《高等數(shù)學(xué)備課教案：第七章 微分方程 第三節(jié)一階線性微分方程》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高等數(shù)學(xué)備課教案：第七章 微分方程 第三節(jié)一階線性微分方程（7頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第三節(jié) 一階線性微分方程 分布圖示 ★ 一階線性微分方程及其解法 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 伯努利方程 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 例11 ★ 內(nèi)容小結(jié) ★ 課堂練習(xí) ★ 習(xí)題7—3 ★ 返回 內(nèi)容要點(diǎn) 一、一階線性微分方程 形如 (3.1) 的方程稱為一階線性微分方程. 其中函數(shù)、是某一區(qū)間上的連續(xù)函數(shù). 當(dāng)方程(3.1)成為 (3.2) 這個(gè)方程稱為一階齊次線性方程.

2、 相應(yīng)地，方程(3.1)稱為一階非齊次線性方程. 方程(3.2)的通解 (3.3) 其中為任意常數(shù). 求解一階非齊次線性微分方程的常數(shù)變易法：即在求出對(duì)應(yīng)齊次方程的通解(3.3)后，將通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)，并設(shè)一階非齊次方程通解為 一階非齊次線性方程(3.1)的通解為 (3.5) 二、伯努利方程：形如 (3.7) 的方程稱為伯努利方程，其中為常數(shù)，且. 伯努利方程是一類非線性方程，但是通過適當(dāng)?shù)淖儞Q，就可以把它化為線性的. 事實(shí)上，在方程(

3、3.7)兩端除以，得 或 于是，令，就得到關(guān)于變量的一階線性方程 . 利用線性方程的求解方法求出通解后，再回代原變量，便可得到伯努利方程(3.7)的通解 例題選講 一階線性微分方程 例1（E01）求方程的通解. 解 于是所求通解為 例2（E02）求方程的通解. 解 這是一個(gè)非齊次線性方程.先求對(duì)應(yīng)齊次方程的通解. 由 用常數(shù)變易法,把換成即令則有 代入所給非齊次方程得兩端積分得 回代即得所求方程的通解為 例3 求下列微分方程滿足所給初始條件的特解. 解 將方程標(biāo)準(zhǔn)

4、化為于是 由初始條件得故所求特解為 例4 求解方程 是的已知函數(shù). 解 原方程實(shí)際上是標(biāo)準(zhǔn)的線性方程，其中 直接代入通解公式，得通解 例5（E03）求方程的通解. 解 當(dāng)將看作的函數(shù)時(shí)，方程變?yōu)? 這個(gè)方程不是一階線性微分方程，不便求解.如果將看作的函數(shù)，方程改寫為 則為一階線性微分方程，于是對(duì)應(yīng)齊次方程為 分離變量，并積分得即 其中為任意常數(shù)，利用常數(shù)變易法，設(shè)題設(shè)方程的通解為代入原方程,得 積分得 故原方程的通解為，其中為任意常數(shù). 例6（E04）在一個(gè)石油精煉廠，一個(gè)存儲(chǔ)罐裝8000L的汽油，其中包含100g的添加劑.

5、為冬季準(zhǔn)備，每升含2g添加劑的石油以40L/min的速度注入存儲(chǔ)罐. 充分混合的溶液以45L/min的速度泵出. 在混合過程開始后20分鐘罐中的添加劑有多少？ 解 令是在時(shí)刻罐中的添加劑的總量. 易知. 在時(shí)刻罐中的溶液的總量 因此，添加劑流出的速率為 添加劑流入的速率，得到微分方程 即 于是，所求通解為 由確定C，得 ，， 故初值問題的解是 ， 所以注入開始

6、后20分鐘時(shí)的添加劑總量是 g. 注：液體溶液中（或散布在氣體中）的一種化學(xué)品流入裝有液體（或氣體）的容器中，容器中可能還裝有一定量的溶解了的該化學(xué)品. 把混合物攪拌均勻并以一個(gè)已知的速率流出容器. 在這個(gè)過程中，知道在任何時(shí)刻容器中的該化學(xué)品的濃度往往是重要的. 描述這個(gè)過程的微分方程用下列公式表示： 容器中總量的變化率=化學(xué)品進(jìn)入的速率—化學(xué)品離開的速率. 例7 如圖(見系統(tǒng)演示)所示, 平行于軸的動(dòng)直線被曲線與截下的線段之長(zhǎng)數(shù)值上等于陰影部分的面積, 求曲線 解 兩邊求導(dǎo)得解此微分方程得 由得故所求曲線為 例8 求的

7、通解. 解 兩端除以得 令得解得 故所求通解為 伯努利方程 例9（E05）求方程的通解. 解 以除方程的兩端,得 即 令則上述方程變?yōu)? 解此線性微分方程得 以代得所求通解為 例10（E06） 求方程的通解. 解 令則于是得到伯努利方程 令上式即變?yōu)橐浑A線性方程 其通解為 回代原變量，即得到題設(shè)方程的通解 例11（E07）求解微分方程 解 令則 利用分離變量法解得 將代回，得所求通解為 課堂練習(xí) 1. 求微分方程的通解. 2. 設(shè)函數(shù)可微且滿足關(guān)系式 求.

8、 雅各布.伯努利（Jacob Bermoulli，1654~1705) 伯努利瑞士數(shù)學(xué)、力學(xué)、天文學(xué)家。1654年12月27日生于瑞士巴塞爾；1705年8月16日卒于巴塞爾。 雅各布.伯努利出生于一商人世家。他的祖父是一位藥商，1662年移居巴塞爾。他的父親接過興隆的藥材生意，并成了市議會(huì)的一名成員和地方行政官。他的母親是市議員兼銀行家的女兒。雅格布在1684年一位富商的女兒結(jié)婚，他的兒子尼古拉，伯努得是藝術(shù)家，巴塞爾市議會(huì)的議員和藝術(shù)行會(huì)會(huì)長(zhǎng)。 雅格布畢業(yè)于巴塞爾大學(xué)，1671年獲藝術(shù)碩士學(xué)位。這里的藝術(shù)是指“自由藝術(shù)”，它包括算術(shù)、幾何、天文學(xué)、數(shù)理音樂的基礎(chǔ)，以及方法、修辭和

9、雄辯術(shù)等七大門類。遵照他父親的愿望，他又于1676年得碩士學(xué)位。同時(shí)他對(duì)數(shù)學(xué)有著濃厚的興趣，但是他在數(shù)學(xué)上的興趣遭到父親的反對(duì)，他違背父親的意愿，自學(xué)了數(shù)學(xué)和天文學(xué)。1676年，他到日內(nèi)瓦做家庭教師。從1677年起，他開始在這里寫內(nèi)容豐富的《沉思錄》。1678年雅格布進(jìn)行了他第一次學(xué)習(xí)旅行，他到過法國(guó)、荷蘭、英國(guó)和德國(guó)，與數(shù)學(xué)家們建立了廣泛的通信聯(lián)系。然后他又在法國(guó)度過了兩年時(shí)光，這期間他開始研究數(shù)學(xué)問題。起初他還不知道牛頓和萊布尼茲的工作，他首先熟悉了笛卡爾的《幾何學(xué)》、活利斯的《無(wú)窮的算術(shù)》以及巴羅的《幾何學(xué)講義》。他后來逐漸地熟悉了萊布尼茲的工作。1681-1682年間，他做了第二次學(xué)習(xí)

10、旅行，接觸了許多數(shù)學(xué)家和科學(xué)家。通過訪問和閱讀文獻(xiàn)，豐富了他的知識(shí)，拓寬了個(gè)人的興趣。這次旅行，他在科學(xué)上的直接收獲就是發(fā)表了還不夠完備的有關(guān)慧星的理論以及受到人們高度評(píng)價(jià)的重力理論?；氐桨腿麪柡?，從1683年起，雅格布做了一些關(guān)于科技問題的文章，并且也繼續(xù)研究數(shù)學(xué)著作。1687年，雅格布在《教師學(xué)報(bào)》上發(fā)表了他的“用兩相互垂直的直線將三角形的面積四等分方法”。1684年之后，雅格布轉(zhuǎn)向詭辯邏輯的研究。1685年出版了他最早的關(guān)于概率論的文章。由于受到活利斯以及巴羅的涉及到數(shù)學(xué)、光學(xué)、天文學(xué)的那些資料的影響，他又轉(zhuǎn)向了微分幾何學(xué)。在這同時(shí)，他的弟弟約翰.伯努利一直跟其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。1687年雅格布成為巴塞爾科學(xué)院的國(guó)外院士，直到1705年去世。在這段時(shí)間里，他一直與萊布尼茲保持著通信聯(lián)系。1699年，雅格布被選為巴黎科學(xué)院的國(guó)外院士，1701年被柏林科學(xué)協(xié)會(huì)（即后來的柏林科學(xué)院）接受為會(huì)員 雅各布.伯努利是在17-18世紀(jì)期間，歐洲大陸在數(shù)學(xué)方面做過特殊貢獻(xiàn)的伯努利家庭的重要成員之一，他在數(shù)學(xué)上的貢獻(xiàn)涉及微積分、解析幾何、概率論以及變分法等領(lǐng)域。