《（江蘇專用）2018年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 必做03 二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用試題（含解析）》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（江蘇專用）2018年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 必做03 二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用試題（含解析）（32頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 專題3 二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用 【三年高考】 1. 【2016年高考四川理數(shù)改編】設(shè)i為虛數(shù)單位，則的展開式中含x4的項(xiàng)為　　　?。? 【答案】－15x4 【解析】 試題分析：二項(xiàng)式展開的通項(xiàng)，令，得，則展開式中含的項(xiàng)為． 考點(diǎn)：二項(xiàng)展開式，復(fù)數(shù)的運(yùn)算. 【名師點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理及復(fù)數(shù)的運(yùn)算，復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算也是高考的熱點(diǎn)，幾乎是每年必考內(nèi)容，屬于容易題.一般來(lái)說(shuō)，掌握復(fù)數(shù)的基本概念及四則運(yùn)算即可．二項(xiàng)式的展開式可以改為，則其通項(xiàng)為，即含的項(xiàng)為． 2．【2016年高考北京理數(shù)】在的展開式中，的系數(shù)為__________________.（用數(shù)字作答） 【答案】60. 【

2、解析】 試題分析：根據(jù)二項(xiàng)展開的通項(xiàng)公式可知，的系數(shù)為，故填：. 考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理. 【名師點(diǎn)睛】1.所謂二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)，是指展開式中的某一項(xiàng)，如第項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)、字母指數(shù)為某些特殊值的項(xiàng).求解時(shí)，先準(zhǔn)確寫出通項(xiàng)，再把系數(shù)與字母分離出來(lái)(注意符號(hào))，根據(jù)題目中所指定的字母的指數(shù)所具有的特征，列出方程或不等式來(lái)求解即可；2、求有理項(xiàng)時(shí)要注意運(yùn)用整除的性質(zhì)，同時(shí)應(yīng)注意結(jié)合的范圍分析. 3.【2016高考新課標(biāo)1卷】的展開式中,x3的系數(shù)是 .（用數(shù)字填寫答案） 【答案】 考點(diǎn):二項(xiàng)式定理 【名師點(diǎn)睛】確定二項(xiàng)展開式指定項(xiàng)的系數(shù)通常是先寫出通項(xiàng),再確定r的值

3、,從而確定指定項(xiàng)系數(shù). 4.【2016高考天津理數(shù)】的展開式中x2的系數(shù)為__________.(用數(shù)字作答) 【答案】 【解析】 試題分析：展開式通項(xiàng)為，令，，所以的．故答案為． 考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理 【名師點(diǎn)睛】1.求特定項(xiàng)系數(shù)問(wèn)題可以分兩步完成：第一步是根據(jù)所給出的條件(特定項(xiàng))和通項(xiàng)公式，建立方程來(lái)確定指數(shù)(求解時(shí)要注意二項(xiàng)式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負(fù)整數(shù)，且n≥r)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項(xiàng)． 2．有理項(xiàng)是字母指數(shù)為整數(shù)的項(xiàng)．解此類問(wèn)題必須合并通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)，根據(jù)具體要求，令其為整數(shù)，再根據(jù)數(shù)的整除性來(lái)求解． 5.【2016高考山東

4、理數(shù)】若（ax2+）5的展開式中x5的系數(shù)是—80，則實(shí)數(shù)a=_______. 【答案】-2 【解析】 試題分析：因?yàn)椋杂?，因? 考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理 【名師點(diǎn)睛】本題是二項(xiàng)式定理問(wèn)題中的常見(jiàn)題型，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，往往是考試的重點(diǎn).本題難度不大，易于得分.能較好的考查考生的基本運(yùn)算能力等. 6．【2015高考湖南，理6】已知的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為30，則____________. 【答案】16 【解析】，令，可得. 7.【2015高考新課標(biāo)1，理10】的展開式中，的系數(shù)為_________. 【答案】30 【解析】在的5個(gè)因式中，2個(gè)取因式中剩余的3個(gè)因式中1個(gè)

5、取，其余因式取y,故的系數(shù)為=30. 8.【2015高考湖北，理3】已知的展開式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式 系數(shù)和為______________. 【答案】 【解析】因?yàn)榈恼归_式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，所以，解得， 所以二項(xiàng)式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為. 9.【2015高考新課標(biāo)2，理15】的展開式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為32，則__________． 【答案】 【解析】由已知得，故的展開式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)分別為，，，，，其系數(shù)之和為，解得． 10.【2015高考上海，理11】在的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為 （結(jié)果用數(shù)值表示）．

6、 【答案】 【解析】因?yàn)?，所以?xiàng)只能在展開式中，即為，系數(shù)為 11.【2014高考湖北卷理第2題】若二項(xiàng)式的展開式中的系數(shù)是84，則實(shí)數(shù)_______. 【答案】1 【解析】因?yàn)椋?，得? 所以，解得. 14. 【2014山東高考理第14題】 若的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為20，則的最小值 . 【答案】 【解析】展開式的通項(xiàng)為，令得，所以，由得，從而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最小值為. 13. 【2014全國(guó)1高考理第13題】的展開式中的系數(shù)為________.（用數(shù)字填寫答案） 【答案】 14.【2014高考安徽卷理第13題】設(shè)是大于1的自然數(shù)，的展開式為.若點(diǎn)的位置如圖所

7、示，則. 【答案】 【解析】由圖易知，則，即，解得. 【2017年高考命題預(yù)測(cè)】 縱觀近幾年各地高考，我們可以發(fā)現(xiàn)對(duì)二項(xiàng)式定理的考查,重點(diǎn)是二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式、二項(xiàng)式系數(shù)及項(xiàng)的系數(shù)；以考查基本概念、基礎(chǔ)知識(shí)為主，如系數(shù)和、求某項(xiàng)的系數(shù)、求常數(shù)項(xiàng)、求有理項(xiàng)、求所含參數(shù)的值或范圍等；難度不大，屬于中檔題和容易題，題型為選擇題或填空題．二項(xiàng)式定理是高考數(shù)學(xué)相對(duì)獨(dú)立的內(nèi)容，二項(xiàng)式定理的知識(shí)在高考中經(jīng)常以客觀題的形式出現(xiàn)，多為課本例題、習(xí)題遷移的改編題，難度不大，個(gè)別題有一定的難度,重點(diǎn)考查運(yùn)用二項(xiàng)式定理去解決問(wèn)題的能力和邏輯劃分，化歸轉(zhuǎn)化等思想方法.為此，只要我們把握住二項(xiàng)式定理及

8、其系數(shù)性質(zhì)，會(huì)把實(shí)際問(wèn)題化歸為數(shù)學(xué)模型問(wèn)題或方程問(wèn)題去解決，就可順利獲解.預(yù)測(cè)2017年高考仍可能以二項(xiàng)式的通項(xiàng),二項(xiàng)式系數(shù)，展開式系數(shù)為主，可單獨(dú)考查本節(jié)知識(shí)，也可出現(xiàn)與其他章節(jié)知識(shí)結(jié)合的小綜合.如可能與定積分結(jié)合出題，試題難度中等．復(fù)習(xí)建議:⑴ 運(yùn)用二項(xiàng)式定理一定要牢記通項(xiàng)，注意與雖然相同，但具體到它們展開式的某一項(xiàng)時(shí)是不相同的，我們一定要注意順序問(wèn)題.另外二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)與該項(xiàng)的(字母)系數(shù)是兩個(gè)不同的概念，前者只指，而后者是字母外的部分.⑵ 對(duì)于二項(xiàng)式系數(shù)問(wèn)題，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：①求二項(xiàng)式所有項(xiàng)的系數(shù)和，可采用“特殊值取代法”，通常令字母變量的值為1；②關(guān)于組合恒等式的證明，常采用

9、“構(gòu)造法”——構(gòu)造函數(shù)或構(gòu)造同一問(wèn)題的兩種算法；③證明不等式時(shí)，應(yīng)注意運(yùn)用放縮法.⑶ 求二項(xiàng)展開式中指定的項(xiàng)，通常是先根據(jù)已知條件求，再求，有時(shí)還需先求，再求，才能求出.⑷ 有些三項(xiàng)展開式問(wèn)題可以變形為二項(xiàng)式問(wèn)題加以解決；有時(shí)也可以通過(guò)組合解決，但要注意分類清楚，不重不漏.⑸ 對(duì)于二項(xiàng)式系數(shù)問(wèn)題，首先要熟記二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，其次要掌握賦值法，賦值法是解決二項(xiàng)式系數(shù)問(wèn)題的一個(gè)重要手段.⑹ 近似計(jì)算要首先觀察精確度，然后選取展開式中若干項(xiàng).⑺ 用二項(xiàng)式定理證明整除問(wèn)題，一般將被除式變?yōu)橛嘘P(guān)除式的二項(xiàng)式的形式再展開，常采用“配湊法”“消去法”配合整除的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決. 【2017年高考考點(diǎn)

10、定位】 本節(jié)內(nèi)容高考的重點(diǎn)就是利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式、二項(xiàng)式系數(shù)及項(xiàng)的系數(shù)；以考查基本概念、基礎(chǔ)知識(shí)為主，如系數(shù)和、求某項(xiàng)的系數(shù)、求常數(shù)項(xiàng)、求有理項(xiàng)、求所含參數(shù)的值或范圍等，題型既有選擇題也有填空題，難度中等偏下，而小題目綜合化是這部分內(nèi)容的考查一種趨勢(shì). 【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理 【備考知識(shí)梳理】 1. 二項(xiàng)式定理 ，這個(gè)公式所表示的定理叫做二項(xiàng)式定理，右邊的多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)展開式，其中的系數(shù) ()叫做二項(xiàng)式系數(shù)．式中的叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用表示，即展開式的第項(xiàng)；. 2．二項(xiàng)展開式形式上的特點(diǎn)：(1)項(xiàng)數(shù)為.(2)各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)，即與的指數(shù)的和為.(3)字母按降冪排

11、列，從第一項(xiàng)開始，次數(shù)由逐項(xiàng)減1直到零；字母按升冪排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由零逐項(xiàng)增1直到.(4)二項(xiàng)式的系數(shù)從，，一直到，. 3. 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：(1)對(duì)稱性：與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即，，，.(2)增減性與最大值：二項(xiàng)式系數(shù)，當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是遞增的；由對(duì)稱性知：當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是遞減的．當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)取得最大值．當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng) 和相等，且同時(shí)取得最大值．(3)各二項(xiàng)式系數(shù)的和：的展開式的各個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的和等于，即，二項(xiàng)展開式中，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和，即， 4.注意:（1）．分清是第項(xiàng)，而不是第項(xiàng).(2)．在通項(xiàng)公式中，含有

12、、、、、、這六個(gè)參數(shù)，只有、、、是獨(dú)立的，在未知、的情況下，用通項(xiàng)公式解題，一般都需要首先將通式轉(zhuǎn)化為方程（組）求出、,然后代入通項(xiàng)公式求解.(3)．求二項(xiàng)展開式中的一些特殊項(xiàng)，如系數(shù)最大項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)等，通常都是先利用通項(xiàng)公式由題意列方程，求出，再求所需的某項(xiàng)；有時(shí)則需先求,計(jì)算時(shí)要注意和的取值范圍以及 它們之間的大小關(guān)系. (4) 在中，就是該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，它與，的值無(wú)關(guān)；而項(xiàng)的系數(shù)是指化簡(jiǎn)后字母外的數(shù)． 5．二項(xiàng)式的應(yīng)用:（1）求某些多項(xiàng)式系數(shù)的和；（2）證明一些簡(jiǎn)單的組合恒等式；（3）證明整除性,①求數(shù)的末位；②數(shù)的整除性及求系數(shù)；③簡(jiǎn)單多項(xiàng)式的整除問(wèn)題；（4）近似計(jì)算.當(dāng)充分小時(shí)，我

13、們常用下列公式估計(jì)近似值：①；②；（5）證明不等式. 【規(guī)律方法技巧】 1.在應(yīng)用通項(xiàng)公式時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：①它表示二項(xiàng)展開式的任意項(xiàng)，只要與確定，該項(xiàng)就隨之確定； ②是展開式中的第項(xiàng)，而不是第項(xiàng)；③公式中，，的指數(shù)和為且，不能隨便顛倒位置； ④ 對(duì)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式要特別注意符號(hào)問(wèn)題．⑤在二項(xiàng)式定理的應(yīng)用中，“賦值思想”是一種重要方法，是處理組合數(shù)問(wèn)題、系數(shù)問(wèn)題的經(jīng)典方法． 2. 二項(xiàng)定理問(wèn)題的處理方法和技巧:⑴運(yùn)用二項(xiàng)式定理一定要牢記通項(xiàng)，注意與雖然相同，但具體到它們展開式的某一項(xiàng)時(shí)是不同的，一定要注意順序問(wèn)題，另外二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)與該項(xiàng)的(字母)系數(shù)是兩個(gè)不同的

14、概念，前者只指，而后者是字母外的部分．前者只與和有關(guān)，恒為正，后者還與，有關(guān)，可正可負(fù)． ⑵ 對(duì)于二項(xiàng)式系數(shù)問(wèn)題，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：①求二項(xiàng)式所有項(xiàng)的系數(shù)和，可采用“特殊值取代法”，通常令字母變量的值為1；②關(guān)于組合恒等式的證明，常采用“構(gòu)造法”——構(gòu)造函數(shù)或構(gòu)造同一問(wèn)題的兩種算法；③證明不等式時(shí)，應(yīng)注意運(yùn)用放縮法.⑶ 求二項(xiàng)展開式中指定的項(xiàng)，通常是先根據(jù)已知條件求，再求，有時(shí)還需先求，再求，才能求出.⑷ 有些三項(xiàng)展開式問(wèn)題可以變形為二項(xiàng)式問(wèn)題加以解決；有時(shí)也可以通過(guò)組合解決，但要注意分類清楚，不重不漏.⑸ 對(duì)于二項(xiàng)式系數(shù)問(wèn)題，首先要熟記二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，其次要掌握賦值法，賦值法是解決二項(xiàng)式系

15、數(shù)問(wèn)題的一個(gè)重要手段.⑹ 近似計(jì)算要首先觀察精確度，然后選取展開式中若干項(xiàng).⑺ 用二項(xiàng)式定理證明整除問(wèn)題，一般將被除式變?yōu)橛嘘P(guān)除式的二項(xiàng)式的形式再展開，常采用“配湊法”“消去法”配合整除的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決. 多項(xiàng)式乘法的進(jìn)位規(guī)則:在求系數(shù)過(guò)程中,盡量先化簡(jiǎn)，降底數(shù)的運(yùn)算級(jí)別,盡量化成加減運(yùn)算，在運(yùn)算過(guò)程可以適當(dāng)注意令值法的運(yùn)用，例如求常數(shù)項(xiàng)，可令.在二項(xiàng)式的展開式中，要注意項(xiàng)的系數(shù)和二項(xiàng)式系數(shù)的區(qū)別. 3. 排列組合在二項(xiàng)展開式中的應(yīng)用：展開式可以由次數(shù)、項(xiàng)數(shù)和系數(shù)來(lái)確定．(1)次數(shù)的確定：從個(gè)相同的中各取一個(gè)(或)乘起來(lái)，可以構(gòu)成展開式中的一項(xiàng)，展開式中項(xiàng)的形式是，其中.(2)項(xiàng)數(shù)的確定：

16、滿足條件的共組． 即將展開共項(xiàng)，合并同類項(xiàng)后共項(xiàng)．(3)系數(shù)的確定：展開式中含()項(xiàng)的系數(shù)為 (即個(gè)，個(gè)的排列數(shù))因此展開式中的通項(xiàng)是： (),這種方法比數(shù)學(xué)歸納法推導(dǎo)二項(xiàng)式定理更具一般性和創(chuàng)造性，不僅可二項(xiàng)展開，也可三項(xiàng)展開，四項(xiàng)展開等． 4. 求幾個(gè)二項(xiàng)式積的展開式中某項(xiàng)的系數(shù)或特定項(xiàng)時(shí)，一般要根據(jù)這幾個(gè)二項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行分類搭配，分類時(shí)一般以一個(gè)二項(xiàng)式逐項(xiàng)分類，分析其他二項(xiàng)式應(yīng)滿足的條件，然后再求解結(jié)果． 5. “賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對(duì)形如、 ()的式子求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法，只需令即可；對(duì)形如 ()的式子求其展開式各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令即可

17、．“賦值法”是求二項(xiàng)展開式系數(shù)問(wèn)題常用的方法，注意取值要有利于問(wèn)題的解決，可以取一個(gè)值或幾個(gè)值，也可以取幾組值，解題易出現(xiàn)漏項(xiàng)等情況，應(yīng)引起注意．例：若，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為，奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為，令，可得． 6. 求展開式系數(shù)最大項(xiàng)：如求 ()的展開式系數(shù)最大的項(xiàng)，一般是采用待定系數(shù)法，設(shè)展開式各項(xiàng)系數(shù)分別為，且第項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)用從而解出k來(lái)，即得． 7. (1)利用二項(xiàng)式定理解決整除問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是進(jìn)行合理地變形構(gòu)造二項(xiàng)式，應(yīng)注意：要證明一個(gè)式子能被另一個(gè)式子整除，只要證明這個(gè)式子按二項(xiàng)式定理展開后的各項(xiàng)均能被另一個(gè)式子整除即可． (2)求余數(shù)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)明確被除式與

18、除式 ()，商式與余式的關(guān)系及余式的范圍． (3)展開式中常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)的特征是通項(xiàng)中未知數(shù)的指數(shù)分別為零和整數(shù)．解決這類問(wèn)題時(shí)，先要合并通項(xiàng)中同一字母的指數(shù)，再根據(jù)上述特征進(jìn)行分析． (4)有關(guān)求二項(xiàng)展開式中的項(xiàng)、系數(shù)、參數(shù)值或取值范圍等，一般要利用通項(xiàng)公式，運(yùn)用方程思想進(jìn)行求值，通過(guò)解不等式(組)求取值范圍． 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1.已知的展開式的前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列； （1）求展開式中所有的有理項(xiàng)； （2）求展開式中系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)。 【答案】。（1）．（2） 【解析】 試題分析：根據(jù)已知條件展開式的前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列可以求出的值，⑴求展開式中所有的項(xiàng)

19、，將有理項(xiàng)選出；⑵通過(guò)判斷系數(shù)絕對(duì)值最大的兩項(xiàng)分別為第項(xiàng)．． ⑵展開式中系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)為同理則其系數(shù)的絕對(duì)值的最大項(xiàng)為和． 2.求的展開式中的常數(shù)項(xiàng)，其中是除以的余數(shù)． 【答案】 【解析】 試題分析：由是除以的余數(shù)求了出，再由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)求常數(shù)項(xiàng)即可． 試題解析：除以的余數(shù)是，所以． 設(shè)是展開式中的常數(shù)項(xiàng)， 則 令得，所以． 所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)為． 【兩年模擬詳解析】 1.已知二項(xiàng)展開式中，第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的比為8：3 （1）求n的值； （2）求展開式中項(xiàng)的系數(shù) （3）計(jì)算式子的值． 【答案】（1）；（2）180；（3）1

20、. 【解析】 試題分析： 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，注意根據(jù)題意，分析所給代數(shù)式的特點(diǎn)，通過(guò)給二項(xiàng)式的x賦值，求展開式的系數(shù)和，屬于基礎(chǔ)題．第一問(wèn)，直接利用條件可得，求得n的值；第二問(wèn)，在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于3，求出r的值，即可求得展開式中x3項(xiàng)的系數(shù)．第三問(wèn)，在二項(xiàng)展開式中，令x=1，可得式子的值． （3）由二項(xiàng)式定理可得， 所以令x=1得. 2．已知． （1）求的值 （2）求 （3）求． 【答案】（1）（2）0（3） 【解析】 試題分析：（1）求時(shí)利用二項(xiàng)式定理的展開式通項(xiàng)公式，取x的次數(shù)為2時(shí)求對(duì)應(yīng)的系數(shù)；求（2）（

21、3）中奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和時(shí)分別令，將得到的兩式整理即可求得 試題解析：（1） （2）， （3） 3．若展開式中第二、三、四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列． （1）求n的值及展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)． （2）此展開式中是否有常數(shù)項(xiàng)，為什么？ 【答案】（1） n = 7 ，， （2） 無(wú)常數(shù)項(xiàng) 【解析】 試題分析：首先求得二項(xiàng)式定理的展開式通項(xiàng)，得到第二、三、四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，列出等式關(guān)系求得值，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間的一項(xiàng)或兩項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)即通項(xiàng)中的次數(shù)為零的項(xiàng) 試題解析：（1）解：由展開式中第二、三、四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，得 2=+ 解之得n = 7 由于n

22、=7為奇數(shù)，所以展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間兩項(xiàng)，它們分別是 （2）由 （0≤r≤7） 令=0得r=，（舍去） 所以無(wú)常數(shù)項(xiàng) 4．已知的展開式中，只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大． （Ⅰ）求該展開式中所有有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)； （Ⅱ）求該展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)． 【答案】（1）6；（2）． 【解析】 試題分析：（1）先由只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大求出，再利用通項(xiàng)進(jìn)行求解；（2）設(shè)第項(xiàng)的系數(shù)最大，利用進(jìn)行求解． 試題解析：（Ⅰ）由題意可知：，． ， 要求該展開式中的有理項(xiàng)，只需令， ，所有有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為6項(xiàng)． （Ⅱ）設(shè)第項(xiàng)的系數(shù)最大， 則，即， 解得：，，得．

23、 展開式中的系數(shù)最大的項(xiàng)為． 5．已知展開式中各項(xiàng)的系數(shù)之和比各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和大． （1）求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)； （2）求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)． 【答案】（1），（2） 【解析】 試題分析：（1）本題考察的是二項(xiàng)式定理的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，要求二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)，首先要確定的值，然后就能確定展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)。易錯(cuò)點(diǎn)主要在分不清各項(xiàng)系數(shù)之和與二項(xiàng)式系數(shù)之和的差別。 （2）本題考察的是求展開式中的系數(shù)最大項(xiàng)，設(shè)第項(xiàng)系數(shù)最大，只需建立兩個(gè)不等式，求出的取值范圍，再根據(jù)就可以求出的值，最后根據(jù)二項(xiàng)式定理展開式的公式即可寫出相應(yīng)的系數(shù)最大的項(xiàng)。 試題解析：由

24、題意， ， （1）展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是，； （2）由解得為所求的系數(shù)最大的項(xiàng)。 考點(diǎn)：（1）二項(xiàng)式定理（2）二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) 6．解下列方程： 【答案】14 【解析】 試題分析：本題主要考察組合數(shù)公式的應(yīng)用，根據(jù)公式就可以把所給方程化簡(jiǎn)成簡(jiǎn)單方程，就可以解出答案。本題易錯(cuò)點(diǎn)在記錯(cuò)公式，從而導(dǎo)致化簡(jiǎn)出錯(cuò)，本題中的上下標(biāo)較多 ，化簡(jiǎn)時(shí)要多加注意。 試題解析：得 7．在的展開式中，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列。 （Ⅰ）求展開式中含有的項(xiàng)的系數(shù)； （Ⅱ）求展開式中的有理項(xiàng)。 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；； 【解析】 試題分析：（Ⅰ）首先將前三項(xiàng)的系數(shù)寫出，然后因?yàn)槭?/p>

25、等差數(shù)列，所以列出關(guān)于n的式子，求解n,按通項(xiàng)公式列項(xiàng)，判定當(dāng)r為何值是，會(huì)出現(xiàn)含的項(xiàng)；（Ⅱ）同樣寫，有理項(xiàng)指為整數(shù)，． 試題解析：解：的展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)分別為；；，由題意知 或（舍去） （Ⅰ）設(shè)展開式中含有的項(xiàng)為； 則，含有的項(xiàng)為第5項(xiàng)，它的系數(shù)為 （Ⅱ）設(shè)展開式中第項(xiàng)為有理項(xiàng)，則 當(dāng)時(shí)對(duì)應(yīng)的項(xiàng)為有理項(xiàng)，有理項(xiàng)分別為：；； 8．設(shè)數(shù)列{an}是等比數(shù)列，，公比q是的展開式中的第二項(xiàng)（按x的降冪排列）． （1）用n、x表示通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn； （2）若An+1＝S1＋S2＋…＋Sn＋Sn+1，用n、x表示An+1． 【答案】（1） ，；（2） ． 【解析】 試題

26、分析：（1）根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)可求得的值,根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)可求得的值,從而可求得．（2）用倒序相加法及組合數(shù)的性質(zhì)可求得． （2）當(dāng)時(shí)，， ① 又∵，② 由，①＋②，得， ∴． 當(dāng)時(shí)，， ． ∴． 9．已知二項(xiàng)式（N*）展開式中，前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和是，求：（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）展開式中的常數(shù)項(xiàng)． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）． 【解析】 試題分析：（Ⅰ）前三項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)分別為,由題意根據(jù)組合數(shù)的運(yùn)算可求得．（Ⅱ）由（Ⅰ）知,根據(jù)二項(xiàng)式的展開式,令的系數(shù)為0可求得的值,從而可求得其常數(shù)項(xiàng)． 10．（1）

27、若的展開式中，的系數(shù)是的系數(shù)的倍，求； （2）已知的展開式中, 的系數(shù)是的系數(shù)與的系數(shù)的等差中項(xiàng),求； （3）已知的展開式中,二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的值等于,求. 【答案】（1）n=8；（2）（3） 【解析】 試題分析：不必將所有式子進(jìn)行展開，本題只需要通過(guò)對(duì)二項(xiàng)式定理的理解求出各項(xiàng)的系數(shù)，根據(jù)各小題所給條件（其中包括融入了有關(guān)等差數(shù)列的應(yīng)用，級(jí)數(shù)展開最大項(xiàng)的選擇等），列出相應(yīng)的方程，并解出方程解即本題答案，在解方程時(shí)要注意多解的適用性，舍掉不必要的解。 試題解析：（1）的二項(xiàng)式系數(shù)是，的二項(xiàng)式系數(shù)是.依題意有 （2）依題意，得 即 （3）依

28、題意得 即 解得，或 所以. 11．已知的展開式中，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值依次成等差數(shù)列 （1）證明展開式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)； （2）求展開式中的所有有理項(xiàng)； 【答案】（1）詳見(jiàn)解析; （2）． 【解析】 試題分析：（1）根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)求得前三項(xiàng)系數(shù),根據(jù)題意,由等差中項(xiàng)可求得關(guān)于的方程,從而可求得的值．因?yàn)榇苏归_式至少有3項(xiàng)故．再根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)求第項(xiàng),令的冪指數(shù)為0求,當(dāng)且時(shí)說(shuō)明此展開式有常數(shù)項(xiàng),否則說(shuō)明此展開式無(wú)常數(shù)項(xiàng)．（2）由（1）可知,當(dāng)且僅當(dāng)為整數(shù)時(shí)為有理項(xiàng),又因?yàn)榍?所以可得的值,從而可得其有理項(xiàng)． （2）為有理項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)為整數(shù)， ，即展開式中有

29、理項(xiàng)共有三項(xiàng)，它們是 ． 12．已知:（,n為常數(shù)）． （1）求； （2）我們知道二項(xiàng)式的展開式．若該等式兩邊對(duì)x求導(dǎo)得：=,令x=1，可得=．利用此方法解答以下問(wèn)題： ①求； ②求． 【答案】（1）；（2）①；② 【解析】 試題分析：（1）利用賦值法，令即可；（2）①由題目給出的條件可知，需要對(duì)已知的式子進(jìn)行兩邊求導(dǎo)，再利用賦值法令即可；②因?yàn)楸绢}中出現(xiàn)了平方，所以需要兩邊先同時(shí)乘以x,再求導(dǎo)賦值即可． 試題解析：（1）即為的各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值之和且絕對(duì)值之和為正數(shù)，令x=-1,則=； （2）對(duì)等式兩邊求導(dǎo)得： ．令x=1得=2n．]

30、 （3） 將兩邊同乘x得 ，兩邊再對(duì)x求導(dǎo)： ，令x=1得= 13．設(shè)． （1）若數(shù)列的各項(xiàng)均為1，求證：； （2）若對(duì)任意大于等于2的正整數(shù)，都有恒成立，試證明數(shù)列是等差數(shù)列． 【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析． 【解析】 試題分析：（1）由二項(xiàng)式定理得，令，即可得，所以得證； （2）使用數(shù)學(xué)歸納法即可證明． 試題解析：（1）因數(shù)列滿足各項(xiàng)為1，即， 由，令， 則，即． （2）當(dāng)時(shí)，，即，所以數(shù)列的前3項(xiàng)成等差數(shù)列． 假設(shè)當(dāng)時(shí)，由，可得數(shù)列的前項(xiàng)成等差數(shù)列， 因?qū)θ我獯笥诘扔?的正整數(shù)，都有恒成立，所以成立， 所以， 兩式相減得， ， 因，

31、 所以， 即， 由假設(shè)可知也成等差數(shù)列，從而數(shù)列的前項(xiàng)成等差數(shù)列． 綜上所述，若對(duì)任意恒成立，則數(shù)列是等差數(shù)列． 14．已知． ⑴求及； ⑵試比較與的大小，并說(shuō)明理由． 【答案】（1），；（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，． 【解析】 試題分析：（1）本題是二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，求二項(xiàng)展開式中的系數(shù)，一般用賦值法，本題中令可得，令可得；（2）由（1）知題意就是要比較與的大小，它們都是增函數(shù)，但從增速上看，當(dāng)較大時(shí)，增速較大，取特殊值觀察結(jié)論，分別取，猜想當(dāng)時(shí)有，可試用數(shù)學(xué)歸納法證明. ①由上述過(guò)程可知，當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立． ②假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立，即， 兩邊同乘以，得， 而

32、， 所以， 即時(shí)結(jié)論也成立． 由①②可知，當(dāng)時(shí)，成立． 綜上所述，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，． 15．設(shè)且對(duì)于二項(xiàng)式 （1）當(dāng)時(shí)，分別將該二項(xiàng)式表示為的形式； （2）求證：存在使得等式與同時(shí)成立． 【答案】（1），； （2）見(jiàn)解析． 【解析】 試題分析：（1）由二項(xiàng)式定理展開整理即可；（2）分為奇偶數(shù)討論，用待定系數(shù)法求之． 試題解析：（1）當(dāng)n=3時(shí)，， ． 2分 當(dāng)n=4時(shí)，， ． （2）證明：由二項(xiàng)式定理得， 若為奇數(shù)，則 ， 分析各項(xiàng)指數(shù)的奇偶性易知，可將上式表示為 的形式，其中， 也即，其

33、中，，， 若為偶數(shù)，則 類似地，可將上式表示為的形式，其中， 也即，其中，，． 所以存在，使得等式． 同理可得可表示為， 從而有， 綜上可知結(jié)論成立． 16．已知展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和比各項(xiàng)的系數(shù)和大256； （Ⅰ）求展開式中的所有無(wú)理項(xiàng)的系數(shù)和； （Ⅱ）求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)． 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 【解析】 試題分析：首先由已知得到，寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式（Ⅰ）由通項(xiàng)公式易知當(dāng)時(shí)，為無(wú)理項(xiàng)，故無(wú)理項(xiàng)的系數(shù)和為 （Ⅱ）考慮展開式的奇數(shù)，

34、可知當(dāng)時(shí)，系數(shù)最大 試題解析：由題意展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，令可得到各項(xiàng)的系數(shù)和為，則由條件得，則 ，則的第項(xiàng)為 （1）由通項(xiàng)公式易知當(dāng)時(shí)，為無(wú)理項(xiàng) 故無(wú)理項(xiàng)的系數(shù)和為 （2）當(dāng)時(shí)，系數(shù)為；當(dāng)時(shí)，系數(shù)為 當(dāng)時(shí)，系數(shù)最大，故系數(shù)最大的項(xiàng)為 17．在數(shù)學(xué)上，常用符號(hào)來(lái)表示算式，如記=，其中，. （1）若，，，…，成等差數(shù)列，且，求證：； （2）若，，記，且不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【答案】（1）詳見(jiàn)解析（2） 【解析】 試題分析：（1）利用，將和項(xiàng)轉(zhuǎn)化為符合二項(xiàng)式展開定理?xiàng)l件，本題也可利用倒序相加法求和（2）本題

35、關(guān)鍵在于求和及，對(duì)于，可利用賦值法求偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和得到；對(duì)于，則需構(gòu)造符合二項(xiàng)式展開定理?xiàng)l件，進(jìn)行求和，最后根據(jù)恒成立，利用變量分離法，求最值得參數(shù)取值范圍. 試題解析：（1）設(shè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，其中為公差 則 因?yàn)? 所以 所以=. 注：第（1）問(wèn)也可以用倒序相加法證明. （2）令，則 令，則， 所以 根據(jù)已知條件可知， ， 所以 將、代入不等式得， 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以； 當(dāng)為奇數(shù)，，

36、所以； 綜上所述，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是. 18．已知數(shù)列通項(xiàng)公式為，其中為常數(shù)，且，．等式，其中為實(shí)常數(shù)． （1）若，求的值； （2）若，且，求實(shí)數(shù)的值． 【答案】（1）6143；（2）2； 【解析】 試題分析：（1）由二項(xiàng)式定理求出的通項(xiàng)，再利用分組求和法、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)、倒序相加法求和；（2）對(duì)所給等式的左邊先分組，而后利用二項(xiàng)式定理求和而將方程進(jìn)行化簡(jiǎn)，再利用方程所對(duì)應(yīng)的函數(shù)的單調(diào)性以及估算求解方程； 試題解析：（1） 比較可知； 而時(shí), 所以， 設(shè)， 也可以寫成，

37、相加得即，所以． （2）當(dāng)時(shí)，，結(jié)合（1）中結(jié)論可知 ② =，即 ③， 因?yàn)棰跒殛P(guān)于的遞增的式子，所以關(guān)于的方程最多只有一解，而觀察③可知，有一解，綜上可知：． 19．已知數(shù)列通項(xiàng)公式為，其中為常數(shù)，且，．等式，其中為實(shí)常數(shù)． （1）若，求的值； （2）若，且，求實(shí)數(shù)的值． 【答案】（1）6143；（2） 【解析】 試題分析：（1）由二項(xiàng)式定理易知 比較可知而此時(shí)所以設(shè) ，利用倒序相加法可得所以 （2）當(dāng)時(shí)，，結(jié)合（2）中結(jié)論可知② =，因?yàn)棰跒殛P(guān)于的遞增的式子，所以關(guān)于的方程最多只有一解，而觀察③可知，有一解，綜上可知：． 試題解析：（1） 比較可知；

38、 而時(shí), 所以， 設(shè)，也可以寫成 ，相加得即，所以． 20．已知（其中） （1）求及； （2）試比較與的大小，并說(shuō)明理由． 【答案】（1），（2）當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， ---7分 【解析】 試題分析：（1）賦值法求二項(xiàng)展開式的項(xiàng)的系數(shù)：令，則，令， 則，∴；（2）要比較與的大小，即比較：與的 大小，這需先歸納：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，；再猜想當(dāng)時(shí)，，最后用數(shù)學(xué)歸納法證明，關(guān)鍵將時(shí)的式子與情形建立關(guān)系： 試題解析：解：（Ⅰ）令，則，令， 則，∴

39、； （Ⅱ）要比較與的大小，即比較：與的大小，---1分 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，； 猜想：當(dāng)時(shí)，，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： 由上述過(guò)程可知， 時(shí)結(jié)論成立， 假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立，即， 兩邊同乘以3 得： 而 ∴ 即時(shí)結(jié)論也成立， ∴當(dāng)時(shí)，成立. 綜上得，當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 【一年原創(chuàng)真預(yù)測(cè)】 1. 已知的展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列． （1）求的值； （2）求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)． 【答案】（1）8；（2）， 【解析】 試題分析：（1）利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出展開式前三項(xiàng)的系數(shù)，列出方程求出；（2）設(shè)出系數(shù)最大的項(xiàng)，根據(jù)最大的系數(shù)大

40、于等于它前一項(xiàng)的系數(shù)同時(shí)大于等于它后一項(xiàng)的系數(shù)，列出不等式組求出，進(jìn)而求出系數(shù)最大的項(xiàng)． 【入選理由】本題考查二項(xiàng)式定理等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查基本運(yùn)算能力，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式的運(yùn)用是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，一般用以求展開式中的特定項(xiàng)，以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，本題系數(shù)字母的值，立意新穎，考查全面，故押此題. 2. 已知數(shù)列為，表示，． ⑴若數(shù)列為等比數(shù)列，求； ⑵若數(shù)列為等差數(shù)列，求. 【答案】（1）， （2）. 試題解析：⑴，所以； ⑵，， 因?yàn)椋? 兩邊同乘以，則有， 兩邊求導(dǎo)，左邊， 右邊， 即（*）， 對(duì)（*）式兩邊再求導(dǎo)，得 取，則有 所以. 【入選理由】本題考查二項(xiàng)式定理，數(shù)列中的等差數(shù)列和導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力、基本運(yùn)算能力及推理能力，本題是由一道高考題演化而來(lái)，它與數(shù)列、函數(shù)交匯命題，立意新穎、考查全面，綜合性較強(qiáng),難度中等，符合高考的方向，故押此題. - 32 -