《高等數(shù)學(xué)備課教案：第八章 空間解析幾何與向量代數(shù) 第六節(jié) 平面及其方程》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高等數(shù)學(xué)備課教案：第八章 空間解析幾何與向量代數(shù) 第六節(jié) 平面及其方程（5頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第六節(jié) 平面及其方程 平面是空間中最簡單而且最重要的曲面. 本節(jié)我們將以向量為工具，在空間直角坐標系中建立其方程，并進一步討論有關(guān)平面的一些基本性質(zhì). 分布圖示 ★ 平面的點法式方程 ★ 例1 ★ 例2 ★ 平面的一般方程 ★ 例3 ★ 例4 ★ 平面的截距式方程 ★ 例5 ★ 平面的夾角 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 點到平面的距離 ★ 例9 ★ 例10

2、 ★ 內(nèi)容小結(jié) ★ 課堂練習(xí) ★ 習(xí)題8-6 ★ 返回 內(nèi)容要點 一、平面的點法式方程： 二、平面的一般方程： 三、平面的截距式方程： 四、兩平面的夾角：設(shè)有兩平面和： 則兩平面的夾角 從兩向量垂直和平行的充要條件，即可推出： （1） 的充要條件是； （2）的充要條件是 （3）重合的充要條件是 五、點到平面的距離： 例題選講 平面的點法式方程 例1 (E01) 求過點且與平面平行的平面方程. 解 因為所求平面和已知平面平行，而已

3、知平面的法向量為設(shè)所求平面的法向量為則故可取于是，所求平面方程為 即 例2 (E02) 求過點和的平面方程. 解 取 所求平面方程為 化簡得 平面的一般方程 例3 (E03) 求通過軸和點的平面方程. 解 設(shè)所求平面的一般方程為因為所求平面通過軸，且法向量垂直于軸,于是法向量在軸上的投影為零，即 又平面通過原點，所以從而方程成為 (1) 又因平面過點因此有即 以此代入當成(1)，再除以便得到所求方程為 例4 (E04) 設(shè)平面過原點及點，且與平面垂直，求此平面方程. 解 設(shè)平面為由平面過原點知由平面過點知 所求平面方程為

4、平面的截距式方程 例5 (E05) 求平行于平面而與三個坐標面所圍成的四面體體積為一個單位的平面方程. 解 設(shè)平面方程為 由所求平面與已知平面平行得向量平行的充要條件 令 由 所求平面方程為 即 兩平面的夾角 例6 (E06) 研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系: (1) (2) 解 且 故兩平面相交，夾角為 且又 故兩平面平行但不重合. 例7 求平面II, 使其滿足: (1) 過軸; (2) II與平面夾角為. 解 因為平面過軸，可設(shè)其方程為又因為與已知平面夾角為故 或 或 例8 (E07) 求經(jīng)過兩點和且與平面垂直的平

5、面的方程. 解 設(shè)所求的平面方程為由于點和在平面上，故 又由于所求平面與平面垂直,由兩平面垂直條件有 從上面三個方程中解出得 代入所設(shè)方程，并約去因子得所求的平面方程 點到平面的距離 例9 (E08) 求兩平行平面：和： 之間的距離. 解 可在平面上任取一點，該點到平面的距離即為這兩平行平面間的距離. 為此，在平面上取點則 例10 求平行于平面, 且與球面相切的平面的方程. 解 可利用條件寫出平面的一般式方程,再利用球心到平面的距離來確定一般式方程中的特定系數(shù). 由可設(shè)平面的方程為 因為平面與球面相切，故球心到平面的距離 得 故所求平面的方程為或 課堂練習(xí) 1.若平面與平面的夾角為,求. 2.求通過點且垂直于平面 的平面方程.