《高等數(shù)學(xué)備課教案：第七章 微分方程 第二節(jié)可分離變量的微分方程》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高等數(shù)學(xué)備課教案：第七章 微分方程 第二節(jié)可分離變量的微分方程（11頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第二節(jié) 可分離變量的微分方程 微分方程的類型是多種多樣的，它們的解法也各不相同. 從本節(jié)開始我們將根據(jù)微分方程的不同類型，給出相應(yīng)的解法. 本節(jié)我們將介紹可分離變量的微分方程以及一些可以化為這類方程的微分方程，如齊次方程等. 分布圖示 ★ 可分離變量微分方程 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 邏輯斯諦方程 ★ 齊次方程 ★ 例9 ★ 例10 ★ 例11 ★ 例12 ★ 例13 ★ 例14 ★ 可化為齊次方程的微分方程 ★ 例15

2、 ★ 例16 ★ 例17 ★ 例18 ★ 內(nèi)容小結(jié) ★ 課堂練習(xí) ★ 習(xí)題7—2 ★ 返回 內(nèi)容要點(diǎn) 一、可分離變量的微分方程 設(shè)有一階微分方程 , 如果其右端函數(shù)能分解成，即有 . (2.1) 則稱方程(2.1)為可分離變量的微分方程，其中都是連續(xù)函數(shù). 根據(jù)這種方程的特點(diǎn)，我們可通過積分來求解. 求解可分離變量的方程的方法稱為分離變量法. 二、齊次方程：形如 (2.8) 的一階微分方程稱為齊次微分方程，簡稱齊次方程.. 三、可化為齊次方

3、程的微分方程：對于形如 的方程，先求出兩條直線 的交點(diǎn)，然后作平移變換 即 這時(shí)，，于是，原方程就化為齊次方程 例題選講 可分離變量的微分方程 例1（E01）求微分方程的通解. 解 分離變量得兩端積分得 從而,記則得到題設(shè)方程的通解 例2（E02）求微分方程的通解. 解 先合并及的各項(xiàng),得 設(shè)分離變量得 兩端積分得 于是 記則得到題設(shè)方程的通解 注：在用分離變量法解可分離變量的微分方程的過程中, 我們在假定的前提下, 用它除方程兩邊, 這樣得到的

4、通解, 不包含使的特解. 但是, 有時(shí)如果我們擴(kuò)大任意常數(shù)C的取值范圍, 則其失去的解仍包含在通解中. 如在例2中，我們得到的通解中應(yīng)該，但這樣方程就失去特解，而如果允許，則仍包含在通解中. 例3 已知 當(dāng)時(shí)，求 解 設(shè)則 所以原方程變?yōu)榧? 所以 故 例4 設(shè)一物體的溫度為100℃，將其放置在空氣溫度為20℃的環(huán)境中冷卻. 試求物體溫度隨時(shí)間的變化規(guī)律. 解 設(shè)物體的溫度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為在上節(jié)的例1中我們已經(jīng)建立了該問題的數(shù)學(xué)模型: 其中為比例常數(shù).下面來求上述初值問題的解.分離變量,得 兩邊積分得(其中為任意常數(shù))， 即

5、 (其中). 從而再將條件(2)代入,得 于是，所求規(guī)律為 注：物體冷卻的數(shù)學(xué)模型在多個(gè)領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用. 例如，警方破案時(shí)，法醫(yī)要根據(jù)尸體當(dāng)時(shí)的溫度推斷這個(gè)人的死亡時(shí)間，就可以利用這個(gè)模型來計(jì)算解決，等等. 例5（E03）在一次謀殺發(fā)生后，尸體的溫度從原來的按照牛頓冷卻定律開始下降．假設(shè)兩個(gè)小時(shí)后尸體溫度變?yōu)?，并且假定周圍空氣的溫度保持不變，試求出尸體溫度隨時(shí)間的變化規(guī)律．又如果尸體被發(fā)現(xiàn)時(shí)的溫度是，時(shí)間是下午4點(diǎn)整，那么謀殺是何時(shí)發(fā)生的？ 解　根據(jù)物體冷卻的數(shù)學(xué)模型，有 其中是常數(shù)．分離變量并求解得 ， 為求出值，根據(jù)兩個(gè)小時(shí)后尸體溫度為這一條件，有 ， 求

6、得，于是溫度函數(shù)為 ， 將代入上式求解，有 ，即得(小時(shí))． 于是，可以判定謀殺發(fā)生在下午4點(diǎn)尸體被發(fā)現(xiàn)前的8.4小時(shí),即8小時(shí)24分鐘,所以謀殺是在上午7點(diǎn)36分發(fā)生的. 例6（E04）設(shè)降落傘從跳傘塔下落后, 所受空氣阻力與速度成正比, 并設(shè)降落傘離開跳傘塔時(shí)速度為零, 求降落傘下落速度與時(shí)間的關(guān)系. 解 設(shè)降落傘下落速度為降落傘下落時(shí)，同時(shí)收到重力與阻力的作用. 降落傘所受外力為 根據(jù)牛頓第二定律: ,得到滿足微分方程 (1) 初始條件 將方程(1)分離變量得 兩邊積分得 ， 即 或 代入初始條件得 故

7、所求特解為 . 下面我們借助樹的增長來引入一種在許多領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)模型——邏輯斯諦方程. 一棵小樹剛栽下去的時(shí)候長得比較慢, 漸漸地, 小樹長高了而且長得越來越快, 幾年不見, 綠蔭底下已經(jīng)可乘涼了; 但長到某一高度后, 它的生長速度趨于穩(wěn)定, 然后再慢慢降下來. 這一現(xiàn)象很具有普遍性. 現(xiàn)在我們來建立這種現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型. 如果假設(shè)樹的生長速度與它目前的高度成正比, 則顯然不符合兩頭尤其是后期的生長情形, 因?yàn)闃洳豢赡茉介L越快; 但如果假設(shè)樹的生長速度正比于最大高度與目前高度的差, 則又明顯不符合中間一段的生長過程. 折衷一下, 我們假定它的生長速度既與目前的高

8、度, 又與最大高度與目前高度之差成正比. 設(shè)樹生長的最大高度為H(m), 在t(年)時(shí)的高度為則有 (2.8) 其中的是比例常數(shù). 這個(gè)方程稱為Logistic方程. 它是可分離變量的一階常微分方程. 注：Logistic的中文音譯名是“邏輯斯諦”.“邏輯”在字典中的解釋是“客觀事物發(fā)展的規(guī)律性”, 因此許多現(xiàn)象本質(zhì)上都符合這種S規(guī)律. 除了生物種群的繁殖外, 還有信息的傳播、新技術(shù)的推廣、傳染病的擴(kuò)散以及某些商品的銷售等. 例如流感的傳染, 在任其自然發(fā)展(例如初期未引起人們注意)的階段, 可以設(shè)想它的速度既正比于得病的人數(shù)又正比于未傳染到的人數(shù). 開始時(shí)患病

9、的人不多因而傳染速度較慢; 但隨著健康人與患者接觸, 受傳染的人越來越多, 傳染的速度也越來越快; 最后, 傳染速度自然而然地漸漸降低, 因?yàn)橐呀?jīng)沒有多少人可被傳染了. 例如，837年, 荷蘭生物學(xué)家Verhulst提出一個(gè)人口模型 (2.9) 其中的稱為生命系數(shù). 這個(gè)模型稱為人口阻滯增長模型. 我們不細(xì)討論這個(gè)模型, 只提應(yīng)用它預(yù)測世界人口數(shù)的兩個(gè)有趣的結(jié)果. 有生態(tài)學(xué)家估計(jì)k的自然值是0.029. 利用本世紀(jì)60年代世界人口年平均增長率為2%以及1965年人口總數(shù)33.4億這兩個(gè)數(shù)據(jù), 計(jì)算得，從而估計(jì)得： (1) 世界人口總數(shù)將趨于極限107.6億

10、. (2) 到2000年時(shí)世界人口總數(shù)為59.6億. 后一個(gè)數(shù)字很接近2000年時(shí)的實(shí)際人口數(shù), 世界人口在1999年剛進(jìn)入60億. 例7 有高為1米的半球形容器，水從它的底部小孔流出，小孔橫截面積為1平方厘米. 開始時(shí)容器內(nèi)盛滿了水, 求水從小孔流出過程中容器里水面的高度(水面與孔口中心間的距離)隨時(shí)間的變化規(guī)律. 解 由力學(xué)知識得，水從孔口流出的流量為 流量系數(shù) 孔口截面面積 重力加速度 ① 設(shè)在微小的時(shí)間間隔水面的高度由降至則 ② 比較①和②得: 即為未知函數(shù)得微分方程. 所求規(guī)律為

11、 例8 某車間體積為12000立方米, 開始時(shí)空氣中含有0.1%的C0, 為了降低車間內(nèi)空氣中C0的含量, 用一臺風(fēng)量為每秒2000立方米的鼓風(fēng)機(jī)通入含0.03%的C0的新鮮空氣, 同時(shí)以同樣的風(fēng)量將混合均勻的空氣排出, 問鼓風(fēng)機(jī)開動(dòng)6分鐘后, 車間內(nèi)C0百分比降低到多少? 解 設(shè)鼓風(fēng)機(jī)開動(dòng)后時(shí)刻的含量為在內(nèi)，的通入量的通入量—的排出量,即 由 故6分鐘后，車間內(nèi)的百分比降低到 齊次方程 例9（E05）求解微分方程 滿足初始條件的特解. 解 題設(shè)方程為齊次方程,設(shè)則 代入原方程得分離變量得 兩邊積分得 將回

12、代，則得到題設(shè)方程的通解為 利用初始條件得到從而所求題設(shè)方程的特解為 例10 求解微分方程 解 原方程變形為 令則方程化為 分離變量得 兩邊積分得 整理得 所求微分方程的解為 例11（E06）求解微分方程 解 原方程變形為（齊次方程） 令則故原方程變?yōu)榧? 分離變量得兩邊積分得或 回代便得所給方程的通解為 例12 求下列微分方程的通解: 解 原方程變形為令則 代入原方程并整理 兩邊積分得 即 變量回代得所求通解 例13 拋物線的光學(xué)性質(zhì). 實(shí)例:車燈的反射鏡

13、面 ——旋轉(zhuǎn)拋物面. 解 設(shè)旋轉(zhuǎn)軸軸，光源在 設(shè)為上任一點(diǎn)，為切線，斜率為為法線，斜率為 由夾角正切公式得 得微分方程 令 方程化為 分離變量得 令 得 積分得 即 平方化簡得 代回得 所求旋轉(zhuǎn)軸為軸得旋轉(zhuǎn)拋物面的方程為 例14（E07）設(shè)河邊點(diǎn)O的正對岸為點(diǎn)A, 河寬, 兩岸為平行直線,

14、水流速度為, 有一鴨子從點(diǎn)A游向點(diǎn)O, 設(shè)鴨子(在靜水中)的游速為, 且鴨子游動(dòng)方向始終朝著點(diǎn)O, 求鴨子游過的跡線的方程. 解 設(shè)水流速度為鴨子游速為則鴨子實(shí)際運(yùn)動(dòng)速度為 取坐標(biāo)系如圖，設(shè)在時(shí)刻鴨子位于點(diǎn)則鴨子運(yùn)動(dòng)速度 故有現(xiàn)在而其中為與同方向的單位向量. 由故 于是 由此得微分方程 即 初始條件為令則代入上面的方程,得 分離變量得 積分得即 故 將初始條件代入上式得故所求跡線方程為 可化為齊次方程的方程 例15（E08）求的通解. 解 直線和直線的交點(diǎn)是因此作變換代入題設(shè)方程,得

15、 令則代入上式,得 分離變量,得兩邊積分,得 即回代得 再將回代，并整理所求題設(shè)方程的通解 例16（E09）利用變量代換法求方程的通解. 解 令則代入原方程得 分離變量得兩邊積分得回代得 故原方程的通解為 例17 求微分方程的通解. 解 令則代入原方程得 即 分離變量得 或 兩端積分得 即 故所求通解為 例18 求下列微分方程的通解. 解 令則原方程化為 再令則代入上式，并整理得 兩邊積分得 變量還原得通解 課堂練習(xí) 1.求微分方程的通解. 2.方程是否為齊次方程? 3.求齊次方程的通解.