)增長。 2、模型建立 種群甲的數(shù)量演變規(guī)律可以寫作 （5） 式子中的+號，表示乙不是消耗甲的資源而是為甲提供食

23、物。的含義是，單位數(shù)量乙（相對于N2）提供的甲的食物量為單位數(shù)量甲(相對于N1)消耗的供養(yǎng)甲食物的倍。 種群乙的數(shù)量演變規(guī)律可以寫作 （6） 方程（5）、（6）構(gòu)成相互依存現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型。 3、模型求解 下面利用平衡點的穩(wěn)定性分析，討論時間足夠長以后兩個種群的變化趨向。 令,可得平衡點: ， ,， 線性化矩陣為A== 對于，有 ，知q恒小于零，故一定不穩(wěn)定； 對于，有 ，，穩(wěn)定條件為p，q>0,于是當(dāng)時，穩(wěn)定； 對于，有 ，知p恒小于零，所以一定不穩(wěn)定。 對于，有 ，知q恒小于零，所以一定不穩(wěn)定。 綜上

24、所述，得到方程（5）、（6）的平衡點及其穩(wěn)定性分析的結(jié)果列入下表二： 平衡點 P q 穩(wěn)定條件 不穩(wěn)定 不穩(wěn)定 不穩(wěn)定 表二 種群依存模型的平衡點及其穩(wěn)定性 顯然，只有在的情況下，平衡點是穩(wěn)定的，此時甲乙兩種群將分別趨向于非零的有限值；否則由于二者均能獨立生存又相互提供食物，將使二者均趨向無窮。 4、結(jié)果分析： 注意到的含義，這實際上是對乙向甲提供食物加以限制，以防止甲的過分增長。在種群依存模型（5）、（6）中如果平衡點穩(wěn)定，那么兩種群共存。在時，平衡點是穩(wěn)定的。此時甲、乙兩種群將分別趨向于非零的有限值，否則由于二者

25、均能獨立生存又相互提供食物，將使二者均趨向無窮。因此，在共處的條件下，兩種群不會同時都對對方有很大的促進(jìn)作用。 5、數(shù)值模擬 為求微分方程組(（5）和（6） 及初始條件的數(shù)值解,（并作圖) , 分析穩(wěn)定點的數(shù)值解. 設(shè)=0.7, =0.6 , ==0.6, ==0.7, =1000,=2000,=6000, =5000,用MatLab 軟件求解. 首先建立M文件，如下： function f=shier2(t,x) r1=0.7;r2=0.6;b1=0.6;b2=0.7;N1=6000;N2=5000; f=[r1*x(1).*((1-x(1)./N1)+b1.*x(2)./N

26、2);r2*x(2).*((1-x(2)./N2)+b2.*x(1)./N1)]; 并保存為“shier2.m”,然后在Maltab命令窗口中輸入下列程序： >> ts=0:0.5:20; >> [t,x]=ode45('shier2',ts,[1000,2000]) >>plot(t,x),grid,gtext('x1(t)'),gtext('x2(t)'),pause,plot(x(:,1),x(:,2)),grid 執(zhí)行得到的數(shù)值結(jié)果為： t = 0 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000

27、 2.5000 3.0000 3.5000 4.0000 4.5000 5.0000 5.5000 6.0000 6.5000 7.0000 7.5000 8.0000 8.5000 9.0000 9.5000 10.0000 10.5000 11.0000 11.5000 12.0000 12.5000 13.0000 13.5000 14.0000 14.5000

28、 15.0000 15.5000 16.0000 16.5000 17.0000 17.5000 18.0000 18.5000 19.0000 19.5000 20.0000 x = 1.0e+004 * 0.1000 0.2000 0.1452 0.2465 0.2086 0.3003 0.2941 0.3627 0.4031 0.4352 0.5323 0.5197 0.6744 0.6166 0.8200 0.7234 0.9

29、600 0.8356 1.0893 0.9459 1.2037 1.0483 1.3010 1.1385 1.3829 1.2134 1.4482 1.2745 1.5004 1.3219 1.5397 1.3591 1.5706 1.3866 1.5935 1.4072 1.6085 1.4241 1.6220 1.4346 1.6305 1.4435 1.6377 1.4492 1.6422 1.4539 1.6462 1.4567 1.6483 1.459

30、4 1.6507 1.4607 1.6526 1.4616 1.6514 1.4642 1.6550 1.4626 1.6529 1.4650 1.6540 1.4648 1.6540 1.4653 1.6547 1.4651 1.6546 1.4654 1.6551 1.4651 1.6548 1.4655 1.6556 1.4650 1.6553 1.4653 1.6546 1.4658 1.6556 1.4651 1.6545 1.4660 可得、及相軌線

31、如圖六、圖七。 圖六 數(shù)值解、的圖形 圖七 相軌線的圖形 由圖可知，剛開始時，甲乙數(shù)量的增長幅度相對小，隨著一起生存，增長幅度增大，最終分別都達(dá)到兩種群的最大容量。即甲乙均可以獨自生存，一起生存時相互提供食物，促進(jìn)增長。符合得到的平衡點穩(wěn)定性條件： 形式三：甲乙均不能獨自生存；甲乙一起生存時相互提供食物、促進(jìn)增長。 1、模型假設(shè) 甲乙均不能獨自生存，甲乙一起生存時乙為甲提供食物、促進(jìn)增長。甲乙一起生存時乙為甲提供食物、促進(jìn)增長；甲乙各自的增長分別又受到本身的阻滯作用 (服從Logistic規(guī)律)。 2、模型建立 種群甲的數(shù)量演變規(guī)律可以寫作

32、 （7） 式子中的+號，表示乙不是消耗甲的資源而是為甲提供食物。的含義是，單位數(shù)量乙（相對于）提供的甲的食物量為單位數(shù)量甲(相對于)消耗的供養(yǎng)甲食物的倍。－1中的－號，表示甲受到自身的阻滯作用。 種群乙沒有甲的存在會滅亡，設(shè)其死亡率為，則乙單獨存在時有 （8） 甲為乙提供食物，于是（8）式右端應(yīng)加上甲對乙增長的促進(jìn)作用，有 （9） 式中表示甲為乙提供食物是乙消耗的倍 顯然僅當(dāng)時種群乙的數(shù)量才會增長。與此

33、同時乙的增長又會受到自身的阻滯作用， （9）式右端還要添加Logistic項，方程變?yōu)? （10） 方程（7）、（10）構(gòu)成相互依存現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型。 3、模型求解 下面利用平衡點的穩(wěn)定性分析，討論時間足夠長以后兩個種群的變化趨向。 令,可得平衡點: ， ,， 線性化矩陣為A== 對于，無實際意義。 對于，有 ，，穩(wěn)定條件為p，q>0,于是矛盾，故不穩(wěn)定； 綜上所述，得到方程（7）、（10）的平衡點及其穩(wěn)定性分析的結(jié)果列入下表三： 平衡點 P q 穩(wěn)定條件 不穩(wěn)定 穩(wěn)定 表三 種

34、群依存模型的平衡點及其穩(wěn)定性 4、結(jié)果分析： 在種群依存模型（7）、（10）中如果平衡點穩(wěn)定，在任一條件下均穩(wěn)定，那么種群的共存。 5、數(shù)值模擬 為求微分方程組(（7）和（10）及初始條件的數(shù)值解、（并作圖) , 分析穩(wěn)定點的數(shù)值解.設(shè) =0.2,=0.3 ,b1==2.6,b2==2.5,=1000,=1200,=6000, =5000，用MatLab 軟件求解. 首先建立M文件，如下： function f=shier3(t,x) r1=0.2;r2=0.3;b1=2.6;b2=2.5;N1=6000;N2=5000; f=[r1*x(1).*((-1-x(1)./N1)+

35、b1.*x(2)./N2);r2*x(2).*((-1-x(2)./N2)+b2.*x(1)./N1)]; 在Maltab中輸入下列程序： >> ts=0:1:20; >> [t,x]=ode45('shier3',ts,[1000,1200]) >>plot(t,x),grid,gtext('x1(t)'),gtext('x2(t)'),pause,plot(x(:,1),x(:,2)),grid 執(zhí)行得到的數(shù)值結(jié)果為： t = 0 1 2 3 4 5 6 7 8

36、 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 x = 1.0e+003 * 1.0000 1.2000 0.8862 0.9384 0.7696 0.7334 0.6583 0.5714 0.5566 0.4430 0.4666 0.3417 0.3886 0.2623 0.3220 0.2003 0.2659 0.1523 0.2189 0.1154 0.17

37、99 0.0871 0.1477 0.0656 0.1211 0.0492 0.0992 0.0369 0.0813 0.0276 0.0665 0.0206 0.0545 0.0153 0.0446 0.0114 0.0365 0.0085 0.0299 0.0063 0.0244 0.0047 可得、及相軌線如圖八、圖九。 圖八 數(shù)值解、的圖形 圖九 相軌線的圖形 由圖像可知，隨著t的增加，、 逐漸減少，即種群甲乙的數(shù)量隨著時間的增加而減少。亦即甲乙均不能獨自生存。而甲乙一起生存時，種群的數(shù)量在增加，說明甲乙一起生存時，相互提供食物。 四、模型評價 （1） 本模型在建立過程中充分考慮到自然界中處于同一環(huán)境下兩個種群相互依存而共生的現(xiàn)象的普遍性，得出最佳的模型； （2） 在模型的數(shù)值模擬中，利用matlab軟件編程進(jìn)行求解，所得的結(jié)果誤差小，數(shù)據(jù)準(zhǔn)確合理； （3） 該模型實用性較強(qiáng)，對現(xiàn)實有很強(qiáng)的指導(dǎo)意義。 五、參考文獻(xiàn) 1、 姜啟源 謝金星 葉俊 《數(shù)學(xué)模型（第三版）》，北京 高等教育出版社 2、 姜啟源 謝金星 葉俊 《數(shù)學(xué)模型（第三版）》，習(xí)題解答參考 北京 高等教育出版社 19