《2018版高考數(shù)學(xué) 考點50 與離散型隨機變量的分布列、均值相結(jié)合的綜合問題試題解讀與變式》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018版高考數(shù)學(xué) 考點50 與離散型隨機變量的分布列、均值相結(jié)合的綜合問題試題解讀與變式（12頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、考點50 與離散型隨機變量的分布列、均值相結(jié)合的綜合問題【考綱要求】理解取有限個值的離散型隨機變量的均值、方差的概念，會求簡單離散型隨機變量的均值、方差，并能利用離散型隨機變量的均值、方差概念解決一些簡單問題.【命題規(guī)律】離散型隨機變量的期望與方差的應(yīng)用，是高考的重要考點，不僅考查學(xué)生的理解能力與數(shù)學(xué)計算能力，而且不斷創(chuàng)新問題情境，突出學(xué)生運用概率、期望與方差解決實際問題的能力，以解答題為主，中等難度【典型高考試題變式】與離散型隨機變量的分布列、均值相結(jié)合的綜合問題例1.【2017課標(biāo)3】某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2

2、元的價格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：）有關(guān).如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間20，25），需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫10，15）15，20）20，25）25，30）30，35）35，40）天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.（1）求六月份這種酸奶一天的需求量X（單位：瓶）的分布列；（2）設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y（單位：元）.當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量n（

3、單位：瓶）為多少時，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？【分析】（1）所有的可能取值為200,300,500，利用題意求得概率即可得到隨機變量的分布列；（2）由題中所給條件分類討論可得n=300時，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值，為520元.【解析】（1）由題意知，所有可能取值為200,300,500，由表格數(shù)據(jù)知，.因此的分布列為0.20.40.4所以n=300時，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值，最大值為520元.【名師點睛】離散型隨機變量的分布列指出了隨機變量X的取值以及取各值的概率；要理解兩種特殊的概率分布兩點分布與超幾何分布，并善于靈活運用兩性質(zhì)：一是pi0(i1,2，)；二是p1p2pn1檢驗分布列的正誤.【變

4、式1】【2018河南省漯河市模擬】汽車店是一種以“四位一體”為核心的特許經(jīng)營模式，包括整車銷售、零配件銷售、售后服務(wù)、信息反饋等。某品牌汽車店為了了解， ， 三種類型汽車質(zhì)量問題,對售出的三種類型汽車各取100輛進(jìn)行跟蹤服務(wù),發(fā)現(xiàn)各車型一年內(nèi)需要維修的車輛如下表所示1.表1（1）某公司一次性從店購買該品牌， ， 型汽車各一輛,記表示這三輛車的一年內(nèi)需要維修的車輛數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.(各型汽車維修的頻率視為其需要維修的概率).（2）該品牌汽車店為了對廠家新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價，將該產(chǎn)品按使事先擬定的各種價格進(jìn)行試銷相等時間，得到數(shù)據(jù)如表2.預(yù)計在今后的銷售中,銷量與單價仍然服從的關(guān)系

5、,且該產(chǎn)品的成本是500元/件,為使4S店獲得最大利潤(利潤=銷售收入-成本)，該產(chǎn)品的單價應(yīng)定位多少元？表1車型 頻數(shù)202040表2單價 (元)800820840850880900銷量 (件)908483807568【解析】（1）根據(jù)表格, 型車維修的概率為, 型車維修的概率為, 型車維修的概率為.由題意, 的可能值為0,1,2,3,所以 ； ； 所以的分布列為0123 所以 .【變式2】【2018四川省德陽市三校聯(lián)合測試】為了引導(dǎo)居民合理用電，國家決定實行合理的階梯電價，居民用電原則上以住宅為單位（一套住宅為一戶）.階梯級別第一階梯第二階梯第三階梯月用電范圍（度）（0,210（210,4

6、00某市隨機抽取10戶同一個月的用電情況，得到統(tǒng)計表如下：居民用電戶編號12345678910用電量（度）538690124132200215225300410若規(guī)定第一階梯電價每度0.5元，第二階梯超出第一階梯的部分每度0.6元，第三階梯超出第二階梯的部分每度0.8元，試計算A居民用電戶用電410度時應(yīng)交電費多少元？現(xiàn)要在這10戶家庭中任意選取3戶，求取到第二階梯電量的戶數(shù)的分布列與期望；以表中抽到的10戶作為樣本估計全市的居民用電，現(xiàn)從全市中依次抽取10戶，若抽到戶用電量為第一階梯的可能性最大，求的值.【解析】（1）元,設(shè)取到第二階梯電量的用戶數(shù)為，可知第二階梯電量的用戶有3戶，則可取0,

7、1,2,3, , ,故的分布列是0123所以 ,可知從全市中抽取10戶的用電量為第一階梯，滿足，可知 ,解得， ,所以當(dāng)時，概率最大，所以.【數(shù)學(xué)思想】 數(shù)形結(jié)合思想 函數(shù)方程思想 轉(zhuǎn)化與化歸思想.【溫馨提示】均值能夠反映隨機變量取值的“平均水平”，因此，當(dāng)均值不同時，兩個隨機變量取值的水平可見分曉，由此可對實際問題作出決策判斷；若兩隨機變量均值相同或相差不大，則可通過分析兩變量的方差來研究隨機變量的離散程度或者穩(wěn)定程度，進(jìn)而進(jìn)行決策【典例試題演練】1.【2017河南百校聯(lián)考】小李參加一種紅包接龍游戲：他在紅包里塞了12元，然后發(fā)給朋友，如果猜中，將獲得紅包里的所有金額；如果未猜中，將當(dāng)前的紅

8、包轉(zhuǎn)發(fā)給朋友，如果猜中，平分紅包里的金額；如果未猜中，將當(dāng)前的紅包轉(zhuǎn)發(fā)給朋友，如果猜中，和平分紅包里的金額；如果未猜中，紅包里的錢將退回小李的賬戶，設(shè)猜中的概率分別為，且是否猜中互不影響（1）求恰好獲得4元的概率；（2）設(shè)獲得的金額為元，求的分布列；（3）設(shè)獲得的金額為元，獲得的金額為元，判斷所獲得的金額的期望能否超過的期望與的期望之和（3）的可能取值為0，4，6；的可能取值為0，4因為，所以，所以，又，由于，所以所獲得的金額的期望能超過的期望與的期望之和2.【2016洛陽市統(tǒng)一考試】今年春節(jié)期間，在為期5天的某民俗廟會上，某攤點銷售一種兒童玩具的情況如下表：日期天氣2月13日2月14日2月1

9、5日2月16日2月17日小雨小雨陰陰轉(zhuǎn)多云多云轉(zhuǎn)陰銷售量上午4247586063下午5556626567由表可知：兩個雨天的平均銷售量為100件/天，三個非雨天的平均銷售量為125件/天.（1）以十位數(shù)字為莖，個位數(shù)字為葉，畫出表中10個銷售數(shù)據(jù)的莖葉圖，并求出這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；（2）假如明天廟會5天中每天下雨的概率為，且每天下雨與否相互獨立，其他條件不變，試估計廟會期間同一類型攤點能夠售出的同種兒童玩具的件數(shù)；（3）已知攤位租金為1000元/個，該種玩具進(jìn)貨價為9元/件，售價為13元/件，未售出玩具可按進(jìn)貨價退回廠家，若所獲利潤大于1200元的概率超過0.6，則稱為“值得投資”，那么在（2）

10、的條件下，你認(rèn)為“值得投資”嗎?【解析】（1）由已知得如下莖葉圖，中位數(shù)為.（2）設(shè)明年廟會期間下雨天數(shù)為，則的所有可能取值為0,1,2,3,4,5，且，所以，所以估計明年廟會期間，可能有2天下雨，3天不下雨，據(jù)此推測廟會期間該攤點能售出的玩具件數(shù)為.3.一個口袋中有2個白球和n個紅球(n2，且nN*)，每次從袋中摸出兩個球(每次摸球后把這兩個球放回袋中)，若摸出的兩個球顏色相同為中獎，否則為不中獎（1）試用含n的代數(shù)式表示一次摸球中獎的概率；（2）若n3，求三次摸球恰有一次中獎的概率；（3）記三次摸球恰有一次中獎的概率為f(p)，當(dāng)n為何值時，f(p)取最大值？【解析】（1）一次摸球從n2個

11、球中任選兩個，有C種選法，其中兩球顏色相同有CC種選法，因此一次摸球中獎的概率為.（2）若n3，則一次摸球中獎的概率為，三次摸球是獨立重復(fù)試驗，三次摸球中恰有一次中獎的概率是C(1)2.（3）設(shè)一次摸球中獎的概率是p，則三次摸球恰有一次中獎的概率是f(p)Cp(1p)23p36p23p，0p1.因為f(p)9p212p33(p1)(3p1)，所以f(p)在(0，)上是增函數(shù)，在(，1)上是減函數(shù)，所以當(dāng)p時，f(p)取最大值，所以p(n2，且nN*)，所以n2.故n2時，f(p)取最大值4.為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對1 000位顧客進(jìn)行獎勵，規(guī)定：每位顧客從一個裝有4個標(biāo)有面值的

12、球的袋中一次性隨機摸出2個球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎勵額（1）若袋中所裝的4個球中有1個所標(biāo)的面值為50元，其余3個均為10元，求：顧客所獲的獎勵額為60元的概率；顧客所獲的獎勵額的分布列及均值；（2）商場對獎勵總額的預(yù)算是60 000元，并規(guī)定袋中的4個球只能由標(biāo)有面值10元和50元的兩種球組成，或標(biāo)有面值20元和40元的兩種球組成為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡，請對袋中的4個球的面值給出一個合適的設(shè)計，并說明理由（2）根據(jù)商場的預(yù)算，每個顧客的平均獎勵額為60元所以，先尋找均值為60元的可能方案對于面值由10元和50元組成的情況，如果

13、選擇(10,10,10,50)的方案，因為60元是面值之和的最大值，所以均值不可能為60元；如果選擇(50,50,50,10)的方案，因為60元是面值之和的最小值，所以均值也不可能為60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)，記為方案1.對于面值由20元和40元組成的情況，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，記為方案2.以下是對兩個方案的分析：對于方案1，即方案(10,10,50,50)，設(shè)顧客所獲的獎勵額為X1，則X1的分布列為X12060100PX1的均值E(X1)206010060，X1的方差D(X1

14、)(2060)2(6060)2(10060)2.對于方案2，即方案(20,20,40,40)，設(shè)顧客所獲的獎勵額為X2，則X2的分布列為X2406080PX2的均值E(X2)40608060，X2的方差D(X2)(4060)2(6060)2(8060)2.由于兩種方案的獎勵額的均值都符合要求，但方案2獎勵額的方差比方案1的小，所以應(yīng)該選擇方案2.5.(2016全國乙卷)某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰機器有一易損零件，在購進(jìn)機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200 元在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500 元現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)同時購買幾個易損零件，為此搜

15、集并整理了100 臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：以這100 臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1 臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2 臺機器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購買2 臺機器的同時購買的易損零件數(shù)（1）求X的分布列；（2）若要求P(Xn)0.5，確定n的最小值；（3）以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù)，在n19與n20之中選其一，應(yīng)選用哪個？【解析】（1）由柱狀圖及以頻率代替概率可得，一臺機器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8,9,10,11的概率分別為0.2，0.4，0.2,0.2.從而P(X16)0.20.20.04；P(X17)20.20

16、.40.16；P(X18)20.20.20.40.40.24；P(X19)20.20.220.40.20.24；P(X20)20.20.40.20.20.2；P(X21)20.20.20.08；P(X22)0.20.20.04.所以X的分布列為X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.046.【2018四川省樂山外國語學(xué)校模擬】某公司每個工作日由位于市區(qū)的總公司向位于郊區(qū)的分公司開一個來回的班車（每年按200個工作日計算），現(xiàn)有兩種使用班車的方案，方案一是購買一輛大巴，需花費90萬元，報廢期為10年，車輛平均每年的各種費用合計5萬元，司機年工資6萬元，司機每天請假的概率為0.1（每年請假時間不超過15天不扣工資，超過15天每天100元），若司機請假則需從公交公司雇傭司機，每天支付300元工資.方案二是租用公交公司的車輛（含司機），根據(jù)調(diào)研每年12個月的車輛需求指數(shù)如直方圖所示，其中當(dāng)某月車輛需求指數(shù)在時，月租金為萬元.（1）若購買大巴，設(shè)司機每年請假天數(shù)為，求公司因司機請假而增加的花費（元）及使用班車年平均花費（萬元）的數(shù)學(xué)期望.（2）試用調(diào)研數(shù)據(jù)，給出公司使用班車的建議，使得年平均花費最少.【解析】（1）由已知，當(dāng)時， ，當(dāng)時， 所以 由已知，所以所以（萬元）12