《清華大學(xué)微積分習(xí)題集-第6部分 曲線積分與曲面積分》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《清華大學(xué)微積分習(xí)題集-第6部分 曲線積分與曲面積分（39頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第六部分 曲線積分與曲面積分 第 39 頁(yè) 共 39 頁(yè) 第六部分 曲線積分與曲面積分 1．設(shè)曲線是上半圓周 ，則。 解法1 由于關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，所以 ，從而 。 解法2 令，則 。 解法3 設(shè)曲線的質(zhì)量分布均勻，則其重心的橫坐標(biāo)為。又因?yàn)? ， 所以。 2．設(shè)是上半橢圓周，是四分之一橢圓周，則 (A) 。 (B) 。 (C) 。 (D) 。[ ] 答 D 解 由于關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以 ，， ，，。 注意到，從而可以排除(A)，(B)，(C)三個(gè)選項(xiàng)，或直接選出正確選項(xiàng)(D)。 3．計(jì)算 ，其中是圓周上從點(diǎn)經(jīng)點(diǎn)到點(diǎn)的一段。 解法1 取為自

2、變量，則的方程為，其中，所以 解法2 取的參數(shù)方程為其中，所以 。 解法3 由于是圓周的外向單位發(fā)向量，所以此圓周的正向單位切向量為。根據(jù)兩類(lèi)曲線積分之間的關(guān)系，得 ， 其中的方程為，起點(diǎn)為，終點(diǎn)為。因此 。 4．計(jì)算，其中是圓周。 解 由于圓周關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以，從而 因?yàn)榈膮?shù)方程為 ，所以 5．已知曲線是平面與球面的交線，計(jì)算曲線積分 。 解法1 由于曲線的方程中的變量具有輪換對(duì)稱(chēng)性，所以 ， ， 因此 ， ， 從而 。 解法2 直接化成定積分進(jìn)行計(jì)算。曲線：在平面的投影曲線是一橢圓，其方程是 ， 即 。 令 ，，則曲線的參

3、數(shù)方程為 ， 所以 。 從而 ， ， ， 因此 。 6．求柱面被球面包圍部分的面積。 解 根據(jù)第一型曲線積分的幾何意義及對(duì)稱(chēng)性，得 ， 其中是平面曲線在第一象限中的部分。 取的參數(shù)方程為 ，，則 ， 所以 7．計(jì)算，其中是從點(diǎn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)到點(diǎn)的折線段。 解 設(shè)從到；從到。根據(jù)路徑可加性，得 。 8．設(shè)是圓周，則。 解1 根據(jù)格林公式，得 。 解2 由于是的外向單位法向量，所以就是的正向單位法向量。根據(jù)兩類(lèi)曲線積分之間的關(guān)系，得 。 9．計(jì)算，其中是圓周，順時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎? 解1 取的參數(shù)方程為 從到，則 解2 由于具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并

4、注意到的方向，根據(jù)格林公式得 10．計(jì)算，其中從點(diǎn)沿曲線到點(diǎn)，再沿直線到點(diǎn)。 解1 設(shè)從點(diǎn)沿曲線到點(diǎn)；從點(diǎn)沿直線到點(diǎn)。則 由于 ，所以 ，從而 。 解2 設(shè)從點(diǎn)沿直線到點(diǎn)；從點(diǎn)沿直線到點(diǎn)，與和圍成的區(qū)域記為。根據(jù)格林公式得 11．計(jì)算，其中是曲線從點(diǎn)到點(diǎn)的一段。 解1 記，當(dāng)時(shí)，有 。 令是折線段，則根據(jù)格林公式易知 解2 令是直線段，是圓周，足夠小。由于當(dāng)時(shí)，有 ， 所以根據(jù)格林公式得 12．設(shè)在全平面內(nèi)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且滿(mǎn)足，記為包圍原點(diǎn)的正向簡(jiǎn)單閉曲線，計(jì)算 。 解 記，其中。由于 ， ， 且 ，所以當(dāng) 時(shí)，。 任

5、取充分小，記為圓周，并取逆時(shí)針?lè)较颍鶕?jù)格林公式可知，，故。 令：，則 =。 由于與的值無(wú)關(guān)，令，得 。 13．計(jì)算，其中為在第一象限中的部分，方向?yàn)閺狞c(diǎn)到。 解1 由于曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，所以 。 又，所以 。 解2 取是從點(diǎn)經(jīng)點(diǎn)到點(diǎn)，根據(jù)格林公式，得 14．設(shè)是右半平面內(nèi)的有向分段光滑曲線，起點(diǎn)為，終點(diǎn)為。證明曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，并求的值。 解1 因?yàn)? 在右半平面內(nèi)處處成立，所以曲線積分在右半平面內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)。 取為從點(diǎn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)到點(diǎn)的折線段，得 解2 因?yàn)? 所以是在右半平面上的一個(gè)原函數(shù)，所以曲線積分在右半平面內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)，且

6、 15．計(jì)算,是曲線在第一卦限中的部分,從點(diǎn)到點(diǎn). 解1 取的參數(shù)方程為 ，參數(shù)從變到，則 16． 計(jì)算，其中是球面與平面的交線，從軸正向看去為逆時(shí)針?lè)较颉? 解1 曲線在平面上的投影的方程為 ，這是一個(gè)橢圓。取的參數(shù)方程為 參數(shù)從到，從而 解2 由于曲線在平面上的投影曲線為 ：，所以 解3 取為曲線在平面上圍成的半徑是圓盤(pán)，上側(cè)為正。根據(jù)斯托克斯公式得 17．計(jì)算，其中為與的交線，方向?yàn)閺妮S的正向往負(fù)向看去是順時(shí)針。 解1 求解，得，所以的方程為，其參數(shù)方程為 ，參數(shù)從變到。因此 解2 求解，得，所以的方程為。 取，上側(cè)為正，根據(jù)斯托克斯公式

7、，得 18．計(jì)算,其中是用平面切立方體所得的切痕,從軸正向看去為逆時(shí)針?lè)较? 解 取為平面上由圍成的邊長(zhǎng)是的正六邊形，方向向上。根據(jù)斯托克斯公式，得 19．計(jì)算，其中是平面與柱面的交線，從軸正向看去，為逆時(shí)針?lè)较颉? 解1 記分別為在第一、第二、第三和第四卦限中的部分，則 解2 記為在平面上的投影，則的方程是，所以 解3 取為上由圍成的平面區(qū)域，上側(cè)為正。根據(jù)斯托克斯公式，得 解4 根據(jù)斯托克斯公式，得 。 而 所以 。 20．已知曲線積分 與路徑無(wú)關(guān)，求的值，并求從到的積分值。 解 因?yàn)楹瘮?shù) 都在整個(gè)空間上具有

8、連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，所以與路徑無(wú)關(guān)的充要條件是 ， 即 對(duì)任意的都成立。因此必有 。 取是由平行于坐標(biāo)軸直線構(gòu)成的折線段，則 21．判斷是否是全微分式，若是，求它的原函數(shù)。 解 因?yàn)楹瘮?shù)在上存在一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且 ， 所以微分形式是一個(gè)全微分式。它的所有原函數(shù)是 另解 利用不定積分法求原函數(shù)的過(guò)程如下：設(shè) ， 則 ， 由第一式得 ， 所以 ， 比較的兩個(gè)表達(dá)式，得 ，即，故 。 22．已知曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，其中具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且。求的值。 解1 根據(jù)曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，取積分路

9、徑為從點(diǎn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)到點(diǎn)的折線段，得 解2 因?yàn)榍€積分與路徑無(wú)關(guān)，所以，故 ，考慮到，得 。從而 23．設(shè)函數(shù)在內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，且對(duì)任意的恒有，求的表達(dá)式。 解 因?yàn)榍€積分與路徑無(wú)關(guān)，所以 ， 因此 。 從而 所以 對(duì)任意成立。由此得 ，所以 。 24．已知，其中是繞原點(diǎn)一周的任意正向閉曲線，試求及. 解 根據(jù)題中條件，可以證明 ， 其中是任意一條不包圍原點(diǎn)的封閉曲線。因此 ， 從而 ， 故 ， 考慮到 ，得 。 取為 ，得 25．設(shè)在變力的作用下，質(zhì)點(diǎn)由原點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)到橢球面上第一掛限中的點(diǎn)處，問(wèn)當(dāng)點(diǎn)

10、在何處時(shí)，力作的功最大，并求出功的最大值。 解 設(shè)從原點(diǎn)到點(diǎn)的直線的參數(shù)方程為 ，則 。 考慮條件極值問(wèn)題 令 ，求解 得 。 根據(jù)實(shí)際情況可知，當(dāng)點(diǎn)在處時(shí)，力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功最大，功的最大值是。 26．設(shè)函數(shù)在有界閉域上具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，是的外向單位法向量。 （1） 證明 （2）當(dāng)，且時(shí)，證明。 證明 （1）根據(jù)方向?qū)?shù)的計(jì)算公式，得 ， 利用格林公式，得 所以 （2）當(dāng)，且時(shí)，根據(jù)（1）的結(jié)果得 。 由于在上式非負(fù)連續(xù)函數(shù)，所以 ， 從而 。 考慮到函數(shù)在上的連續(xù)性和，得 ，故。 27．設(shè)函數(shù)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，證明對(duì)上半

11、平面中的任意封閉曲線都有成立的充要條件是：對(duì)任意的及上半平面中的任意點(diǎn)都成立。 證明 設(shè)是上半平面中的任意一條封閉曲線，記是為成的平面域。根據(jù)格林公式，得 因此 。 考慮到上述積分域的任意性和被積函數(shù)的連續(xù)性，可得 ， 即 。 當(dāng)對(duì)任意的及上半平面中的任意點(diǎn)都成立時(shí)，在等式兩端關(guān)于求導(dǎo)，得 ， 故 ， 所以 。 當(dāng)時(shí)，令，則 所以 。 由于 ，所以 ，故，從而 。 這樣就證明了 ，。 綜上，結(jié)論得證。 28．計(jì)算，其中為柱面與平面所圍空間區(qū)域的表面。 解 記 ，

12、為柱面介于平面與之間的部分。根據(jù)第一型曲面積分的計(jì)算公式，并利用爾充積分的性質(zhì)，得 ， 。 對(duì)于，由于其方程為，所以不能寫(xiě)成的形式，故只能考慮其在或坐標(biāo)面上的投影。為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，考慮在坐標(biāo)面上的投影域，根據(jù)題中條件易知 ，且可以分成與兩部分，其中 。 因?yàn)? 所以 。 從而 。 29．計(jì)算，其中為球面， 。 解 記為球面在錐面內(nèi)的部分，則的參數(shù)方程為 ， 所以 另解 本題在直角坐標(biāo)下的計(jì)算如下： 30．計(jì)算，其中為球面 。 解 由于 且 ， ， 所以 31．計(jì)算，其中是

13、球面在第一卦限中的部分。 解1 直接化為二重積分計(jì)算。由于 ，所以 。 記 ，則 解2 記 ， ， 。 取 ，方向向下；，方向向左； ，方向向后。根據(jù)Gauss公式，得 其中是球體在第一掛限中的部分。 32．計(jì)算, 其中 ， 是向上的法向量。 解1 由于 ，所以 。 根據(jù)曲面關(guān)于坐標(biāo)面的對(duì)稱(chēng)性，得 ， 同樣的理由，得 ， 因此 。 解2 記 ，方向向下；。根據(jù)高斯公式，得 33．計(jì)算曲面積分，其中是由及圍成的圓柱體的表面，外側(cè)為正。 解 記 ，方向向上； ，方向向下

14、； ，方向向右； ，方向向左。 則 34．計(jì)算曲面積分，其中為旋轉(zhuǎn)拋物面介于和之間的部分，上側(cè)為正。 解1 記，則 解2 設(shè)分別是曲面在三個(gè)坐標(biāo)面和上的投影區(qū)域，則， ， ， 所以 解3 取，下側(cè)為正，是由和圍成的區(qū)域，根據(jù)高斯公式得 35．計(jì)算曲面積分 ，其中為 （1）； （2）。 解 （1）根據(jù)高斯公式及三重積分的對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，得 （2）記 ，根據(jù)高斯公式及三重積分的對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，得 36．計(jì)算曲面積分 ，其中 。 解 根據(jù)高斯公式，得 由于積分域關(guān)于坐標(biāo)面對(duì)稱(chēng)，所以。從而 37．計(jì)

15、算，其中曲面是區(qū)域：的外表面. 解 根據(jù)高斯公式，得 令 則 ，根據(jù)三重積分的變量替換公式，得 38．計(jì)算 ，其中是球面，外側(cè)為正。 解 因?yàn)?的正向單位法向量 ，所以根據(jù)兩類(lèi)曲面積分的關(guān)系得 根據(jù)第一型曲面積分的對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，得 ，, 所以 令 ，則 。 39．計(jì)算曲面積分 ，其中，，為橢球面，為的外向單位法向量。 解 記 ，則， 所以 令 ， ， 則 ， ， ， 所以當(dāng) 時(shí)，有 。 取為球面 ，內(nèi)側(cè)為正，其中為足夠小的正數(shù)。在橢球面與球面圍成的區(qū)域內(nèi)，函數(shù)均有

16、連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，根據(jù)高斯公式，得 。 又由于 所以 。 40． 設(shè)是中心在點(diǎn)，半徑為的球體，是的正向邊界面，是的體積，函數(shù)，均具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求證 。 證 由于函數(shù)，均具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，根據(jù)高斯公式，得 。 因?yàn)楹瘮?shù)連續(xù)，所以存在點(diǎn)，使得 ， 由于當(dāng)時(shí)，，且在點(diǎn)連續(xù)，所以 41．設(shè)函數(shù)在上半空間具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，證明對(duì)內(nèi)任意的封閉光滑曲面， 恒成立的充要條件是，其中。 證 “”記是中以為邊界的區(qū)域，根據(jù)高斯公式得 。 因?yàn)?，所以 ， 考慮到的任意性，得 。 若不然，不妨設(shè)存在，使得，由于在點(diǎn)處連續(xù)，所以存在，當(dāng)時(shí)，有成立。

17、 取為中心在，半徑為的球域，則 ， 這與上述結(jié)論矛盾，故。 “”由于 ，所以對(duì)內(nèi)任意的封閉光滑曲面，恒有 成立。 42．設(shè)對(duì)于半空間內(nèi)任意的光滑有向封閉曲面，都有，其中，且，求的表達(dá)式。 解 設(shè)是由曲面圍成的空間域，根據(jù)高斯公式，得 利用題中條件，得 ， 考慮到積分域任意性和被積函數(shù) 在時(shí)的連續(xù)性，可得 ， 即 ，， 解得 ， 由于 ，所以，從而 。 43．設(shè)是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的一張錐面，若與平面圍成一個(gè)錐體，且其底面積是，高是，體積是，求證 。 證 根據(jù)題意，錐體W的表面由錐面與平面上的一塊平面組成。若記為的正向法向量，則 當(dāng)時(shí)， =0；

18、 當(dāng)時(shí)， 。 所以根據(jù)高斯公式，得 44．設(shè)表示原點(diǎn)到橢球面上點(diǎn)處的切平面的距離，求證 。 證 橢球面上點(diǎn)處的切平面方程為 ， 其中表示切平面上的任意點(diǎn)。根據(jù)題意可知 。 記 ：，則為的外向單位法向量，利用兩類(lèi)曲面積分之間的關(guān)系得 根據(jù)高斯公式，得 所以 。 45．設(shè)函數(shù)連續(xù)，證明曲線積分與路徑無(wú)關(guān)。 證 因?yàn)楹瘮?shù)連續(xù)，所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性可知函數(shù)也連續(xù)，因此函數(shù)具有原函數(shù)。 設(shè)是的一個(gè)原函數(shù)，則 ， 所以 是一個(gè)全微分式，從而曲線積分 與路徑無(wú)關(guān)。 46．設(shè)，求在點(diǎn)處方向?qū)?shù)最大的方向和方向?qū)?/p>

19、數(shù)的最大值。 解 根據(jù)梯度的幾何意義，函數(shù)在一點(diǎn)沿其梯度方向的方向?qū)?shù)最大，且方向?qū)?shù)的最大值就是其梯度向量的長(zhǎng)度，所以 ； 。 47．設(shè)，求，。 解 ； 48．設(shè)，求。 解 ， ， ， 所以 ； 49．求質(zhì)量均勻分布的半球面的重心。 解 設(shè)半球面的半徑為，方程為。又設(shè)的重心坐標(biāo)為，則根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知 。 由于 ， ， 所以 ，故的重心為。 50．求質(zhì)量均勻分布的圓柱面：關(guān)于軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 解 設(shè)圓柱面的密度為，由于圓柱面上任意一點(diǎn)到軸距離的平方是，所以要求的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 。 51．設(shè)是球面，外側(cè)為正；是曲線，方向?yàn)閺妮S正向看是逆時(shí)針。求向量場(chǎng)通過(guò)曲面的通量和沿曲線的環(huán)量。 解 根據(jù)通量概念，得 ， 設(shè)是球體，利用高斯公式，得 根據(jù)通量的概念，得 ， 由于曲線的參數(shù)方程為 ，所以 39