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1、《初等數(shù)論》網(wǎng)絡(luò)作業(yè)2 1、設(shè)正整數(shù)的十進(jìn)制表示為，即，證明當(dāng)且僅當(dāng) 證明：由 利用同余可加性和同余可乘性，得 ∴ 當(dāng)且僅當(dāng) 2、求被除的余數(shù)。 解：依次計(jì)算同余式得， ∴ ，即 ∴ 被641除的余數(shù)為0 3、設(shè)是一個(gè)使不能被5整除的自然數(shù)，試求除以的5的余數(shù)。 解：設(shè)， 對(duì)任意整數(shù)，有 當(dāng)時(shí)，，但5不能整除， ∴ 當(dāng)時(shí)，不能被5整除。 對(duì)于或，通過計(jì)算得，當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， ∴ 當(dāng)是一個(gè)使不能被5整除的自然數(shù)時(shí)， 除以的5的余數(shù)為1或0或4。 4、求的個(gè)位數(shù)字。 解：∵ ∴ 如果，則 ∵ ∴

2、∴ 的個(gè)位數(shù)字是3 5、 設(shè)是整數(shù)，是正整數(shù)，若2不能整除，則 證明：對(duì)n作數(shù)學(xué)歸納。設(shè)， 當(dāng)時(shí)，有，所以結(jié)論成立. 假設(shè)時(shí)，成立 下面要證明時(shí)，也成立 由于 ∴ ，其中為某個(gè)整數(shù) ∴ 由歸納法，對(duì)所有的正整數(shù)，成立 6、設(shè)是任意二個(gè)正奇數(shù)，則當(dāng)是任意二個(gè)連續(xù)奇數(shù)或連續(xù)偶數(shù)時(shí)，有.特別地，若是二個(gè)連續(xù)的正奇數(shù)時(shí)，則，且 證明：不妨設(shè)a，b是任意二個(gè)連續(xù)偶數(shù)， 則，由于 且都是偶數(shù) ∴ 是偶數(shù) 設(shè)，則 ∴ 7、設(shè)是整系數(shù)多項(xiàng)式，且都不能被整除，證明方程沒有整數(shù)解。 證明：對(duì)任意整數(shù)， 利用同余可加性和同余可乘性得 ∵ 都不能被整除 ∴ ，即沒有整數(shù)解。