《2018年高考數(shù)學(xué) 命題角度5.5 圓錐曲線(xiàn)的定值、定點(diǎn)問(wèn)題大題狂練 文》由會(huì)員分享，可在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)《2018年高考數(shù)學(xué) 命題角度5.5 圓錐曲線(xiàn)的定值、定點(diǎn)問(wèn)題大題狂練 文（17頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、命題角度5.5：圓錐曲線(xiàn)的定值、定點(diǎn)問(wèn)題1.已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，中心在原點(diǎn)，離心率，直線(xiàn)與以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓相切.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)是橢圓上異于的任意一點(diǎn)，直線(xiàn)的斜率分別為.證明： 為定值.【答案】（1）（2）【解析】試題分析: （I）設(shè)橢圓的方程，利用離心率e直線(xiàn)l：y=x+2與以原點(diǎn)為圓心，橢圓C的短半軸為半徑的圓O相切，確定幾何量，從而可得橢圓的方程；（）利用M點(diǎn)在橢圓上，計(jì)算斜率，化簡(jiǎn)即可得到結(jié)論（2）證明：由橢圓的方程得，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則.為定值.點(diǎn)睛：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線(xiàn)與圓相切，考查斜率的計(jì)算，主要應(yīng)用點(diǎn)在曲線(xiàn)上

2、得出定值.2. 已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定直線(xiàn)的距離比到定點(diǎn)的距離大.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交軌跡于， 兩點(diǎn)，直線(xiàn)， 分別交直線(xiàn)于點(diǎn)， ，證明以為直徑的圓被軸截得的弦長(zhǎng)為定值，并求出此定值.【答案】（I）；（II）詳見(jiàn)解析.【解析】試題分析：（1）依據(jù)題設(shè)條件及兩點(diǎn)間距離公式建立方程分析求解；（2）依據(jù)題設(shè)條件建立直線(xiàn)， 的方程，再運(yùn)用坐標(biāo)之間的關(guān)系分析探求：試題解析：解：（）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)槎c(diǎn)在定直線(xiàn)： 的右側(cè)，且動(dòng)點(diǎn)到定直線(xiàn)： 的距離比到定點(diǎn)的距離大，所以且，化簡(jiǎn)得，即，軌跡的方程為（）設(shè)， （），則， ， ， 三點(diǎn)共線(xiàn)，又，直線(xiàn)的方程為，令，得同理可得所以以為直徑的圓的方程為，

3、即將代入上式，可得，令，即或，故以為直徑的圓被軸截得的弦長(zhǎng)為定值4點(diǎn)睛：解析幾何是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)與內(nèi)容，也是高考重點(diǎn)考查的重要考點(diǎn)與熱點(diǎn)。這類(lèi)問(wèn)題的設(shè)置旨在考查借助直角坐標(biāo)的關(guān)系求解幾何圖形問(wèn)題。求解第一問(wèn)時(shí)充分依據(jù)題設(shè)條件，運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式建立等量關(guān)系，通過(guò)化簡(jiǎn)使得問(wèn)題獲解；解答第二問(wèn)時(shí)，先設(shè)， ，在借助題設(shè)中的條件建立以為直徑的圓的方程為，探究其最值關(guān)系，從而使得問(wèn)題獲解。3. 已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為圓， 是上一點(diǎn)， ，且（1）求橢圓的方程；（2）當(dāng)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)與橢圓相交于不同兩點(diǎn)時(shí)，線(xiàn)段上取點(diǎn)，且滿(mǎn)足，證明點(diǎn)總在某定直線(xiàn)上，并求出該定直線(xiàn)【答案】（1）（2）見(jiàn)解析試

4、題解析：（1）由已知得，且，在中，由余弦定理得，解得.則，所以橢圓的方程為.（2）由題意可得直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)的方程為，即，代入橢圓方程，整理得，設(shè)，則.設(shè)，由得（考慮線(xiàn)段在軸上的射影即可），所以，于是，整理得，（*）又，代入（*）式得，所以點(diǎn)總在直線(xiàn)上.考點(diǎn)：1.橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；2.直線(xiàn)與橢圓位置關(guān)系.點(diǎn)睛：圓錐曲線(xiàn)中的定點(diǎn)、定值、定直線(xiàn)問(wèn)題時(shí)高考中的?？碱}型，難度一般較大，常常把直線(xiàn)、圓及圓錐曲線(xiàn)等知識(shí)結(jié)合在一起，注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的考查，尤其是函數(shù)思想、分類(lèi)討論思想的考查.求定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法：（1）從特殊點(diǎn)入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)，（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程

5、中消去變量，從而得到定值.定點(diǎn)問(wèn)題的常見(jiàn)解法：（1）假設(shè)定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題意選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線(xiàn)系或曲線(xiàn)系方程，而該方程與參數(shù)無(wú)關(guān)，故得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求定點(diǎn)，（2）從特殊位置入手，找出定點(diǎn)，再證明該點(diǎn)符合題意.4. 已知橢圓的焦距為，點(diǎn)在上.（I）求的方程；（II）過(guò)原點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸重合的直線(xiàn)與有兩個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)在軸上的射影為，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，直線(xiàn)交于點(diǎn)，證明：直線(xiàn)的斜率與直線(xiàn)的斜率乘積為定值.【答案】（I）（II）定值【解析】試題分析：（1）（I）由題意知， 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，利用定義求解 的值，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；試題解析：（I）由題意知， 的焦點(diǎn)坐

6、標(biāo)為， ， . 所以，橢圓的方程為. （II）設(shè)，則由點(diǎn)在橢圓上得， ，兩式相減得， . ， .因?yàn)槿c(diǎn)共線(xiàn)，所以，即. ，為定值.5. 已知?jiǎng)訄A過(guò)點(diǎn)，且在軸上截得的弦長(zhǎng)為（）求圓心的軌跡方程；（）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交軌跡于兩點(diǎn)，證明： 為定值，并求出這個(gè)定值.【答案】（）（）定值為【解析】試題分析：（1）設(shè)動(dòng)圓圓心坐標(biāo)為，根據(jù)垂徑定理得，化簡(jiǎn)解得圓心的軌跡方程；（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為： ，利用直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理化簡(jiǎn)試題解析：解：（）設(shè)動(dòng)圓圓心坐標(biāo)為，由題意得：動(dòng)圓半徑圓心到軸的距離為，依題意有，化簡(jiǎn)得，即動(dòng)圓圓心的軌跡方程為： （）當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在，則直線(xiàn)的方程為： 得所以

7、，故為定值.綜合，為定值，且定值為點(diǎn)睛：定點(diǎn)、定值問(wèn)題通常是通過(guò)設(shè)參數(shù)或取特殊值來(lái)確定“定點(diǎn)”是什么、“定值”是多少，或者將該問(wèn)題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問(wèn)題，證明該式是恒定的. 定點(diǎn)、定值問(wèn)題同證明問(wèn)題類(lèi)似，在求定點(diǎn)、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時(shí)應(yīng)設(shè)參數(shù)，運(yùn)用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點(diǎn)、定值顯現(xiàn).6. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A、B、C是橢圓上不同的三點(diǎn)， ，C在第三象限，線(xiàn)段BC的中點(diǎn)在直線(xiàn)OA上。（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在橢圓上（異于點(diǎn)A、B、C）且直線(xiàn)PB， PC分別交直線(xiàn)OA于M、N兩點(diǎn)，證明為定值并求出該定值.【答案】（1）（

8、2）點(diǎn)的坐標(biāo)為（3）為定值，定值為【解析】試題分析：（1）將點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入方程即可求得，（2）設(shè)點(diǎn)，得BC的中點(diǎn)坐標(biāo)，帶去直線(xiàn)OA聯(lián)立橢圓方程即可求得m,n,從而得C的坐標(biāo)，（3）分別設(shè)出P,N,M三點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)P,B,M三點(diǎn)共線(xiàn)和P,C,N三點(diǎn)共線(xiàn)得到M，N,P的關(guān)系，將P點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程即可得各系數(shù)之間的關(guān)系，于是化簡(jiǎn)得定制 （3）設(shè)， ， 三點(diǎn)共線(xiàn)，整理，得 三點(diǎn)共線(xiàn)，整理，得 點(diǎn)在橢圓上， 從而 所以為定值，定值為點(diǎn)睛：本題主要考察圓錐曲線(xiàn)，先根據(jù)題意可以的橢圓方程，對(duì)于第二問(wèn)和第三問(wèn)則需要多借助草圖分析點(diǎn)之間的幾何關(guān)系，尤其要注意三點(diǎn)共線(xiàn)在此題中的運(yùn)用，明確目標(biāo)逐步化簡(jiǎn)即可7.

9、已知橢圓： 的短軸長(zhǎng)為，離心率為，圓的圓心在橢圓上，半徑為2，直線(xiàn)與直線(xiàn)為圓的兩條切線(xiàn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）試問(wèn)： 是否為定值？若是，求出該值；若不是，說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）【解析】試題分析：（1）由橢圓焦點(diǎn)在軸上， ，離心率，則，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，圓的方程為，由直線(xiàn)與圓相切，根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得為方程，的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理可知： ，由在橢圓上即可求得.（2）因?yàn)橹本€(xiàn)與圓相切，整理得： ，同理可得： ，所以， 為方程的兩個(gè)根，又在橢圓上，故是定值為【方法點(diǎn)睛】本題主要考查待定待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程方程、橢圓的幾何性質(zhì)以及圓錐曲線(xiàn)的定值問(wèn)題，屬于難題.

10、 探索圓錐曲線(xiàn)的定值問(wèn)題常見(jiàn)方法有兩種： 從特殊入手，先根據(jù)特殊位置和數(shù)值求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)； 直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值.8.在直角坐標(biāo)系中， 已知定圓，動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)且與圓相切，記動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線(xiàn).（1）求曲線(xiàn)的方程；（2）設(shè)是曲線(xiàn)上兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為 (異于點(diǎn))，若直線(xiàn)分別交軸于點(diǎn)，證明: 為定值.【答案】（1）；（2）詳見(jiàn)解析.【解析】試題分析：（1）由兩圓關(guān)系得等量關(guān)系，再根據(jù)橢圓定義確定軌跡形狀及標(biāo)準(zhǔn)方程，（2）解析幾何中定值問(wèn)題，往往通過(guò)計(jì)算給予證明，先設(shè)坐標(biāo)，列直線(xiàn)方程，求出與軸交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用點(diǎn)在橢圓上這一條件進(jìn)行代入消元，化

11、簡(jiǎn)計(jì)算為定值 .試題解析：解：(1)因?yàn)辄c(diǎn)在內(nèi)，所以圓內(nèi)切于圓，則，由橢圓定義知，圓心的軌跡為橢圓，且，則，所以動(dòng)圓圓心的軌跡方程為.(2)設(shè)，則，由題意知.則，直線(xiàn)方程為，令，得，同理，于是，又和在橢圓上，故，則.所以.9. 已知橢圓的離心率為，四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的菱形的面積是4，圓過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)作圓的兩條切線(xiàn)分別與橢圓相交于兩點(diǎn)（不同于點(diǎn)），直線(xiàn)的斜率分別為.（1）求橢圓的方程；（2）當(dāng)變化時(shí)，求的值；試問(wèn)直線(xiàn)是否過(guò)某個(gè)定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析.由，得，于是有，直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)的方程為，令，得，即可證明直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).試題解析：（1）由題設(shè)知， ，

12、，又，解得.故所求橢圓的方程是.（2），則有，化簡(jiǎn)得，對(duì)于直線(xiàn)，同理有，于是是方程的兩實(shí)根，故.考慮到時(shí)， 是橢圓的下頂點(diǎn)， 趨近于橢圓的上頂點(diǎn)，故若過(guò)定點(diǎn)，則猜想定點(diǎn)在軸上.由，得，于是有.直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)的方程為，令，得，故直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).10.在平面直角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線(xiàn)的距離之比為（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）已知為定直線(xiàn)上一點(diǎn).過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)交軌跡于點(diǎn)（不在軸上），求證：直線(xiàn)與的斜率之積是定值；若點(diǎn)的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作動(dòng)直線(xiàn)交軌跡于不同兩點(diǎn)，線(xiàn)段上的點(diǎn)滿(mǎn)足，求證：點(diǎn)恒在一條定直線(xiàn)上.【答案】（1）（2）直線(xiàn)與的斜率之積為定值點(diǎn)在定直線(xiàn)上【解析】試題分析：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐

13、標(biāo)，直接利用軌跡方程定義計(jì)算即可；（2），令，由，得，即，即，又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，而的斜率分別為，于是，即直線(xiàn)與的斜率之積為定值； 令，則，代入橢圓，消元即可證明點(diǎn)在定直線(xiàn)上試題解析：（1）設(shè)，則，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，由，得，化簡(jiǎn)得，即點(diǎn)在軌跡的方程為；令，則，令點(diǎn)，則，即，即由，得，因?yàn)樵跈E圓上，所以，2+3，得，即，所以點(diǎn)在定直線(xiàn)上本題主要考查了橢圓的方程及直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，是高考的必考點(diǎn)，屬于難題求橢圓方程的方法一般就是根據(jù)條件建立的方程，求出即可，注意的應(yīng)用；涉及直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交時(shí)，未給出直線(xiàn)時(shí)需要自己根據(jù)題目條件設(shè)直線(xiàn)方程，要特別注意直線(xiàn)斜率是否存在的問(wèn)題，避免不分類(lèi)討論造成遺漏，然后要聯(lián)立方程組，得一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系寫(xiě)出，再根據(jù)具體問(wèn)題應(yīng)用上式，其中要注意判別式條件的約束作用- 17 -