《2018年高考數(shù)學(xué) 常見題型解法歸納反饋訓(xùn)練 第39講 數(shù)列求和的方法》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018年高考數(shù)學(xué) 常見題型解法歸納反饋訓(xùn)練 第39講 數(shù)列求和的方法（16頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第39講 數(shù)列求和的方法【知識(shí)要點(diǎn)】一、數(shù)列的求和要有通項(xiàng)意識(shí)，先要對(duì)通項(xiàng)特征進(jìn)行分析（數(shù)列的通項(xiàng)決定了數(shù)列的求和方法），再確定數(shù)列求和的方法.二、數(shù)列常用的求和方法有六種：求和六法 一公二錯(cuò)三分四裂五倒六并，最后一定要牢記，公比為1不為1.1、公式法：如果一個(gè)數(shù)列是等差、等比數(shù)列或者是可以轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列，我們可以運(yùn)用等差、等比數(shù)列的前項(xiàng)和的公式來求和.對(duì)于一些特殊的數(shù)列（正整數(shù)數(shù)列、正整數(shù)的平方和立方數(shù)列等）也可以直接使用公式求和.等差數(shù)列求和公式：等比數(shù)列求和公式：常見的數(shù)列的前項(xiàng)和：， =,，等.2、錯(cuò)位相減法：若數(shù)列，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，則采用錯(cuò)位相減法.若，其中是

2、等差數(shù)列，是公比為等比數(shù)列，令 ,則兩式錯(cuò)位相減并化簡(jiǎn)整理即得.3、分組求和法：有一類數(shù)列，它既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，但是數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列或常見特殊數(shù)列，則可以將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比數(shù)列或常見的特殊數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.4、裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，即數(shù)列的每一項(xiàng)都可按此法拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)一些正負(fù)項(xiàng)相互抵消，于是前項(xiàng)的和變成首尾若干少數(shù)項(xiàng)之和，這一求和方法稱為裂項(xiàng)相消法.適用于類似（其中是各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列，為常數(shù)）的數(shù)列、部分無理數(shù)列等.用裂項(xiàng)相消法求和，需要掌握一些常見的裂項(xiàng)方法：，特別地當(dāng)時(shí)， ，特別地當(dāng)時(shí) 5、倒序相加

3、法：類似于等差數(shù)列的前項(xiàng)和的公式的推導(dǎo)方法.如果一個(gè)數(shù)列，與首末兩項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，可采用正序?qū)懞团c倒序?qū)懞偷膬蓚€(gè)和式相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和.這一種求和的方法稱為倒序相加法.6.并項(xiàng)求和法.有些數(shù)列的通項(xiàng)里有，這種數(shù)列求和時(shí)，一般要分奇數(shù)和偶數(shù)來分類討論.【方法講評(píng)】方法一公式法使用情景如果一個(gè)數(shù)列是等差、等比數(shù)列或者是可以轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列，我們可以運(yùn)用等差、等比數(shù)列的前項(xiàng)和的公式來求和.對(duì)于一些特殊的數(shù)列（正整數(shù)數(shù)列、正整數(shù)的平方和立方數(shù)列等）也可以直接使用公式求和.解題步驟直接代入公式即可. 【例1】已知等比數(shù)列中，,公比,又分別是某等差數(shù)列的第項(xiàng)，第項(xiàng)，第項(xiàng)

4、.(1)求；(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）依題意有，即,，即2.,.故.【點(diǎn)評(píng)】（1）利用公式法求數(shù)列的前項(xiàng)和，一般先求好數(shù)列前項(xiàng)和公式的各個(gè)基本量，再代入公式.（2）第2問注意要分類討論，因?yàn)榕c7的大小關(guān)系不能確定.【反饋檢測(cè)1】已知是公差不為零的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列.（）求數(shù)列的通項(xiàng)；（）求數(shù)列的前項(xiàng)和. 方法二錯(cuò)位相減法使用情景已知數(shù)列，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，則采用錯(cuò)位相減法.解題步驟若，其中是等差數(shù)列，是公比為等比數(shù)列，令，則 兩式相減并整理即得.【例2】 已知函數(shù) ，是數(shù)列的前項(xiàng)和，點(diǎn)（，）（）在曲線上.（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）若，且是數(shù)列的前項(xiàng)和. 試問是否存在

5、最大值？若存在，請(qǐng)求出的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由.（）因?yàn)?所以 得 .整理得， 策略二 利用商值比較法由式得.因?yàn)樗?，? 所以所以存在最大值.策略三 利用放縮法由式得，又因?yàn)槭菙?shù)列的前項(xiàng)和，所以. 所以所以存在最大值.【反饋檢測(cè)2】數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)于的不等式的解集中正整數(shù)的個(gè)數(shù)，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）求證：對(duì)且恒有方法三分組求和法使用情景有一類數(shù)列，它既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，但是數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列或常見特殊數(shù)列.解題步驟可以將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比數(shù)列或常見的特殊數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.【例3】已知數(shù)列的前項(xiàng)

6、和為，且滿足（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和為，試求滿足的最小正整數(shù)（2）設(shè) 【點(diǎn)評(píng)】（1）數(shù)列求和時(shí)，要分成兩個(gè)數(shù)列求和，其中一個(gè)是數(shù)列通項(xiàng)是，它用錯(cuò)位相減來求和，另外一個(gè)數(shù)列是，它是一個(gè)等差數(shù)列，直接用公式法求和.（2）解不等式時(shí)，直接用代值試驗(yàn)解答就可以了.【反饋檢測(cè)3】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.方法四裂項(xiàng)相消法使用情景類似（其中是各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列，為常數(shù)）的數(shù)列、部分無理數(shù)列等.解題步驟把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，即數(shù)列的每一項(xiàng)都可按此法拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)一些正負(fù)項(xiàng)相互抵消，于是前項(xiàng)的和變

7、成首尾若干少數(shù)項(xiàng)之和. 【例4】 已知等差數(shù)列滿足：，.的前項(xiàng)和為. （）求 及；（）令（）,求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，所以有，解得，所以?.（）由（）知，所以bn=，【點(diǎn)評(píng)】利用裂項(xiàng)相消時(shí)，注意消了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng).如，.為了確定保留了哪些項(xiàng)，最好前后多寫一些項(xiàng).【反饋檢測(cè)4】 設(shè)數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 【反饋檢測(cè)5】已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為,且().() 求的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式； () 記數(shù)列的前項(xiàng)和為,求證:().方法五倒序相加法使用情景如果一個(gè)數(shù)列，與首末兩項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和.解題步驟可采用

8、正序?qū)懞团c倒序?qū)懞偷膬蓚€(gè)和式相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和.【例5 】 已知數(shù)列的前項(xiàng)和，函數(shù)對(duì)有，數(shù)列滿足.（1）分別求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，是數(shù)列的前項(xiàng)和，若存在正實(shí)數(shù)，使不等式對(duì)于一切的恒成立，求的取值范圍【解析】（1） -得 即 要使得不等式恒成立,對(duì)于一切的恒成立,即 令,則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,故 所以為所求. 【點(diǎn)評(píng)】如果一個(gè)數(shù)列，與首末兩項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，則可以利用倒序相加法求和.【例6】求證：【點(diǎn)評(píng)】如果一個(gè)數(shù)列，與首末兩項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，則可以利用倒序相加法求和.【反饋檢測(cè)6】已知函數(shù)（1）證明：；（2）求的值.方法六并項(xiàng)求和法使用情

9、景有些數(shù)列的通項(xiàng)里有，這種數(shù)列求和時(shí)，一般要分奇數(shù)和偶數(shù)來分類討論.解題步驟一般把項(xiàng)數(shù)分成奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況分類討論. 【例7】求和：【解析】當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，【點(diǎn)評(píng)】（1）如果數(shù)列的通項(xiàng)里有，這種數(shù)列求和時(shí)，一般要分奇數(shù)和偶數(shù)來分類討論.把兩項(xiàng)合成一項(xiàng)來求和. (2)這種情況最好先計(jì)算偶數(shù)的情況，再計(jì)算奇數(shù)的情況.討論奇數(shù)情況時(shí)，為了減少計(jì)算量，提高計(jì)算效率，可以利用，而可以利用前面計(jì)算出來的偶數(shù)的結(jié)論（因?yàn)槭桥紨?shù)），只要把偶數(shù)情況下表達(dá)式中所有的都換成即可.【反饋檢測(cè)7】已知數(shù)列的首項(xiàng)為，前項(xiàng)和，且數(shù)列是公差為的等差數(shù)列（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和高中數(shù)學(xué)常見題型

10、解法歸納及反饋檢測(cè)第39講：數(shù)列求和的方法參考答案【反饋檢測(cè)1答案】（1）；（2）.【反饋檢測(cè)1詳細(xì)解析】（）由題設(shè)知公差，由，成等比數(shù)列得，解得， 故的通項(xiàng).()由（）知，由等比數(shù)列前項(xiàng)和公式得.【反饋檢測(cè)2答案】（1）；（2）；（3）見解析.（3） 由知于是故當(dāng)且時(shí)為增函數(shù) 綜上可知 . （2）由（1）知，故數(shù)列的前項(xiàng)和【反饋檢測(cè)4答案】（1）；（2）.【反饋檢測(cè)4詳細(xì)解答】（1）因?yàn)椋?所以當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， ，得，所以因?yàn)?，適合上式，所以；（2）由（1）得，所以，所以【反饋檢測(cè)5答案】（1）， ；（2）見后面解析.【反饋檢測(cè)5詳細(xì)解析】()當(dāng)時(shí),解得或(舍去) 當(dāng)時(shí),相減得即,又,所以,則,所以是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列,故 證法二:當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),先證,即證顯然成立.所以所以, 綜上,對(duì)任意,均有成立.【反饋檢測(cè)6答案】（1）；（2）.【反饋檢測(cè)7答案】（1）；（2）【反饋檢測(cè)7詳細(xì)解析】（1）（1）由已知得， 當(dāng)時(shí)，（2）由可得當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，綜上， 16