2018年高考數(shù)學(xué) 命題角度6.5 恒成立與存在性問(wèn)題大題狂練 理
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1、命題角度5:恒成立與存在性問(wèn)題1.設(shè)函數(shù) .(1)關(guān)于的方程在區(qū)間上有解,求的取值范圍;(2)當(dāng)時(shí), 恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1);(2).試題解析:(1)方程即為,令,則, 當(dāng)時(shí), 隨變化情況如表:極大值, 當(dāng)時(shí), , 的取值范圍是.(2)依題意,當(dāng)時(shí), 恒成立,令,則,令,則當(dāng)時(shí), , 函數(shù)在上遞增, , 存在唯一的零點(diǎn),且當(dāng)時(shí), ,當(dāng)時(shí), ,則當(dāng)時(shí), ,當(dāng)時(shí), , 在上遞減,在上遞增,從而,由得,兩邊取對(duì)數(shù)得, ,即實(shí)數(shù)的取值范圍是.2.已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為.()求實(shí)數(shù)的值;()若存在,滿足,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】();().【解析】試題分析:(I)利用導(dǎo)數(shù)求得切線
2、方程,將其和已知的切線方程對(duì)比,可得.(II)將原不等式分離常數(shù),得到在上有解,令,利用其二階導(dǎo)數(shù)判斷出在區(qū)間上單調(diào)遞減,求得其最小值,進(jìn)而得到的取值范圍.試題解析:()函數(shù)的定義域?yàn)?因?yàn)椋?所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為 ,即.已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為,比較求得.所以實(shí)數(shù)的值為.所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.所以 .所以,即在區(qū)間上單調(diào)遞減.所以 .所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.點(diǎn)睛:本題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)與切線,函數(shù)導(dǎo)數(shù)與不等式存在性問(wèn)題的求解.第一問(wèn)涉及函數(shù)導(dǎo)數(shù)與切線的問(wèn)題,主要把握住兩個(gè)關(guān)鍵,一個(gè)是切點(diǎn)的坐標(biāo),一個(gè)是在切點(diǎn)處切線的斜率.第二問(wèn)根據(jù)存在性問(wèn)題求參數(shù)的取值范圍,主要采用分離常數(shù)法,利
3、用導(dǎo)數(shù)求得含有部分函數(shù)的最值,即可求得參數(shù)的取值范圍.3已知函數(shù).(1)研究函數(shù)的單調(diào)性;(2)若不等式在上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1) 在上單調(diào)遞增;(2) .【解析】試題分析:(1)二次求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2) 不等式在上恒成立. 在上恒成立,轉(zhuǎn)求的最小值即可. (2)依題在上恒成立,設(shè),則在上恒成立,欲使在上恒成立,則,得,反之,當(dāng)時(shí), ,設(shè),則設(shè),則,所以在上單調(diào)遞增,所以,所以,所以在上單調(diào)遞增,所以,故,所以在上單調(diào)遞增,又,所以在上恒成立,綜上所述, 在上恒成立,所以的取值范圍是.4. 已知, ()當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間;()若,使成立,求參數(shù)的取值范圍.【答案】(
4、1)的減區(qū)間為, 的增區(qū)間為, ;(2)【解析】試題分析:()對(duì)函數(shù)求導(dǎo),列表可得出結(jié)果;()將題意可轉(zhuǎn)化為時(shí), 成立,對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),分為當(dāng)時(shí), ,即,即,設(shè),對(duì)其求導(dǎo),求出的最小值;當(dāng)時(shí),列表可得, 解不等式得結(jié)果.試題解析:() ,時(shí), 增減增的減區(qū)間為的增區(qū)間為, ()由題意,即 , 當(dāng)時(shí), 單調(diào)遞增即 即設(shè) 即恒成立 無(wú)解當(dāng)時(shí)且,由(1)知恒成立,若使則且 1 , , 2由12取交集: 點(diǎn)睛:本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,分類(lèi)討論思想在解不等式中的應(yīng)用以及利用導(dǎo)數(shù)解決存在性問(wèn)題,需注意它和恒成立問(wèn)題的區(qū)別,具有一定的難度;由,得函數(shù)單調(diào)遞增, 得函數(shù)單調(diào)遞減;對(duì)于存在性問(wèn)題
5、,使成立等價(jià)于成立.5.已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若, 恒成立,求的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】試題分析:(1) 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過(guò)討論 的范圍, 得增區(qū)間, 得減區(qū)間; (2)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為,討論 的范圍,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出 的最小值即可求出 的范圍.(2)令,由(1)可知,函數(shù)的最小值為,所以,即.恒成立與恒成立等價(jià),令,即,則.當(dāng)時(shí), .(或令,則在上遞增,在上遞增,.).在區(qū)間上單調(diào)遞增,恒成立.當(dāng)時(shí),令,則,當(dāng)時(shí), ,函數(shù)單調(diào)遞增.又, ,存在,使得,故當(dāng)時(shí), ,即,故函數(shù)在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí), ,即,故函數(shù)在上單調(diào)遞增,即, 不恒成立,綜上所述, 的取值范圍
6、是.6.已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若關(guān)于的不等式恒成立,求整數(shù)的最小值.【答案】(1) 當(dāng)時(shí),的單調(diào)遞增區(qū)間為,無(wú)減區(qū)間,當(dāng)時(shí),的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為;(2)2.【解析】試題分析:(1)首先對(duì)函數(shù)求導(dǎo),然后對(duì)參數(shù)分類(lèi)討論可得當(dāng)時(shí),的單調(diào)遞增區(qū)間為,無(wú)減區(qū)間,當(dāng)時(shí),的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為;(2)將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上恒成立,考查函數(shù)的性質(zhì)可得整數(shù)的最小值是2. (2)解法一:由得,原命題等價(jià)于在上恒成立,令,則,令,則在上單調(diào)遞增,由,存在唯一,使,.當(dāng)時(shí),為增函數(shù),當(dāng)時(shí),為減函數(shù),時(shí),又,則,由,所以.故整數(shù)的最小值為2.解法二:得,令,時(shí),在上單調(diào)遞減,該情況不
7、成立.時(shí),當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,恒成立,即.令,顯然為單調(diào)遞減函數(shù).由,且,當(dāng)時(shí),恒有成立,故整數(shù)的最小值為2.綜合可得,整數(shù)的最小值為2.點(diǎn)睛:導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具,而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn),所以在歷屆高考中,對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出 ,本專(zhuān)題在高考中的命題方向及命題角度 從高考來(lái)看,對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行: (1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系 (2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,判斷單調(diào)性;已知單調(diào)性,求參數(shù) (3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值),解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題 (4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用7.設(shè)函數(shù)).
8、(1)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程;(2)設(shè),若對(duì)任意的,存在使得成立,求的取值范圍.【答案】(1) ;(2) 或.【解析】試題分析:(1)本問(wèn)考查導(dǎo)數(shù)幾何意義,當(dāng)時(shí), ,則,又,所以可以求出切線方程;(2)本問(wèn)考查“任意”和“存在”問(wèn)題,主要是將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化,“對(duì)任意的,存在使得成立”等價(jià)于“在區(qū)間上, 的最大值大于或等于的最大值”,根據(jù)二次函數(shù)易求在上的最大值,求在上最大值時(shí),需要分區(qū)間對(duì)的根進(jìn)行討論,通過(guò)單調(diào)性求出在上最大值,進(jìn)而解不等式求的取值范圍.當(dāng),即時(shí), 在上恒成立, 在上為單調(diào)遞增函數(shù), 的最大值大為,由,得;當(dāng),即時(shí),當(dāng)時(shí), 為單調(diào)遞減函數(shù),當(dāng)時(shí), 為單調(diào)遞增函數(shù),所以的最大
9、值大為或.由,得;由,得,又因?yàn)?,所以;?dāng),即時(shí), 在上恒成立, 在上為單調(diào)遞減函數(shù),所以的最大值大為,由,得,又因?yàn)椋?,綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍是或.考點(diǎn):1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義;2.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值;3.“任意”、“存在”類(lèi)問(wèn)題.方法點(diǎn)睛:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值,導(dǎo)數(shù)幾何意義等內(nèi)容是考查的重點(diǎn).解題時(shí),注意函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)討論思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用,另外,還要能夠?qū)?wèn)題進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化,尤其是“任意”和“存在”問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化,可以簡(jiǎn)化解題過(guò)程.本題“對(duì)任意的,存在使得成立”等價(jià)于“在區(qū)間上, 的最大值大于或等于的最大值”.8已知函數(shù) 為常數(shù),
10、.(1)當(dāng) 在 處取得極值時(shí),若關(guān)于的方程 在 上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍.(2)若對(duì)任意的 ,總存在 ,使不等式 成立,求實(shí)數(shù) 的取值范圍.【答案】(1);(2)的取值范圍是(2)因?yàn)椋?,即所以在上單調(diào)遞增,所以問(wèn)題等價(jià)于對(duì)任意,不等式成立設(shè),則當(dāng)時(shí),所以在區(qū)間上單調(diào)遞減,此時(shí)所以不可能使恒成立,故必有,因?yàn)槿?,可知在區(qū)間上單調(diào)遞增,在此區(qū)間上有滿足要求若,可知在區(qū)間上遞減,在此區(qū)間上有,與恒成立相矛盾,所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.點(diǎn)睛:本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性及恒成立問(wèn)題,涉及函數(shù)不等式的證明,綜合性強(qiáng),難度較大,屬于難題.在處理導(dǎo)數(shù)大題時(shí),注意分層得分的原則,一般涉及求函數(shù)
11、單調(diào)性時(shí),比較容易入手,求導(dǎo)后含參數(shù)的問(wèn)題注意分類(lèi)討論,對(duì)于恒成立的問(wèn)題,一般要構(gòu)造新函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)單調(diào)性及最值,涉及到的技巧較多,需多加體會(huì).9.已知(I)若曲線在點(diǎn)處的切線方程為,求的值;(II)若恒成立,求的最大值【答案】(I);(II)【解析】試題分析:(I)求出導(dǎo)數(shù),由題意有,代入可得;(II)不等式,即恒成立,這樣只要求得的最大值,解不等式即得對(duì),當(dāng)時(shí),函數(shù)遞減,在定義域內(nèi)有(可只取一個(gè)值檢驗(yàn)),不合題意,當(dāng)時(shí), ,由導(dǎo)數(shù)可得最大值為,得,變形為, ,因此只要設(shè),再由導(dǎo)數(shù)求出的最小值即得 試題解析:(I),依題意,有,解得, (II)設(shè),則,依題意恒成立,時(shí), 定義域,取
12、使得,得,則與矛盾,不符合要求,時(shí), ,當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), ,在區(qū)間上為增函數(shù),在區(qū)間上為減函數(shù),在其定義域上有最大值,最大值為,由,得,設(shè),則,時(shí), 時(shí), ,在區(qū)間上為增函數(shù),在區(qū)間上為減函數(shù),的最大值為,當(dāng)時(shí), 取最大值為,綜合,得, 最大值為10.已知函數(shù) (為常數(shù), 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))()當(dāng)時(shí),討論函數(shù)在區(qū)間上極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);()當(dāng), 時(shí),對(duì)任意的都有成立,求正實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【解析】試題分析:()第一步求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),第二步再設(shè),并且求以及時(shí), ,分析函數(shù)的單調(diào)性,得到函數(shù)的取值范圍,并且根據(jù) ,討論和函數(shù)的極值以及端點(diǎn)值的大小關(guān)系,得到函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);()不等
13、式等價(jià)于 ,求的最大值小于的最小值,即求得的取得范圍.試題解析:() 時(shí), ,記,則, , 當(dāng)時(shí), , 時(shí), ,所以當(dāng)時(shí), 取得極小值,又, ,所以()當(dāng)即時(shí), ,函數(shù)在區(qū)間上無(wú)極值點(diǎn); ()當(dāng)時(shí),對(duì)任意的都有,即,即 記, ,由,當(dāng)時(shí), 時(shí), ,所以當(dāng)時(shí), 取得最大值, 又,當(dāng)時(shí), 時(shí), ,所以當(dāng)時(shí), 取得最小值, 所以只需要 ,即正實(shí)數(shù)的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查了零點(diǎn)存在性定理和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值以及最值的綜合性問(wèn)題,第一問(wèn)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題,參變分離后轉(zhuǎn)化為的交點(diǎn)個(gè)數(shù),即利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性和極值,最值,討論與函數(shù)的極值和最值的大小關(guān)系,得到零點(diǎn)個(gè)數(shù),第二問(wèn),同樣需根據(jù)條件變化函數(shù),近幾年高考在導(dǎo)數(shù)命題上難度較大,命題方向也較多,常常要構(gòu)造函數(shù),思維巧妙,有選拔優(yōu)秀學(xué)生的功能.- 17 -
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