《高等數(shù)學(xué)備課教案：第七章 微分方程 第一節(jié)微分方程的基本概念》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高等數(shù)學(xué)備課教案：第七章 微分方程 第一節(jié)微分方程的基本概念（5頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第七章 微分方程 對自然界的深刻研究是數(shù)學(xué)最富饒的源泉. -------傅里葉 微積分研究的對象是函數(shù)關(guān)系，但在實際問題中，往往很難直接得到所研究的變量之間的函數(shù)關(guān)系，卻比較容易建立起這些變量與它們的導(dǎo)數(shù)或微分之間的聯(lián)系，從而得到一個關(guān)于未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程，即微分方程. 通過求解這種方程，同樣可以找到指定未知量之間的函數(shù)關(guān)系. 因此，微分方程是數(shù)學(xué)聯(lián)系實際，并應(yīng)用于實際的重要途徑和橋梁，是各個學(xué)科進行科學(xué)研究的

2、強有力的工具. 如果說“數(shù)學(xué)是一門理性思維的科學(xué),是研究、了解和知曉現(xiàn)實世界的工具”，那么微分方程就是顯示數(shù)學(xué)的這種威力和價值的一種體現(xiàn).現(xiàn)實世界中的許多實際問題都可以抽象為微分方程問題. 例如，物體的冷卻、人口的增長、琴弦的振動、電磁波的傳播等，都可以歸結(jié)為微分方程問題. 這時微分方程也稱為所研究問題的數(shù)學(xué)模型. 微分方程是一門獨立的數(shù)學(xué)學(xué)科，有完整的理論體系. 本章我們主要介紹微分方程的一些基本概念，幾種常用的微分方程的求解方法及線性微分方程解的理論. 第一節(jié) 微分方程的基本概念 一般地，含有未知函數(shù)及未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程稱為微分方程. 微分方程中出現(xiàn)的未知

3、函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱為微分方程的階. 在物理學(xué)、力學(xué)、經(jīng)濟管理科學(xué)等領(lǐng)域我們可以看到許多表述自然定律和運行機理的微分方程的例子. 分布圖示 ★ 引 言 ★ 微分方程的概念 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 微分方程解的概念 ★ 例4 ★ 例5 ★ 內(nèi)容小結(jié) ★ 課堂練習(xí) ★ 返回 內(nèi)容要點 一、微分方程的概念 我們把未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程稱為常微分方程. 類似地，未知函數(shù)為多元函數(shù)的微分方程稱為偏微分方程， 本章我們只討論常微分方程. 常微分方程的一般形式是： (1.5) 其中為自變量，是未知函數(shù).

4、 如果能從方程(1.5)中解出最高階導(dǎo)數(shù)，就得到微分方程 (1.6) 以后我們討論的微分方程組主要是形如(1.6)的微分方程，并且假設(shè)(1.6)式右端的函數(shù)在所討論的范圍內(nèi)連續(xù). 如果方程(1.6)可表為如下形式： (1.7) 則稱方程(1.7)為階線性微分方程. 其中 和均為自變量的已知函數(shù). 不能表示成形如(1.7)式的微分方程，統(tǒng)稱為非線性微分方程. 在研究實際問題時，首先要建立屬于該問題的微分方程，然后找出滿足該微分方程的函數(shù)（即解微分方程），就是說，把這個函數(shù)代入微分方程能使方程稱為恒等式，我們稱這個函數(shù)為該微分方程的解. 更

5、確切地說，設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，如果在區(qū)間上，有 則稱函數(shù)為微分方程(1.5)在區(qū)間上的解. 二、微分方程的解 微分方程的解可能含有也可能不含有任意常數(shù). 一般地，微分方程的不含有任意常數(shù)的解稱為微分方程的特解. 含有相互獨立的任意常數(shù)，且任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相等的解稱為微分方程的通解（一般解）. 所謂通解的意思是指，當(dāng)其中的任意常數(shù)取遍所有實數(shù)時，就可以得到微分方程的所有解（至多有個別例外）. 注：這里所說的相互獨立的任意常數(shù)，是指它們不能通過合并而使得通解中的任意常數(shù)的個數(shù)減少. 許多實際問題都要求尋找滿足某些附加條件的解，此時，這類附加條件就可以用來

6、確定通解中的任意常數(shù)，這類附加條件稱為初始條件，也稱為定解條件. 例如，條件(1.2)和(1.4)分別是微分方程(1.1)和(1.3)的初始條件. 帶有初始條件的微分方程稱為微分方程的初值問題. 微分方程的解的圖形是一條曲線，稱為微分方程的積分曲線. 例題選講 微分方程的概念 例1（E01）設(shè)一物體的溫度為100℃，將其放置在空氣溫度為20℃的環(huán)境中冷卻. 根據(jù)冷卻定律：物體溫度的變化率與物體和當(dāng)時空氣溫度之差成正比，設(shè)物體的溫度與時間的函數(shù)關(guān)系為，則可建立起函數(shù)滿足的微分方程 (1) 其中為比例常數(shù). 這就是

7、物體冷卻的數(shù)學(xué)模型. 根據(jù)題意，還需滿足條件 (2) 例2（E02）設(shè)一質(zhì)量為的物體只受重力的作用由靜止開始自由垂直降落. 根據(jù)牛頓第二定律：物體所受的力等于物體的質(zhì)量與物體運動的加速度成正比，即，若取物體降落的鉛垂線為軸，其正向朝下，物體下落的起點為原點，并設(shè)開始下落的時間是，物體下落的距離與時間的函數(shù)關(guān)系為，則可建立起函數(shù)滿足的微分方程 其中為重力加速度常數(shù). 這就是自由落體運動的數(shù)學(xué)模型. 根據(jù)題意，還需滿足條件

8、 例3（E03）試指出下列方程是什么方程，并指出微分方程的階數(shù). 解 (1) 是一階線性微分方程，因方程中含有的和都是一次. (2) 是一階非線性微分方程，因方程中含有的的平方項. (3) 是二階非線性微分方程，因方程中含有的的三次方. (4) 是二階非線性微分方程，因方程中含有非線性函數(shù)和 微分方程的解 例4（E04）求曲線族滿足的微分方程，其中為任意常數(shù). 解 求曲線族所滿足的方程，就是求一微分方程,使所給的曲線族正好是該微分方程的積分曲線族.因此所求的微分方程的階數(shù)應(yīng)與已知曲線族中的任意常數(shù)的個數(shù)相等.這里, 我們通過消去任意常數(shù)的方法來得到所求

9、的微分方程.在等式兩端對求導(dǎo),得 再從解出代入上式得 化簡即得到所求的微分方程 例5（E05）驗證函數(shù)(C為任意常數(shù))是方程 的通解, 并求滿足初始條件的特解. 解 要驗證一個函數(shù)是否是方程的通解，只要將函數(shù)代入方程，看是否恒等，再看函數(shù)式中所含的獨立的任意常數(shù)的個數(shù)是否與方程的階數(shù)相同.將求一階導(dǎo)數(shù),得 把和代入方程左邊得 因方程兩邊恒等,且中含有一個任意常數(shù),故是題設(shè)方程的通解. 將初始條件代入通解中， 得 從而所求特解為 課堂練習(xí) 1．驗證函數(shù)是微分方程的解. 并求滿足初始條件的特解.