《高考數(shù)學(xué) 熱點(diǎn)難點(diǎn)突破技巧 第07講 導(dǎo)數(shù)中的雙變量存在性和任意性問題》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué) 熱點(diǎn)難點(diǎn)突破技巧 第07講 導(dǎo)數(shù)中的雙變量存在性和任意性問題（10頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第07講：導(dǎo)數(shù)中的雙變量存在性和任意性問題的處理【知識(shí)要點(diǎn)】 在平時(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和高考中，我們經(jīng)常會(huì)遇到不等式的雙變量的存在性和任意性問題，學(xué)生由于對(duì)于這類問題理解不清，很容易和不等式的恒成立問題混淆，面對(duì)這類問題總是感到很棘手，或在解題中出現(xiàn)知識(shí)性錯(cuò)誤. 1、雙存在性問題“存在，存在，使得成立”稱為不等式的雙存在性問題，存在，存在，使得成立，即在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)值比函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的一個(gè)函數(shù)值小.，即.（見下圖1）“存在，存在，使得成立”，即在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)值比函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的一個(gè)函數(shù)值大，即.（見下圖2）2、雙任意性問題“任意，對(duì)任意的，使得成立” 稱為不等式的雙任意性問題. 任意，對(duì)任意的，使

2、得成立，即在區(qū)間任意一個(gè)值比函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的任意一個(gè)函數(shù)值都要小，即. “任意，對(duì)任意的，使得成立”，即在區(qū)間內(nèi)任意一個(gè)值比函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的任意一個(gè)函數(shù)值都要大,即.3、存在任意性問題“存在，對(duì)任意的，使得成立” 稱為不等式的存在任意性問題. 存在，對(duì)任意的，使得成立，即在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)值比函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的任意一個(gè)函數(shù)值都要小，即. （見下圖3）“存在，對(duì)任意的，使得成立”，即在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)值比函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的任意一個(gè)函數(shù)值都要大，即.（見下圖4）【方法講評(píng)】題型一雙存在性問題使用情景不等式中的兩個(gè)自變量屬性都是存在性的.解題理論存在，存在，使得成立” 稱為不等式的雙存在性問題，存在，存在，使得

3、成立，即在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)值比函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的一個(gè)函數(shù)值小，即.“存在，存在，使得成立”，即在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)值比函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的一個(gè)函數(shù)值大，即.【例1】已知函數(shù).（）討論的單調(diào)性；（）當(dāng)時(shí)，設(shè)，若存在，使，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為，增區(qū)間.當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為.當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為，增區(qū)間為. （）由（）可知在上的最大值為， ，令，得.時(shí)，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增， 所以在上的最小值為， 由題意可知，解得, 所以.【點(diǎn)評(píng)】（1）存在性問題和任意性問題都是最值關(guān)系問題，關(guān)鍵是是什么樣的最值關(guān)系，所以務(wù)必理解清楚,不能含

4、糊.(2)對(duì)于存在性問題和任意性問題的理解可以數(shù)形結(jié)合理解（見前面的知識(shí)要點(diǎn)），也可以這樣記憶，雙存在性問題兩邊的最值相反.【反饋檢測(cè)1】設(shè)函數(shù)，（1）若是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，試求出關(guān)于的關(guān)系式（用表示）,并確定的單調(diào)區(qū)間；（2）在（1）的條件下，設(shè)，函數(shù)，若存在使得成立，求的取值范圍.題型二雙任意性問題使用情景不等式的兩個(gè)自變量屬性都是任意的.解題理論“任意，對(duì)任意的，使得成立” 稱為不等式的雙任意性問題. 任意，對(duì)任意的，使得成立，即在區(qū)間任意一個(gè)值比函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的任意一個(gè)函數(shù)值都要小，即. “任意，對(duì)任意的，使得成立”，即在區(qū)間內(nèi)任意一個(gè)值比函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的任意一個(gè)函數(shù)值都要大,即.【例2】

5、已知函數(shù)若不等式對(duì)所有，都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍【解析】則對(duì)所有的，都成立，令，是關(guān)于的一次函數(shù)，因?yàn)?，所以【點(diǎn)評(píng)】（1）存在性問題和任意性問題都是最值關(guān)系問題，關(guān)鍵是是什么樣的最值關(guān)系，所以務(wù)必理解清楚,不能含糊.(2)對(duì)于存在性問題和任意性問題的理解可以數(shù)形結(jié)合理解（見前面的知識(shí)要點(diǎn)），也可以這樣記憶，雙任意性問題，兩邊的最值相反. 【反饋檢測(cè)2】已知函數(shù)，.（）討論的單調(diào)性；（）對(duì)于任意，任意，總有，求的取值范圍. 題型三存在任意性使用情景不等式的兩個(gè)自變量一個(gè)屬性是存在性的，一個(gè)是任意性的.解題理論“存在，對(duì)任意的，使得成立”稱為不等式的存在任意性問題. 存在，對(duì)任意的，使得成立，即在

6、區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)值比函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的任意一個(gè)函數(shù)值都要小，即.“存在，對(duì)任意的，使得成立”，即在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)值比函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的任意一個(gè)函數(shù)值都要大，即.【例3】（2010高考山東理數(shù)第22題）已知函數(shù).()當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（）設(shè)當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意，存在，使，求實(shí)數(shù)取值范圍.（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng),函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞增.(2)當(dāng)時(shí)，由，即，解得.當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，當(dāng),函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞增.綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減

7、.（）當(dāng)時(shí)，在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，2）上是增函數(shù)，所以對(duì)任意，有又已知存在，使，所以，（）又當(dāng)時(shí)，與（）矛盾；當(dāng)時(shí)，也與（）矛盾；當(dāng)時(shí)，.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)評(píng)】（1）存在性問題和任意性問題都是最值關(guān)系問題，關(guān)鍵是是什么樣的最值關(guān)系，所以務(wù)必理解清楚,不能含糊.(2)對(duì)于存在性問題和任意性問題的理解可以數(shù)形結(jié)合理解（見前面的知識(shí)要點(diǎn)），也可以這樣記憶，存在任意性問題，兩邊的最值相同. 【反饋檢測(cè)3】已知函數(shù).（）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）已知，函數(shù).若對(duì)任意，都存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.高中數(shù)學(xué)熱點(diǎn)難點(diǎn)突破技巧第07講：導(dǎo)數(shù)中的雙變量存在性和任意性問題的處理參考

8、答案【反饋檢測(cè)1答案】（1）；（2） .令，得或 是極值點(diǎn)，即 當(dāng)即時(shí)，由得或由得當(dāng)即時(shí)，由得或由得綜上可知：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為. （2）由（1）知，當(dāng)a0時(shí)，在區(qū)間（0，1）上的單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，4）上單調(diào)遞增，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為又，函數(shù)在區(qū)間0，4上的值域是，即又在區(qū)間0，4上是增函數(shù)，且它在區(qū)間0，4上的值域是，存在使得成立只須僅須1【反饋檢測(cè)2答案】（）當(dāng)時(shí)，遞減區(qū)間為，不存在增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間；（）.遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間；綜上：當(dāng)時(shí)，遞減區(qū)間為，不存在增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間；（）令，由已知得只需即若對(duì)任意，恒成立，即令，則設(shè)，則在遞減，即在遞減即的取值范圍為【反饋檢測(cè)3答案】（I）詳見解析；（II）.【反饋檢測(cè)3詳細(xì)解析】當(dāng)時(shí)，或，在上遞增，在和上遞減；，在上遞減.(II)由（2）知在內(nèi)單調(diào)遞減，內(nèi)單調(diào)遞增，內(nèi)單調(diào)遞減，又，故有，只需在0,2上最小值小于等于-1即可. 即時(shí)最小值，不合題意，舍去；即時(shí)最小值；即時(shí)最小值；綜上所述：.10