《高等數(shù)學(xué)備課教案：第七章 微分方程 第五節(jié)二階線(xiàn)性微分方程解的結(jié)構(gòu)》由會(huì)員分享，可在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)《高等數(shù)學(xué)備課教案：第七章 微分方程 第五節(jié)二階線(xiàn)性微分方程解的結(jié)構(gòu)（5頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第五節(jié) 二階線(xiàn)性微分方程解的結(jié)構(gòu) 分布圖示 ★ 二階線(xiàn)性微分方程的概念 二階線(xiàn)性微分方程的解的定理 ★ 定理1 ★ 函數(shù)的線(xiàn)性相關(guān)與線(xiàn)性無(wú)關(guān) ★ 定理2 ★ 定理3 ★ 定理4 ★ 定理5 ★ 例1 ★ 解線(xiàn)性微分方程的降階法 ★ 例2 ★ 常數(shù)變易法 ★ 例3 ★ 線(xiàn)性微分方程的解法小結(jié) ★ 例4 ★ 內(nèi)容小結(jié) ★ 課堂練習(xí) ★ 習(xí)題7—5 ★ 返回 內(nèi)容要點(diǎn) 一、二階線(xiàn)性微分方程解的結(jié)構(gòu) 二階線(xiàn)性微分方程的一般形式是 ， (5.1) 其中、及是自

2、變量的已知函數(shù)，函數(shù)稱(chēng)為方程(5.1)的自由項(xiàng). 當(dāng)時(shí), 方程(5.1)成為 ， (5.2) 這個(gè)方程稱(chēng)為二階齊次線(xiàn)性微分方程，相應(yīng)地，方程(5.1)稱(chēng)為二階非齊次線(xiàn)性微分方程. 定理1 如果函數(shù)與是方程(5.2)的兩個(gè)解, 則 (5.3) 也是方程(5.2)的解，其中是任意常數(shù). 定理2 如果與是方程(5.2)的兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特解，則 就是方程(5.2)的通解，其中是任意常數(shù). 定理3 設(shè)是方程(5.1)的一個(gè)特解，而是其對(duì)應(yīng)的齊次方程(5.2)的通解，則 (5.4) 就是二階非齊次線(xiàn)

3、性微分方程(5.1)的通解. 定理4 設(shè)與分別是方程 與 的特解，則是方程 (5.5) 的特解. 定理5 設(shè)是方程 (5.6) 的解，其中為實(shí)值函數(shù)，為純虛數(shù). 則與分別是方程 與 的解. 二、二階變系數(shù)線(xiàn)性微分方程的一些解法 對(duì)于變系數(shù)線(xiàn)性方程，要求其解一般是很困難的. 這里我們介紹處理這類(lèi)方程的兩種方法. 一種是利用變量替換使方程降階——降階法；另一種是在求出對(duì)應(yīng)齊次方程的通解后，通過(guò)常數(shù)變易的方法來(lái)求得非齊次線(xiàn)性方程的通解——常數(shù)變易法. 對(duì)于二階齊次線(xiàn)性方程, 如果已知其一

4、個(gè)非零特解, 作變量替換, 就可將其降為一階齊次線(xiàn)性方程, 從而求得通解. 并有下列劉維爾公式 三、常數(shù)變易法 在求一階非齊次線(xiàn)性方程的通解時(shí), 我們?cè)鴮?duì)其對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解, 利用常數(shù)變易法求得非齊次方程的通解. 這種方法也可用于二階非齊次線(xiàn)性方程的求解. 設(shè)有二階非齊次線(xiàn)性方程 (5.10) 其中在某區(qū)間上連續(xù), 如果其對(duì)應(yīng)的齊次方程 的通解已經(jīng)求得, 那么也可通過(guò)如下的常數(shù)變易法求得非齊次方程的通解. 設(shè)非齊次方程(5.10)具有形如 (5.11) 的特解, 其中是兩個(gè)待定函數(shù)

5、, 將上式代入原方程從而確定出這兩個(gè)待定函數(shù). 例題選講 例1 已知是某二階非齊次線(xiàn)性微分方程的三個(gè)特解： （1）求此方程的通解； （2）寫(xiě)出此微分方程； （3）求此微分方程滿(mǎn)足的特解. 解 (1) 由題設(shè)知, 是相應(yīng)齊次線(xiàn)方程的兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解,且是非齊次線(xiàn)性方程的一個(gè)特解，故所求方程的通解為 ，其中 (2) 因 ① 所以② 從這兩個(gè)式子中消去即所求方程為 (3) 在①, ②代入初始條件得 從而所求特解為 降階法 例2（E01）已知是方程的一個(gè)解, 試求方程的通解. 解 作變換則有 代入題設(shè)方程，并注意到是題設(shè)方程的

6、解,有 將代入，并整理,得 故所求通解為 其中為任意常數(shù). 從而得到對(duì)應(yīng)齊次方程的通解 為求非齊次方程的一個(gè)解將換成待定函數(shù)設(shè)根據(jù)常數(shù)變易法, 滿(mǎn)足下列方程組 積分并取其一個(gè)原函數(shù)得于是，題設(shè)原方程的一個(gè)特解為 從而題設(shè)方程的通解為 常數(shù)變易法 例3（E02）求方程的通解. 解 先求對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解.由 即 從而得到對(duì)應(yīng)齊次方程的通解 為求非齊次方程的一個(gè)解將換成待定函數(shù)設(shè)則根據(jù)常數(shù)變易法，滿(mǎn)足下列方程組 積分并取其一個(gè)原函數(shù)得 于是，題設(shè)原方程得一個(gè)特解為 從而題設(shè)方程的通解為 例4（E03）求方程的通解. 解 因?yàn)橐滓?jiàn)題設(shè)方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的一特解為由劉維爾公式求出該方程的另一特解 從而對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為可設(shè)題設(shè)方程的一個(gè)特解為 由常數(shù)變易法, 滿(mǎn)足下列方程組 積分并取其一個(gè)原函數(shù)得 于是，題設(shè)方程的通解為 課堂練習(xí) 1.下列函數(shù)組在其定義域內(nèi)哪些是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的? 2.給出n階線(xiàn)性微分方程的n個(gè)解, 問(wèn)能否寫(xiě)出這個(gè)微分方程及其通解? 3.已知是齊次方程的解, 求非齊次方程的通解.