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1、2015屆高考數(shù)學(xué) 考前三個(gè)月 必考題型過(guò)關(guān)練 第44練 矩陣與變換 理 第44練 矩陣與變換 題型一 常見(jiàn)矩陣變換的應(yīng)用 例1 已知曲線C：xy1. (1)將曲線C繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45后，求得到的曲線C的方程； (2)求曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程 破題切入點(diǎn) 把握常見(jiàn)矩陣變換類型，比用一般矩陣運(yùn)算處理要方便得多，同時(shí)，從前后曲線性質(zhì)分析上，可以加深對(duì)曲線性質(zhì)的理解 解 (1)設(shè)P(x0，y0)是曲線C：xy1上的任一點(diǎn)， 點(diǎn)P(x0，y0)在旋轉(zhuǎn)變換后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為 P(x0，y0)，則 ?x0?cos 45 sin 45?x0? ?y0?sin 45 cos 45?y0? ?22 22?

2、x?2222?. ?2 2?y?2x2y?22?22?0000 00 22?x，?22?22yx，?22000000 0002?x?xy?，?2?2yyx?.?2000 又x0y01， 2222(y0x0)3y0x0)1. 2222y0 x0 2，即曲線C：xy1旋轉(zhuǎn)后所得到的曲線C的方程為yx2. (2)曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(0，2)，F(xiàn)2(0,2)，漸近線方程為yx. 再順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45后，即可得到曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2，2)和(2，2)；漸近線方程為x0，y0. 題型二 二階矩陣的逆矩陣 - 1 - ?a 例2 設(shè)矩陣M?0 0?b?(其中a>0，b>0) 1(1)若a2，b

3、3，求矩陣M的逆矩陣M； (2)若曲線C：xy1在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下得到曲線Cy1，求a，b4 的值 破題切入點(diǎn) 對(duì)于二階矩陣，若有ABBAE，則稱B為A的逆矩陣因而求一個(gè)二階矩陣的逆矩陣，可用待定系數(shù)法求解 22x22 ?x1 y1?解 (1)設(shè)矩陣M的逆矩陣M?， ?x2 y2? ?1 0?1則MM?. ?0 1? ?2 0?又M?， ?0 3? ?2 0?x1 y1?1 0?所以?. ?0 3?x2 y2?0 1?1 所以2x11,2y10,3x20,3y21， 11即x1，y10，x20，y2， 23 1 021故所求的逆矩陣M. 10 3?(2)設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P(x，y

4、)，它在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下得到點(diǎn)P(x，y)， ?axx，?a 0?x?x?則? ?，即?byy.?0 b?y?y? 又點(diǎn)P(x，y)在曲線C上，所以 則x24y1. 2a2x24by1為曲線C的方程 2222又已知曲線C的方程為xy1， 2?a4，?a2，故?2又a>0，b>0，所以?b1.?b1. 題型三 求矩陣的特征值與特征向量 ?1 1?例3 已知矩陣A?3) ?，其中aR，若點(diǎn)P(1,1)在矩陣A的變換下得到點(diǎn)P(0，?a 1? (1)求實(shí)數(shù)a的值； (2)求矩陣A的特征值及特征向量 破題切入點(diǎn) (1)注意特征值與特征向量的求法及特征向量的幾何意義：從幾何上看，

5、特征向 - 2 - 量的方向經(jīng)過(guò)變換矩陣M的作用后，保持在同一條直線上，這時(shí)特征向量或者方向不變(>0)，或者方向相反(<0)特別地，當(dāng)0時(shí)，特征向量就被變成了零向量 ?a b?(2)計(jì)算矩陣M?的特征向量的步驟如下： ?c d? ?a b?2由矩陣M得到特征多項(xiàng)式f()?求特征多項(xiàng)式的根，即求(ad)?；?c d? ?a?xby0(adbc)0的根；將特征多項(xiàng)式的根(特征值)代入特征方程?，求?cx?d?y0 解得非零解對(duì)應(yīng)的向量，即是矩陣M對(duì)應(yīng)的特征向量 ?1 1?1? 0?解 (1)由題意得?， ?a 1?1?3? 所以a13，所以a4. ? 1 1?(2)由(1)知A?，

6、?4 1? ?1 1?2令f()?(1)40. ? 4 1? 解得A的特征值為1或3. ?2xy0?1?當(dāng)1時(shí)，由?得矩陣A的屬于特征值1的一個(gè)特征向量為?； ?4x2y0?2? ?2xy0當(dāng)3時(shí)，由?4x2y0 ? 1?得矩陣A的屬于特征值3的一個(gè)特征向量為?. ?2? 總結(jié)提高 (1)在解決通過(guò)矩陣進(jìn)行平面曲線的變換問(wèn)題時(shí)，變換矩陣可以通過(guò)待定系數(shù)法解決，在變換時(shí)一定要把變換前后的變量區(qū)別清楚，防止混淆 (2)對(duì)于二階矩陣，要能夠熟練地根據(jù)常見(jiàn)的幾種變換的坐標(biāo)形式和矩陣形式相互轉(zhuǎn)化的規(guī)則，直接指明對(duì)應(yīng)的變換 (3)對(duì)于常見(jiàn)的變換，要能夠根據(jù)前后的圖形中的點(diǎn)的坐標(biāo)變換規(guī)律準(zhǔn)確寫出變換矩陣 (

7、4)對(duì)于二階矩陣A而言，至多有兩個(gè)特征值，將特征值代入A，即可求得對(duì)應(yīng)的特征向量. (5)關(guān)于特征值與特征向量的討論與矩陣變換性質(zhì)、矩陣的乘積、行列式以及線性方程組的解等有密切的聯(lián)系，或說(shuō)是所學(xué)知識(shí)的一個(gè)綜合運(yùn)用 1求將曲線yx繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90后所得的曲線方程 解 由題意得旋轉(zhuǎn)變換矩陣 ?cos 90 sin 90?0 1?M?， ?sin 90 cos 90?1 0? - 3 - 2 設(shè)P(x0，y0)為曲線yx上任意一點(diǎn)，變換后變?yōu)榱硪稽c(diǎn)(x，y)， ?x?0 1?x0?則?， ?y?1 0?y0? ?xy0，?y0x，即?所以? ?yx，xy.00?2 又因?yàn)辄c(diǎn)P在曲線yx上，所以y

8、0x0， 故(x)y，即yx為所求的曲線方程 2在直角坐標(biāo)系中，已知ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(0,0)、B(1,1)、C(0,2)，求ABC在矩陣MN ?0 1?0 1?作用下變換所得到的圖形的面積，其中M?，N?. ?1 0?1 0? ?0 1?解 由在矩陣線性變換下的幾何意義可知，在矩陣N?作用下，一個(gè)圖形變換為其繞?1 0? ?0 1?原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到的圖形；在矩陣M?作用下，一個(gè)圖形變換為與之關(guān)于直線y?1 0? x對(duì)稱的圖形，因此，ABC在矩陣MN作用下變換所得到的圖形與ABC全等，從而其面積等于ABC的面積，即為1. 2222 ?1 3(20132福建)已知直線l：axy1在矩陣

9、A?0 by1. (1)求實(shí)數(shù)a，b的值； 2?對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)橹本€l：x1? (2)若點(diǎn)P(x0，y0)在直線l上，且A?，求點(diǎn)P的坐標(biāo) 解 (1)設(shè)直線l：axy1上任意點(diǎn)M(x，y)在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下的像是M(x，y) ?xx2y，?x?1 2?x?x2y?由? ?，得?yy.?y?0 1?y? y?x0?x0?y0?y0? 又點(diǎn)M(x，y)在l上， 所以xby1，即x(b2)y1， ?a1，?a1，依題意得?解得? ?b21，b1.? ?x0x02y0，?x0?x0?(2)由A?，得?y0y0，?y0?y0? 解得y00. 又點(diǎn)P(x0，y0)在直線l上，所以x01. 故點(diǎn)P

10、的坐標(biāo)為(1,0) 4已知在二階矩陣M對(duì)應(yīng)變換的作用下，四邊形ABCD變成四邊形ABCD，其中A(1,1)，B(1,1)，C(1，1)，A(3，3)，B(1,1)，D(1，1) - 4 - (1)求出矩陣M； (2)確定點(diǎn)D及點(diǎn)C的坐標(biāo) ?a b?解 (1)設(shè)M?， ?c d? ?a b?1? 3?a b?1?1?則有?，?， ?c d?1?3?c d? 1?1? ab3，?cd3，故?ab1，?cd1， a1，?b2， 解得?c2，?d1， ? 1 ?2 ? 1 (2)由?2 M? 2?. 1? 2?1?3?， 1?1? 3? 知C(3,3)， 12 33?1? 1?由?， 21?1?1?

11、33?知D(1，1) ?2 1?5設(shè)A?，問(wèn)A是否可逆？如果可逆，求其逆矩陣 ?4 2? ?2 1?x y?解 設(shè)A?是可逆的，其逆矩陣B?，那么應(yīng)該有BAABE， ?4 2?u v? ?x y?2 1?1 0?即? ?， ?u v?4 2?0 1? ?2 1?x y?1 0? ?. ?4 2?u v?0 1? 2x4y1， ?x2y0， 由得?2u4v0， ?u2v1. 3331得(232431)y1， 即0y1，這說(shuō)明上面的方程組無(wú)解從而，不存在矩陣B使得BAABE，所以，矩陣A?2 1?不可逆 ?4 2? ?1 0?1 2?16(20132江蘇)已知矩陣A?，B?，求矩陣AB. ? 0

12、2?0 6? ?a b?1解 設(shè)矩陣A的逆矩陣A?， ?c d? - 5 - ?1 0?a b?1 0?則?， ? 0 2?c d?0 1? ?a b?1 0?即? ? 2c 2d?0 1? 1故a1，b0，c0，d， 2 ?1 0? 從而A的逆矩陣A?1， ? 0 12? ?1 1所以AB? 0 ? ?1 2?. ? 0 3?1 2? 1?0 6?2?0? 7在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(0,0)，B(2,0)，C(2,1)設(shè)k為非零實(shí)數(shù)，矩陣 k 0?0 1?M?，N?B、C在矩陣MN對(duì)應(yīng)的變換下得到的點(diǎn)分別為A1、B1、C1，A1B1C1?0 1?1 0?，點(diǎn)A、 的面積是ABC的

13、面積的2倍，求k的值 解 由題設(shè)得 k 0?0 1?0 k?MN?0 1?1 0?1 0?. 0 k?0?0?由?1 0?0?0?， ?0 k?2?0?， ?1 0?0?2? ?0 k?2?k?， ?1 0?1?2? 可知A1(0,0)，B1(0，2)，C1(k，2) 計(jì)算得ABC的面積是1，A1B1C1的面積是|k|，由題設(shè)知|k|2312， 所以k的值為2或2. ? 1 2?5?8給定矩陣A?，B?. ?1 4?3? (1)求A的特征值1，2及對(duì)應(yīng)的特征向量1，2； (2)求AB. 解 (1)設(shè)A的一個(gè)特征值為， ?1 2?由題意知?0，(2)(3)0，12，23， ? 1 4? ? 1

14、2?x?x?當(dāng)12時(shí)，由?2?， ?1 4?y?y? ?2?得A的屬于特征值2的特征向量為1?， ?1?4 - 6 - ? 1 當(dāng)23時(shí)，由?1 ?x?3?， 4?y?y?2?x? 得A的屬于特征值3的特征向量為 ?1?2?. ?1? ?5?2?1?(2)由于B?2? ?3?1?1? 212， 故ABA(212) 2(21)(32)321812 ?64?81?145?. ?32?81?113?4444 ?1?9已知二階矩陣M有特征值8及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量e1?，并且矩陣M對(duì)應(yīng)的變換將?1? 點(diǎn)(1,2)變換成(2,4) (1)求矩陣M； (2)求矩陣M的另一個(gè)特征值，及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量e2的

15、坐標(biāo)之間的關(guān)系； (3)求直線l：xy10在矩陣M的作用下的直線l的方程 ?a b?解 (1)設(shè)M?， ?c d? ?a b?1?1?8?則?8?， ?c d?1?1?8? ?ab8，故? ?cd8.? ?a ?c ?b?1?2?a2b2，?，故?d? 2? 4?c2d4. 聯(lián)立以上兩方程組解得a6，b2，c4，d4， ?6 2?故M?. ?4 4? (2)由(1)知，矩陣M的特征多項(xiàng)式為 ?6 2?2f()?(6)(4)81016，故其另一個(gè)特征值為2.? 4 4? ?x?6x2y?x?設(shè)矩陣M的另一個(gè)特征向量是e2?，則Me2?2?，解得2xy0. y4x4y?y? (3)設(shè)點(diǎn)(x，y)是

16、直線l上的任一點(diǎn)，其在矩陣M的變換下對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)， ?6 2?x?x?則?， ?4 4?y?y? 1113即xy，yx，代入直線l的方程后并化簡(jiǎn)得xy20，即x4848 - 7 - y20. ?1 10已知曲線C：y2x，在矩陣M?0 20?0 1?C1在矩陣N?對(duì)應(yīng)的變換作用下得到曲線C1，?2?1 0? 對(duì)應(yīng)的變換作用下得到曲線C2，求曲線C2的方程 ?0 1?1 0?0 2?解 設(shè)ANM，則A?， ?1 0?0 2?1 0? 設(shè)P(x，y)是曲線C上任一點(diǎn)，在兩次變換下，在曲線C2上的對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為P(x，y)， ?x?0 2?x?2y?則?， ?y1 0y x? ?x2y，即

17、?yx，? xy，?1y.?2? 2 又點(diǎn)P(x，y)在曲線C：y2x上， 1212)2y，即yx. 28 ?a 11設(shè)曲線2x2xyy1在矩陣A?b 220?(a>0)對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的曲線為xy1?22 1. (1)求實(shí)數(shù)a，b的值； (2)求A的逆矩陣 解 (1)設(shè)曲線2x2xyy1上任意點(diǎn)P(x，y)在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下的像是P(x，222 y) ?x?a 由?y?b 0?x?xax，? ax?，得?1?y?bxy?ybxy. 222 2又點(diǎn)P(x，y)在xy1上，所以xy1， 即ax(bxy)1， 整理得(ab)x2bxyy1. 22?ab2，?a1，?依題意得解得?2

18、b2，?b1，? ?a1，因?yàn)閍>0，所以?b1.?2222222 0? ?a1，或?b1.? 0?1 0?1 0?1 2，A?1?1 1?1 1?2 ?1 0?221所以|A|1，(A)?. ?2 1? ? 1 3?1 2?12已知矩陣A?，B?. ?1 1?0 1?(2)由(1)知，A? ?1 ?1 ?. 1?- 8 - (1)求(AB)； (2)求直線2xy50在(AB)對(duì)應(yīng)變換作用下的直線方程 ? 1 3?1 2? 1 1?解 (1)AB?， ?1 1?0 1?1 3? 又|AB|314， 31 441(AB). 11 4411?(2)設(shè)P(x0，y0)是直線2xy50上任一點(diǎn)，P(x，y)是在變換作用下點(diǎn)P的像， 31 44?x0?x0?x?1?則有?(AB)?. yy11?0?y0? 44?31xxy，?44?11yx?44.0000 ?x0xy， ?y0x3y. 代入直線方程2xy50，得2(xy)(x3y)50，即x5y50，即為所求的直線方程 - 9 -