《高等數(shù)學試卷:98級高等數(shù)學(上)期中試題》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《高等數(shù)學試卷:98級高等數(shù)學(上)期中試題(7頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、98級高等數(shù)學(上)期中試題一、填空題(38=24分)1.解: ,。2若在內(nèi)連續(xù),則 -2 。解:, 。3若,其中可導,則.解: .4.若,則 1 .解: 。5.函數(shù)由方程確定,則。解:, ,。6函數(shù)的帶拉格朗日余項的三階麥克勞林公式為 。 解:, , (在與之間)。7若,則。解:,。8曲線的單增區(qū)間為,下凸區(qū)間為。解:的定義域為, 令,得;令,得。12+0-0+二、選擇題(44=16分)9當時,與為等價無窮小,則必有( A ) (A),; (B),; (C),; (D),。解:,。 10函數(shù)的不可導點的個數(shù)是( C ) (A)3; (B)2; (C)1; (D)0。解:的可能不可導點為,。
2、, , 。 , , 不存在。11曲線( C ) (A)沒有漸近線; (B)有一條漸近線; (C)有二條漸近線; (D)有三條漸近線。解:,曲線無水平漸近線; , 直線是曲線的垂直漸近線; , 直線是曲線的斜漸近線。12已知在的某鄰域內(nèi)連續(xù),且,則在處( D ) (A)不可導; (B)可導且; (C)取得極大值; (D)取得極小值。解:在連續(xù),當時,。故應選(D)。三、解答題 (30分)13設,求(6分)解:,。14求極限:(6分)解:。15設函數(shù)由方程確定, 試求它的駐點,并判定 它是否為極值點,如果是極值點,是極大點還是極小點?(8分) 解:, 即, 令,得,代入原方程,得, ,得唯一駐點,
3、此時, 再對式兩邊求導,得 , , 把,代入式,得,是極小值點。16試確定的范圍,使方程有實根。(10分)解題思路:設,。當且僅屬于函數(shù)的值 域時,方程有實根。首先確定在內(nèi)的值 域。為此需要求的極值。 ,令,得唯一駐點, ,是極小值,也是最小值, 又, 的值域是, 當時,直線才能與曲線相交, 這時方程才能有實根。四、應用題(210=20分)17設某銀行中的總存款量與銀行付給存戶年利率的平方成正比。若銀行以 的年利率把總存款的貸出,問銀行給存戶的年利率定為多少,它才 能獲得最大利潤?解:設銀行付給存戶的年利率為,總存款量為,總利潤為,則(為常數(shù)),即 , , 令,得,(應舍去)。 ,是極大值點,
4、也是最大值點。 當銀行給存戶的年利率定為時,才能獲得最大利潤。18.一盞高的路燈照在一個距燈遠,從高處自由下落的球上,球的影子 沿水平地面移動,求當球離地面高時影子移動的速度(空氣阻力忽略不計)。解:以燈柱與地面的交點為原點,燈柱所在的直線為軸,建立平面直角坐標系。 燈的位置為,球的初始位置為。 設球下落離地面時, 影子距原點的,則有, , 當時,由,得,。 所求影子移動的速度為。五、證明題(10分)19設在連續(xù),在內(nèi)可導, 試證:,使。 分析:即證。這題是要證明存在兩個中間值,滿足等 式。由于用一次中值定理只能找到一個中間值,故要用兩次 中值定理才能解決問題。證明:設 , 和在上滿足中值定理, ,使, , ,從而。7