《2018年高考數(shù)學 專題04 導數(shù)及其應用教學案 文》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2018年高考數(shù)學 專題04 導數(shù)及其應用教學案 文（30頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、專題04 導數(shù)及其應用【2018年高考考綱解讀】高考對本內容的考查主要有：(1)導數(shù)的幾何意義是考查熱點，要求是B級，理解導數(shù)的幾何意義是曲線上在某點處的切線的斜率，能夠解決與曲線的切線有關的問題；(2)導數(shù)的運算是導數(shù)應用的基礎，要求是B級，熟練掌握導數(shù)的四則運算法則、常用導數(shù)公式及復合函數(shù)的導數(shù)運算，一般不單獨設置試題，是解決導數(shù)應用的第一步；(3)利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性與極值是導數(shù)的核心內容，要求是B級，對應用導數(shù)研究函數(shù)的單調性與極值要達到相等的高度.(4)導數(shù)在實際問題中的應用為函數(shù)應用題注入了新鮮的血液，使應用題涉及到的函數(shù)模型更加寬廣，要求是B級；(5)導數(shù)還經(jīng)常作為高考的壓軸

2、題，能力要求非常高，它不僅要求考生牢固掌握基礎知識、基本技能，還要求考生具有較強的分析能力和計算能力估計以后對導數(shù)的考查力度不會減弱作為導數(shù)綜合題，主要是涉及利用導數(shù)求最值解決恒成立問題，利用導數(shù)證明不等式等，常伴隨對參數(shù)的討論，這也是難點之所在.【重點、難點剖析】 1導數(shù)的幾何意義(1)函數(shù)yf(x)在xx0處的導數(shù)f(x0)就是曲線yf(x)在點(x0，f(x0)處的切線的斜率，即kf(x0)(2)曲線yf(x)在點(x0，f(x0)處的切線方程為yf(x0)f(x0)(xx0)2基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和運算法則(1)基本初等函數(shù)的導數(shù)公式原函數(shù)導函數(shù)f(x)cf(x)0f(x)xn(nR

3、)f(x)nxn1f(x)sin xf(x)cos xf(x)cos xf(x)sin xf(x)ax(a0且a1)f(x)axln af(x)exf(x)exf(x)logax (a0且a1)f(x)f(x)ln xf(x)(2)導數(shù)的四則運算u(x)v(x)u(x)v(x)；u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)；(v(x)0)3函數(shù)的單調性與導數(shù)如果已知函數(shù)在某個區(qū)間上單調遞增(減)，則這個函數(shù)的導數(shù)在這個區(qū)間上大(小)于零恒成立在區(qū)間上離散點處導數(shù)等于零，不影響函數(shù)的單調性，如函數(shù)yxsin x .4函數(shù)的導數(shù)與極值對可導函數(shù)而言，某點導數(shù)等于零是函數(shù)在該點取得極值的必要條件

4、例如f(x)x3，雖有f(0)0，但x0不是極值點，因為f(x)0恒成立，f(x)x3在(，)上是單調遞增函數(shù)，無極值5閉區(qū)間上函數(shù)的最值在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)，一定有最大值和最小值，其最大值是區(qū)間的端點處的函數(shù)值和在這個區(qū)間內函數(shù)的所有極大值中的最大者，最小值是區(qū)間端點處的函數(shù)值和在這個區(qū)間內函數(shù)的所有極小值中的最小值6函數(shù)單調性的應用(1)若可導函數(shù)f(x)在(a，b)上單調遞增，則f(x)0在區(qū)間(a，b)上恒成立；(2)若可導函數(shù)f(x)在(a，b)上單調遞減，則f(x)0在區(qū)間(a，b)上恒成立；(3)可導函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上為增函數(shù)是f(x)0的必要不充分條件.【題型示例】

5、題型1、導數(shù)的幾何意義【例1】 【2016高考新課標2文數(shù)】若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則 【答案】 相切于點，與曲線相切于點，則，由點在切線上得，由點在切線上得，這兩條直線表示同一條直線，所以，解得.【感悟提升】函數(shù)圖像上某點處的切線斜率就是函數(shù)在該點處的導數(shù)值求曲線上的點到直線的距離的最值的基本方法是“平行切線法”，即作出與直線平行的曲線的切線，則這條切線到已知直線的距離即為曲線上的點到直線的距離的最值，結合圖形可以判斷是最大值還是最小值【舉一反三】(2015陜西，15)設曲線yex在點(0，1)處的切線與曲線y(x0)上點P處的切線垂直，則P的坐標為_解析(ex)e01，設P(x

6、0，y0)，有1，又x00，x01，故xP(1，1)答案(1，1)【變式探究】 (1)曲線yxex1在點(1,1)處切線的斜率等于()A2eBeC2D1(2)在平面直角坐標系xOy中，若曲線yax2(a，b為常數(shù))過點P(2，5)，且該曲線在點P處的切線與直線7x2y30平行，則ab的值是_【命題意圖】(1)本題主要考查函數(shù)求導法則及導數(shù)的幾何意義(2)本題主要考查導數(shù)的幾何意義，意在考查考生的運算求解能力【答案】(1)C(2)3又y2ax，所以在點P處的切線斜率4a.由解得a1，b2，所以ab3.【感悟提升】1求曲線的切線要注意“過點P的切線”與“在點P處的切線”的差異，過點P的切線中，點P

7、不一定是切點，點P也不一定在已知曲線上，而在點P處的切線，必以點P為切點2利用導數(shù)的幾何意義解題，主要是利用導數(shù)、切點坐標、切線斜率之間的關系來進行轉化以平行、垂直直線斜率間的關系為載體求參數(shù)的值，則要求掌握平行、垂直與斜率之間的關系，進而和導數(shù)聯(lián)系起來求解題型2、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性【例2】 (2017高考全國卷)設函數(shù)f(x)(1x2)ex.(1)討論f(x)的單調性；(2)當x0時，f(x)ax1，求a的取值范圍【變式探究】【2016高考山東文數(shù)】(本小題滿分13分)已知.（I）討論的單調性；（II）當時，證明對于任意的成立.【答案】（）見解析；（）見解析（1），當或時，單調遞增；當

8、時，單調遞減；（2）時，在內，單調遞增；（3）時，當或時，單調遞增；當時，單調遞減.綜上所述，當時，函數(shù)在內單調遞增，在內單調遞減；當時，在內單調遞增，在內單調遞減，在 內單調遞增；當時，在內單調遞增；當，在內單調遞增，在內單調遞減，在內單調遞增.【感悟提升】確定函數(shù)的單調區(qū)間要特別注意函數(shù)的定義域，不要從導數(shù)的定義域確定函數(shù)的單調區(qū)間，在某些情況下函數(shù)導數(shù)的定義域與原函數(shù)的定義域不同【舉一反三】(2015福建，10)若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(0)1，其導函數(shù)f(x)滿足f(x)k1，則下列結論中一定錯誤的是()Af BfCf Df解析導函數(shù)f(x)滿足f(x)k1，f(x)k0，k1

9、0，0，可構造函數(shù)g(x)f(x)kx，可得g(x)0，故g(x)在R上為增函數(shù)，f(0)1，g(0)1，gg(0)，f1，f，選項C錯誤，故選C.答案C【變式探究】(2014新課標全國卷)已知函數(shù)f(x)exex2x.(1)討論f(x)的單調性；(2)設g(x)f(2x)4bf(x)，當x0時，g(x)0，求b的最大值；(3)已知1.414 20，ln 20.692 8；當b1時，ln(b1)ln ，g(ln)2(3 2)ln 2 0，ln 20時，xf(x)f(x)0，則使得f(x)0成立的x的取值范圍是()A(，1)(0，1)B(1，0)(1，)C(，1)(1，0)D(0，1)(1，)解

10、析因為f(x)(xR)為奇函數(shù)，f(1)0，所以f(1)f(1)0.當x0時，令g(x)，則g(x)為偶函數(shù)，且g(1)g(1)0.則當x0時，g(x)0，故g(x)在(0，)上為減函數(shù)，在(，0)上為增函數(shù)所以在(0，)上，當0x1時，g(x)g(1)00f(x)0；在(，0)上，當x1時，g(x)g(1)00f(x)0.綜上，得使得f(x)0成立的x的取值范圍是(，1)(0，1)，選A.答案A【舉一反三】(2015江蘇，19)已知函數(shù)f(x)x3ax2b(a，bR)(1)試討論f(x)的單調性；(2)若bca(實數(shù)c是與a無關的常數(shù))，當函數(shù)f(x)有三個不同的零點時，a的取值范圍恰好是(

11、，3)，求c的值則在(，3)上g(a)0，且在上g(a)0均恒成立從而g(3)c10，且gc10，因此c1.此時，f(x)x3ax21a(x1)x2(a1)x1a，因函數(shù)有三個零點，則x2(a1)x1a0有兩個異于1的不等實根，所以(a1)24(1a)a22a30，且(1)2(a1)1a0，解得a(，3).綜上c1.題型四導數(shù)的綜合應用【例4】(2017高考天津卷)設a，bR，|a|1.已知函數(shù)f(x)x36x23a(a4)xb，g(x)exf(x)(1)求f(x)的單調區(qū)間(2)已知函數(shù)yg(x)和yex的圖象在公共點(x0，y0)處有相同的切線，求證：f(x)在xx0處的導數(shù)等于0；若關于

12、x的不等式g(x)ex在區(qū)間x01，x01上恒成立，求b的取值范圍因為g(x)ex，xx01，x01，且ex0，所以f(x)1.又因為f(x0)1，f(x0)0，所以x0為f(x)的極大值點，由(1)知x0a.另一方面，由于|a|1，故a14a.由(1)知f(x)在(a1，a)內單調遞增，在(a，a1)內單調遞減，故當x0a時，f(x)f(a)1在a1，a1上恒成立，從而g(x)ex在x01，x01上恒成立由f(a)a36a23a(a4)ab1，得b2a36a21，1a1.令t(x)2a36x21，x1,1，所以t(x)6x212x.令t(x)0，解得x2(舍去)或x0.因為t(1)7，t(1

13、)3，t(0)1，所以，t(x)的值域為7,1所以，b的取值范圍是7,1【變式探究】某地政府鑒于某種日常食品價格增長過快，欲將這種食品價格控制在適當范圍內，決定對這種食品生產(chǎn)廠家提供政府補貼，設這種食品的市場價格為x元/千克，政府補貼為t元/千克，根據(jù)市場調查，當16x24時，這種食品市場日供應量p萬千克與市場日需求量q萬千克近似地滿足關系：p2(x4t14)(x16，t0)，q248ln (16x24)當pq時的市場價格稱為市場平衡價格(1)將政府補貼表示為市場平衡價格的函數(shù)，并求出函數(shù)的值域(2)為使市場平衡價格不高于每千克20元，政府補貼至少為每千克多少元？而x20時，t20ln 1.5

14、(元/千克)，t是x的減函數(shù)，欲使x20，必須t1.5(元/千克)，要使市場平衡價格不高于每千克20元，政府補貼至少為1.5元/千克【舉一反三】時下，網(wǎng)校教學越來越受到廣大學生的喜愛，它已經(jīng)成為學生們課外學習的一種趨勢，假設某網(wǎng)校的套題每日的銷售量y(單位：千套)與銷售價格x(單位：元/套)滿足關系式y(tǒng)4(x6)2，其中2x6，m為常數(shù)已知銷售價格為4元/套時，每日可售出套題21千套(1)求m的值；(2)假設網(wǎng)校的員工工資、辦公等所有開銷折合為每套題2元(只考慮銷售出的套數(shù))，試確定銷售價格x的值，使網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤最大(保留一位小數(shù))【規(guī)律方法】在利用導數(shù)求實際問題中的最大值和最

15、小值時，不僅要注意函數(shù)模型中的定義域，還要注意實際問題的意義，不符合的解要舍去【舉一反三】請你給某廠商設計一個包裝盒如圖所示，ABCD是邊長為60 cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個點重合于點P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒E，F(xiàn)在AB上，且是被切去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點設AEFBx(cm)(1)若廠商要求包裝盒的側面積S(cm2)最大，試問x應取何值？(2)若廠商要求包裝盒的體積V(cm3)最大，試問x應取何值并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值題型五利用導數(shù)解決不等式的有關問題【例5】【2017北京，文20】

16、已知函數(shù)（）求曲線在點處的切線方程；（）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值【答案】()；（）最大值1；最小值.【解析】（）因為，所以.又因為，所以曲線在點處的切線方程為.（）設，則.當時， ，所以在區(qū)間上單調遞減.所以對任意有，即.所以函數(shù)在區(qū)間上單調遞減.因此在區(qū)間上的最大值為，最小值為.【舉一反三】【2017江蘇，20】 已知函數(shù)有極值,且導函數(shù)的極值點是的零點.（極值點是指函數(shù)取極值時對應的自變量的值） （1）求關于 的函數(shù)關系式，并寫出定義域； （2）證明：; （3）若,這兩個函數(shù)的所有極值之和不小于，求的取值范圍.【答案】（1），定義域為.（2）見解析（3）. 時， ，故在R上是增函數(shù)，

17、 沒有極值；時， 有兩個相異的實根， .列表如下x+00+極大值極小值故的極值點是.從而，因此，定義域為. 記， 所有極值之和為，因為的極值為，所以， .因為，于是在上單調遞減.因為，于是，故.因此a的取值范圍為.【變式探究】(2016高考全國卷)已知函數(shù)f(x)(x1)ln xa(x1)(1)當a4時，求曲線yf(x)在(1，f(1)處的切線方程；(2)若當x(1)時，f(x)0，求a的取值范圍【舉一反三】 (2015湖南，21)已知a0，函數(shù)f(x)eaxsin x(x0，)記xn為f(x)的從小到大的第n(nN*)個極值點，證明：(1)數(shù)列f(xn)是等比數(shù)列；(2)若a，則對一切nN*

18、，xn|f(xn)|恒成立. 于是當xm(mN*)時，f(x)取得極值，所以xnn(nN*)此時，f(xn)ea(n)sin(n)(1)n1ea(n)sin .易知f(xn)0，而ea是常數(shù)，故數(shù)列f(xn)是首項為f(x1)ea()sin ，公比為ea的等比數(shù)列(2)由(1)知，sin ，于是對一切nN*；xn|f(xn)|恒成立，即nea(n)恒成立，等價于(*)恒成立，因為(a0)設g(t)(t0)，則g(t).令g(t)0得t1.當0t1時，g(t)0，所以g(t)在區(qū)間(0，1)上單調遞減；當t1時，g(t)0，所以g(t)在區(qū)間(1，)上單調遞增從而當t1時，函數(shù)g(t)取得最小值

19、g(1)e.因此，要使(*)式恒成立，只需g(1)e，即只需a.而當a時，由tan 且0知，.于是，且當n2時，n2.因此對一切nN*，axn1，所以g(axn)g(1)e.故(*)式亦恒成立綜上所述，若a，則對一切nN*，xn|f(xn)|恒成立【變式探究】(2015福建，20)已知函數(shù)f(x)ln(1x)，g(x)kx(kR)(1)證明：當x0時，f(x)x；(2)證明：當k1時，存在x00，使得對任意的x(0，x0)，恒有f(x)g(x)；(3)確定k的所有可能取值，使得存在t0，對任意的x(0，t)，恒有|f(x)g(x)|x2. M(x)kxln(1x)x2，x0，)則有M(x)k2

20、x.故當x時，M(x)0，M (x)在上單調遞增，故M(x)M(0)0，即|f(x)g (x)|x2，所以滿足題意的t不存在當k1時，由(2)知，存在x00，使得當x(0，x0)時，f(x)g(x)，此時|f(x)g(x)|f(x)g(x)ln(1x)kx.令N(x)ln(1x)kxx2，x0，)則有N(x)k2x.當x時，N(x)0，N(x)在上單調遞增，故N(x)N(0)0，即f(x)g(x)x2.記x0與中的較小者為x1，則當x(0，x1)時，恒有|f(x)g(x)|x2.故滿足題意的t不存在當k1時，由(1)知，當x0時，|f(x)g(x)|g(x)f(x)xln(1x)，令H(x)x

21、ln(1x)x2，x0，)，則有H(x)12x.當x0時，H(x)0，所以H(x)在0，)上單調遞減，故H(x)H(0)0.故當x0時，恒有|f(x)g(x)|x2.此時，任意正實數(shù)t均滿足題意綜上，k1.法二(1)(2)證明同法一當x(0，x1)時，恒有|f(x)g(x)|x2.故滿足題意的t不存在當k1時，由(1)知，x0，|f(x)g(x)|f(x)g(x)xln(1x)，令M(x)xln(1x)x2，x0，)，則有M(x)12x.當x0時，M(x)0，所以M(x)在0，)上單調遞減，故M(x)M(0)0.故當x0時，恒有|f(x)g(x)|x2，此時，任意正實數(shù)t均滿足題意綜上，k1.

22、【舉一反三】(2014福建)已知函數(shù)f(x)exax(a為常數(shù))的圖象與y軸交于點A，曲線yf(x)在點A處的切線斜率為1.(1)求a的值及函數(shù)f(x)的極值；(2)證明：當x0時，x2ex；(3)證明：對任意給定的正數(shù)c，總存在x0，使得當x(x0，)時，恒有x2cex.【命題意圖】本小題主要考查基本初等函數(shù)的導數(shù)、導數(shù)的運算及導數(shù)的應用、全稱量詞與存在量詞等基礎知識，考查考生的運算求解能力、抽象概括能力、推理論證能力，考查函數(shù)與方程思想、有限與無限思想、化歸與轉化思想、分類與整合思想、特殊與一般思想由(1)得g(x)f(x)f(ln 2)0，故g(x)在R上單調遞增，又g(0)10，因此，

23、當x0時，g(x)g(0)0，即x2ex.(3)證明：若c1，則excex.又由(2)知，當x0時，x2ex.所以當x0時，x2cex.取x00，當x(x0，)時，恒有x2cex.若0c1，令k1，要使不等式x2cex成立，只要exkx2成立而要使exkx2成立，則只要xln(kx2)，只要x2ln xln k成立令h(x)x2ln xln k，則h(x)1，所以當x2時，h(x)0，h(x)在(2，)內單調遞增取x016k16，所以h(x)在(x0，)內單調遞增，又h(x0)16k2ln(16k)ln k8(kln 2)3(kln k)5k，易知kln k，kln 2,5k0，所以h(x0)0.即存在x0，當x(x0，)時，恒有x2cex.綜上，對任意給定的正數(shù)c，總存在x0，當x(x0，)時，恒有x2cex. 30