《高等數(shù)學(xué)備課教案：第七章 微分方程 第十節(jié)數(shù)學(xué)建?！⒎址匠痰膽?yīng)用舉例》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高等數(shù)學(xué)備課教案：第七章 微分方程 第十節(jié)數(shù)學(xué)建模—微分方程的應(yīng)用舉例（7頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第十節(jié) 數(shù)學(xué)建?！⒎址匠痰膽?yīng)用舉例 微分方程在幾何、力學(xué)和物理等實(shí)際問(wèn)題中具有廣泛的應(yīng)用，本節(jié)我們將集中討論微分方程在實(shí)際應(yīng)用中的幾個(gè)實(shí)例. 讀者可從中感受到應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的理論和方法解決實(shí)際問(wèn)題的魅力. 分布圖示 ★ 衰變問(wèn)題 ★ 追跡問(wèn)題 ★ 自由落體問(wèn)題 ★ 彈簧振動(dòng)問(wèn)題 ★ 串聯(lián)電路問(wèn)題 ★ 返回 內(nèi)容要點(diǎn) (1) 衰變問(wèn)題 (2) 追跡問(wèn)題 (3) 自由落體問(wèn)題 (4) 彈簧振動(dòng)問(wèn)題 (5) 串聯(lián)電路問(wèn)題 例題選講 衰變問(wèn)題 例1（E01）鐳、鈾等放射性元素因不斷放射出各種射線而逐漸減少其質(zhì)量，這種現(xiàn)象稱(chēng)為放射性物質(zhì)的衰變.

2、 根據(jù)實(shí)驗(yàn)得知，衰變速度與現(xiàn)存物質(zhì)的質(zhì)量成正比，求放射性元素在時(shí)刻的質(zhì)量. 解 用表示該放射性物質(zhì)在時(shí)刻的質(zhì)量，則表示在時(shí)刻的衰變速度，依題意得 (1) 它就是放射性元素衰變的數(shù)學(xué)模型，其中是比例常數(shù)，稱(chēng)為衰變常數(shù)，因元素的不同而異.方程右端的負(fù)號(hào)表示當(dāng)時(shí)間增加時(shí)，質(zhì)量減少. 易求出方程(1)的通解為若已知當(dāng)時(shí)，代入通解中可得則可得到特解它反映了某種放射性元素衰變的規(guī)律. 注：物理學(xué)中，我們稱(chēng)放射性物質(zhì)從最初的質(zhì)量到衰變?yōu)樵撡|(zhì)量自身的一半所花費(fèi)的時(shí)間為半衰期，不同物質(zhì)的半衰期差別極大.如鈾的普通同位素的半衰期約為50億年；通常的鐳的半衰期為1600年，而鐳的另一同位素的半衰期僅為

3、1小時(shí).半衰期是上述放射性物質(zhì)的特征，然而半衰期卻不依賴(lài)于該物質(zhì)的初始質(zhì)量，一克衰變成半克所需要的時(shí)間與一噸衰變成半噸所需要的時(shí)間同樣都是1600年，正是這種事實(shí)才構(gòu)成了確定考古發(fā)現(xiàn)日期時(shí)使用的著名的碳－14測(cè)驗(yàn)的基礎(chǔ). 例2 (E02) 碳14()是放射性物質(zhì)，隨時(shí)間而衰減，碳12是非放射性物質(zhì).活性人體因吸納食物和空氣，恰好補(bǔ)償碳14衰減損失量而保持碳14和碳12含量不變，因而所含碳14與碳12之比為常數(shù).已測(cè)知一古墓中遺體所含碳14的數(shù)量為原有碳14數(shù)量的80％，試求遺體的死亡年代. 解 放射性物質(zhì)的衰減速度與該物質(zhì)的含量成比例，它符合指數(shù)函數(shù)的變化規(guī)律.設(shè)遺體當(dāng)初死亡時(shí)的含量

4、為,時(shí)的含量為于是，含量的函數(shù)模型為 其中是一常數(shù).常數(shù)可以這樣確定：由化學(xué)知識(shí)可知，的半衰期為5730年，即經(jīng)過(guò)5730年后其含量衰減一半，故有 即 兩邊取自然對(duì)數(shù)，得 即 于是，含量的函數(shù)模型為 由題設(shè)條件可知，遺體中的含量為原含量的80％，故有 即 兩邊取自然對(duì)數(shù)，得 于是 由此可知，遺體大約已死亡

5、1846年. 追跡問(wèn)題 例3（E03）設(shè)開(kāi)始時(shí)甲、乙水平距離為1單位, 乙從A點(diǎn)沿垂直于OA的直線以等速向正北行走；甲從乙的左側(cè)O點(diǎn)出發(fā), 始終對(duì)準(zhǔn)乙以的速度追趕. 求追跡曲線方程, 并問(wèn)乙行多遠(yuǎn)時(shí), 被甲追到. 解 設(shè)所求追跡曲線方程為經(jīng)過(guò)時(shí)刻甲在追跡曲線上的點(diǎn)為乙在點(diǎn)于是 (1) 由題設(shè)，曲線的弧長(zhǎng)為 解出代入(1)，得 整理得 追跡問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型 設(shè)則方程化為 或 兩邊積分，得 即 將初始條

6、件代入上式，得于是 (2) 兩邊同乘并化簡(jiǎn)得 (3) (2)式與(3)式相加得 兩邊積分得 代入初始條件得故所求追跡曲線為 甲追到乙時(shí)，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)此時(shí)即乙行走至離點(diǎn)個(gè)單位距離時(shí)被甲追到. 自由落體問(wèn)題 例4（E04）一個(gè)離地面很高的物體, 受地球引力的作用由靜止開(kāi)始落向地面. 求它落到地面時(shí)的速度和所需的時(shí)間(不計(jì)空氣阻力). 解 取連結(jié)地球中心與該物體的直線為軸，其方向鉛直向上，取地球的中心為原點(diǎn)(如圖).設(shè)地球的半徑為物體的質(zhì)量為物體開(kāi)始下落時(shí)與地球中心的距離為在時(shí)刻

7、物體所在位置為于是速度為由萬(wàn)有引力定律得微分方程 即 其中為地球的質(zhì)量，為引力常數(shù). 因?yàn)楫?dāng)時(shí)， (取負(fù)號(hào)是因此時(shí)加速度的方向與軸的方向相反). 代入得到初始條件為 先求物體到達(dá)地面時(shí)的速度. 由得 代入并分離變量得 把初始條件代入上式，得 于是 式中令就得到物體到達(dá)地面時(shí)得速度為 再求物體落到地面所需的時(shí)間. 分離變量得 由條件得 在上式中令便得到物體到達(dá)地面所需得時(shí)間為 彈簧振動(dòng)問(wèn)題

8、 例5（E05）設(shè)有一個(gè)彈簧, 它的一端固定, 另一端系有質(zhì)量為m的物體, 物體受力作用沿x軸運(yùn)動(dòng), 其平衡位置取為坐標(biāo)原點(diǎn)(圖12-11-3). 如果使物體具有一個(gè)初始速度那么物體便離開(kāi)平衡位置, 并在平衡位置附近作上下振動(dòng). 在此過(guò)程中, 物體的位置x隨時(shí) 間t變化. 要確定物體的振動(dòng)規(guī)律, 就是要求出函數(shù) 解 據(jù)胡克定律知, 彈簧的彈性恢復(fù)力與彈簧變形成正比: 其中(稱(chēng)為彈性系數(shù)), 負(fù)號(hào)表示彈性恢復(fù)力與物體位移方向相反. 在不考慮介質(zhì)阻力的情況下, 由牛頓第二定律可得 或 (11.9) 方程(11.9)稱(chēng)為無(wú)阻尼自由振動(dòng)的微分方程. 它是一個(gè)二階常系

9、數(shù)齊次線性方程. 如果物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中還受到阻尼介質(zhì)(如空氣、油、水等)的阻力的作用, 設(shè)阻力與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度成正比, 且阻力的方向與物體運(yùn)動(dòng)方向相反, 則有 其中(阻尼系數(shù)). 從而物體運(yùn)動(dòng)滿(mǎn)足方程 或 (11.10) 這個(gè)方程叫做有阻尼的自由振動(dòng)微分方程, 它也是一個(gè)二階常系數(shù)齊次線性方程. 如果物體在振動(dòng)過(guò)程中所受到的外力除了彈性恢復(fù)力與介質(zhì)阻力之外, 還受到周期性的干擾力 的作用, 那么物體的運(yùn)動(dòng)方程為 即 (11.11) 其

10、中 這個(gè)方程稱(chēng)為強(qiáng)迫振動(dòng)的微分方程, 它是一個(gè)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程. 下面就三種情形分別討論物體運(yùn)動(dòng)方程的解. 串聯(lián)電路問(wèn)題 如圖12-11-7是由電阻R、電感L及電容C（其中R,L,C是常數(shù)）串聯(lián)而成的回路, 時(shí)合上開(kāi)關(guān), 接入電源電動(dòng)勢(shì)求電路中任何時(shí)刻的電流 根據(jù)克希霍夫回路電壓定律, 有 其中RI為電流在電阻上電降壓, 而(Q為電容器兩極板間的電量, 是時(shí)間t的函數(shù))為電容在電感上電壓降, 則為電流在電感上電壓降. 由電學(xué)知, 于是方程成為 (11.13) 這是一個(gè)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程. 若當(dāng)時(shí), 已知電量為和電流為則我們有初始條件:

11、 此時(shí), 能求出方程(11.13)初vi始問(wèn)題的解. 例6（E06）在圖7-10-8的電路中, 設(shè) 且初始電量和電流均為0, 求電量和電流 解 由已知條件知，可得到方程 其特征方程為 特征根 故對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為 而非齊次方程的特解可設(shè)為 代入方程，并比較系數(shù)可得 所以 從而所求方程的通解為 利用初始條件得到 又 由得于是 解中含有兩部分，其中第一部分 即當(dāng)充分大時(shí)，有 因此，稱(chēng)為穩(wěn)態(tài)解.