《2017小學數(shù)學奧數(shù)精講 第一講 速算與巧算》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2017小學數(shù)學奧數(shù)精講 第一講 速算與巧算（15頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第1講 速算與巧算在進行加減運算時，為了又快又準確，除了要熟練地掌握計算法則外，還需要掌握一些巧算方法。加減法的巧算主要是“湊整”，就是將算式中的數(shù)分成若干組，使每組的運算結(jié)構(gòu)都是整十、整百、整千的數(shù)，再將各組的結(jié)果求和。這種“化零為整”的思想是加減法巧算的基礎。一、先講加法的巧算，加法具有以下兩個運算律：加法交換律：兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，它們的和不變。即：a+b=b+a其中，a,b各表示任意數(shù)字。例如，5+6=6+5一般地，多個數(shù)相加，任意改變相加的順序，其和不變。例如，a+b+c+d=d+b+c+a=其中，a,b,c,d各表示任意一數(shù)。加法結(jié)合律：三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，再加上

2、第三個數(shù)，或者，先把后兩個數(shù)相加，再與第一個數(shù)相加，它們的和不變。即：a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)其中，a,b,c,各表示任意一數(shù)。例如：4+9+7=（4+9）+7=4+（9+7）一般地，多個數(shù)相加，可先對其中幾個數(shù)相加，再與其他數(shù)相加。把加法交換律和加法結(jié)合律綜合起來運用，就得到加法的一些巧算方法。1、湊整法。先把加在一起為整十、整百、整千的加數(shù)加起來，然后再與其他的數(shù)相加。例1：計算（1）23+54+18+47+82（2） 1350+49+68+51+32+16502、借數(shù)湊整法有些題目直觀上湊數(shù)不明顯，這時可“借數(shù)”湊整。例如，計算976+85，可在85中借出24， 即把8

3、5拆分成24+61，這樣就可以先用976加上24，“湊”成1000，然后再加61。例2：計算（1）57+64+238+46（2）4993+3996+5997+848二、減法和加減法混合運算的巧算。加、減法有如下一些重要性質(zhì)：1、在連減或加、減混合運算中，如果算式中沒有括號，那么計算時可以帶著運算符號“搬家”。例如：a-b-c=a-c-b,a-b+c=a+c-b2、在加、減法混合運算中，去 括號時，如果括號前面是“+”號，那么去掉括號后，括號內(nèi)的數(shù)的運算符號不變，如果括號前面是“-”號，那么去掉括號后，括號內(nèi)的數(shù)的運算符號“+”變?yōu)椤?”，“-”變?yōu)椤?”。例如：a+(b-c)=a+b-ca-(

4、b+c)=a-b-ca-(b-c)=a-b+c3、在加、減法混合運算中，添括號時，如果添加的括號前面是“+”號，那么括號內(nèi)的數(shù)原來的運算符號不變，如果添加的括號前面是“-”號，那么括號內(nèi)的數(shù)的原來的運算符號“+”變?yōu)椤?”，“-”變?yōu)椤?”。例如：a+b-c=a+（b-c）a-b+c=a-（b+c）a-b-c=a-（b+c）靈活運用這些性質(zhì)，可得減法或加、減混合運算的一些簡便方法。三、分組湊整法例3 計算 （1）875-364-236（2）1847-1928+628-136-64（3）1348-234-76+2234-48-24例4 計算（1）512-382（2）6854-876-97（3）3

5、97-146+288-339四、加法中的巧算1.什么叫“補數(shù)”？兩個數(shù)相加，若能恰好湊成整十、整百、整千、整萬，就把其中的一個數(shù)叫做另一個數(shù)的“補數(shù)”。如：1+9=10，3+7=10，2+8=10，4+6=10，5+5=10。又如：11+89=100，3367=100，22+78=100，44+56=100，55+45=100，在上面算式中，1叫9的“補數(shù)”；89叫11的“補數(shù)”，11也叫89的“補數(shù)”.也就是說兩個數(shù)互為“補數(shù)”。對于一個較大的數(shù)，如何能很快地算出它的“補數(shù)”來呢？一般來說，可以這樣“湊”數(shù)：從最高位湊起，使各位數(shù)字相加得9，到最后個位數(shù)字相加得10。如： 876551234

6、5， 4680253198，8736212638，下面講利用“補數(shù)”巧算加法，通常稱為“湊整法”。2.互補數(shù)先加。例1 巧算下面各題：36+87+6499+136101 136197263928解：式=（3664）87 =10087=187 式=（99101）136 =200+136=336 式=（1361639）（97228） =2000+1000=30003.拆出補數(shù)來先加。例2 188873 548996 9898203解：式=（188+12）+（873-12）（熟練之后，此步可略）200+861=1061式=（548-4）（9964）=544+1000=1544式=（9898102）（

7、203-102）=10000+101=101014.豎式運算中互補數(shù)先加。如：五、減法中的巧算1.把幾個互為“補數(shù)”的減數(shù)先加起來，再從被減數(shù)中減去。例 3 300-73-27 1000-90-80-20-10解：式= 300-（73 27） = 300-100=200 式=1000-（90802010） =1000-200=8002.先減去那些與被減數(shù)有相同尾數(shù)的減數(shù)。例4 4723-（723189） 2356-159-256解：式=4723-723-189 =4000-189=3811 式=2356-256-159 =2100-159 =19413.利用“補數(shù)”把接近整十、整百、整千的數(shù)先

8、變整，再運算（注意把多加的數(shù)再減去，把多減的數(shù)再加上）。例 5 506-397 323-189 467997 987-178-222-390解：式=5006-400+3（把多減的 3再加上） =109式=323-200+11（把多減的11再加上） =123+11134式=4671000-3（把多加的3再減去） 1464式=987-（178222）-390 987-400-400+10=197六、加減混合式的巧算1.去括號和添括號的法則在只有加減運算的算式里，如果括號前面是“”號，則不論去掉括號或添上括號，括號里面的運算符號都不變；如果括號前面是“-”號，則不論去掉括號或添上括號，括號里面的運算

9、符號都要改變，“+”變“-”，“-”變“+”，即：a（bcd）abcda -（bad）a-b-c-da -（b-c）a-b+c例6 100（102030） 100-（1020+3O） 100-（30-10）解：式=100102030=160式=100-10-20-30=40式=100-301080例7 計算下面各題： 100102030 100-10-20-30 100-3010解：式=100（10+20+30）=10060=160式=100-（1020+30）100-60=40式=100-（30-10）=100-20=802.帶符號“搬家”例8 計算 32546-12554解：原式=325-

10、12546+54（325-125）+（4654）=200+100300注意：每個數(shù)前面的運算符號是這個數(shù)的符號.如+46，-125，+54.而325前面雖然沒有符號，應看作是+325。3.兩個數(shù)相同而符號相反的數(shù)可以直接“抵消”掉例9 計算9+2-93解：原式=9-92+3=54.找“基準數(shù)”法幾個比較接近于某一整數(shù)的數(shù)相加時，選這個整數(shù)為“基準數(shù)”。例10 計算 78+768382+77807985640七、乘法中的巧算1.兩數(shù)的乘積是整十、整百、整千的，要先乘.為此，要牢記下面這三個特殊的等式：52=10 254=100 1258=1000例1 計算123425 125282554解：式=

11、123（425）=12310012300式=（1258）（254）（52）=100010010=10000002.分解因數(shù)，湊整先乘。例 2計算 2425 56125 1255325解：式=6（425）=6100=600式=78125=7（8125）=71000=7000式=1255485=（1258）（554）=1000100=1000003.應用乘法分配律。例3 計算 17534175666712+67356752+6解：式=175（34+66）=175100=17500式=67（1235521） 671006700（原式中最后一項67可看成 671）例4 計算 123101 12399解

12、：式=123（1001）=12310012312300123=12423式=123（100-1）=12300-123=121774.幾種特殊因數(shù)的巧算。例5 一個數(shù)10，數(shù)后添0； 一個數(shù)100，數(shù)后添00； 一個數(shù)1000，數(shù)后添000；以此類推。如：1510=150 15100=1500 15100015000例6 一個數(shù)9，數(shù)后添0，再減此數(shù)； 一個數(shù)99，數(shù)后添00，再減此數(shù)； 一個數(shù)999，數(shù)后添000，再減此數(shù)； 以此類推。如：129120-12108129912001211881299912000-12=11988例7 一個偶數(shù)乘以5，可以除以2添上0。如：65301658011

13、65=580。例8 一個數(shù)乘以11，“兩頭一拉，中間相加”。如 22221124442例9 一個偶數(shù)乘以15，“加半添0”.2415（24+12）10360因為2415 24（10+5）24（10102）=2410+24102（乘法分配律）2410+24210（帶符號搬家）（24+242）10（乘法分配律）例10 個位為5的兩位數(shù)的自乘：十位數(shù)字（十位數(shù)字加1）100+25如1515=1（1+1）100+25=2252525=2（2+1）100+25=6253535=3（3+1）100+25=12254545=4（4+1）100+25=20255555=5（5+1）100+25=3025656

14、56（6+1）100+25=42257575=7（7+1）100+2556258585=8（8+1）100+25=722595959（9+1）100259025還有一些其他特殊因數(shù)相乘的簡便算法，有興趣的同學可參看算得快一書。八、除法及乘除混合運算中的巧算1.在除法中，利用商不變的性質(zhì)巧算商不變的性質(zhì)是：被除數(shù)和除數(shù)同時乘以或除以相同的數(shù)（零除外），商不變.利用這個性質(zhì)巧算，使除數(shù)變?yōu)檎?、整百、整千的?shù)，再除。例11 計算1105330025 44000125解：1105=（1102）（52）22010=22330025（33004）（254）13200100132 44000125=（44

15、0008）（1258）35200010003522.在乘除混合運算中，乘數(shù)和除數(shù)都可以帶符號“搬家”。例12 86427548645427=1627=4323.當n個數(shù)都除以同一個數(shù)后再加減時，可以將它們先加減之后再除以這個數(shù)。例13 13959 215-65209024-4822418712-6312-5212解：139+59=（135）9=1892215-65（21-6）5155=3209024-48224（2090-482）241608246718712-6312-5212（187-63-52）127212=64.在乘除混合運算中“去括號”或添“括號”的方法：如果“括號”前面是乘號，去掉

16、“括號”后，原“括號”內(nèi)的符號不變；如果“括號”前面是除號，去掉“括號”后，原“括號”內(nèi)的乘號變成除號，原除號就要變成乘號，添括號的方法與去括號類似。即a（bc）=abc 從左往右看是去括號，a（bc）abc 從右往左看是添括號。a（bc）abc例14 1320500250400012585600（286）372162542997729（8181）解： 13205002501320（500250）=132022640400012584000（1258）4000100045600（286）=5600286=2006=120037216254=372（16254）37231242997729（81

17、81）29977298181（299781）（72981）379333要求：1.掌握用“湊整”的方法進行簡單的計算 2.根據(jù)減法的性質(zhì)，簡化運算。1. 幾個數(shù)相加，利用移位湊整的方法，將加數(shù)中能湊成整十，整百，整千等的數(shù)交換順序，先進行湊整，然后再與其他一些加數(shù)相加，得出結(jié)果。2. 在加減混合算式與連減算式中，將減數(shù)先結(jié)合起來，集中一次相減，可簡化運算。3. 幾個相近的數(shù)相加，可以選擇其中一個數(shù)，最好是整十，整百等的數(shù)為“基準數(shù)”。再把大于基準數(shù)的數(shù)寫成基準數(shù)與一個數(shù)的和，小于基準數(shù)的數(shù)寫成基準數(shù)與一個數(shù)的差，將加法改為乘法計算。4. 幾個數(shù)相加減時，如果不能直接“湊整”，就可以利用加整減零，

18、減整加零或變更被減數(shù)。）例題1 計算 （1）3326+303 （2）574+498方法一：先看做整十，整百，整千的數(shù)進行計算。 （1）3326+303 （2）574+498 =3326+300+3 =574+500-2 =3626+3 =1074-2 =3629 =1072方法二：根據(jù)“和”的變化規(guī)律：一個加數(shù)增加多少，另一個加數(shù)就減少多少，那么和不變，來進行簡算。 （1）3326+303 （2）574+498 =（3326+3）+（303-3 ） =（574-2）+（498+2） =3329+300 =572+500 =3629 =1072特別注意：在計算時，將接近整十，整百，整千的數(shù)看成整

19、十，整百，整千的數(shù)進行計算，然后根據(jù)和不變的規(guī)律，多加的要減掉，少加的要補上。例題2 計算 487+321+113+479 方法：487和113，321和479分別可以湊成整百數(shù)。我們可以通過交換位置的方法，487+113得600，321+479得800. 487+321+113+479 =（487+113）+（321+479） =600+800=1400特別注意：這道題要運用湊整的思路，將487和113，321和479分別湊成整百數(shù)，便于計算。注意：先算的要加括號。例題3 計算 9998+998+98+8方法：本題可采用湊整的方法，將9998，998，98分別湊成10000，1000，100

20、.而湊成這些數(shù)可從8里面借用。 9998+998+98+8 =（9998+2）+（998+2）+（98+2）+2 = _(接下來你們來試一下) =特別注意: 對于接近整百，整千的數(shù)，應先將其湊成整數(shù)，然后再將多加的數(shù)從后面去掉。例題4計算 674+367-174方法：根據(jù)帶符號“搬家”的規(guī)則，把能湊整的數(shù)先進行計算。674+367-174=674-174+367=500+367=867特別注意：為了湊數(shù)，有時需要帶符號“搬家”，這樣會使計算簡便。#待定 例題5計算 874-（379+274）+579方法：在做這道題時，可以先將874-（379+274）改寫成連減的形式，即874-379-274

21、。然后根據(jù)帶符號“搬家”的規(guī)則，先算能湊整的數(shù)。874-（379+274）+579= （改成連減的形式）= （帶符號“搬家”，先算能湊整的數(shù)）= 特別注意：通常情況下，根據(jù)減法的性質(zhì)，可以把減去兩個數(shù)的和改寫成連減的形式，再把能湊整的數(shù)先進行計算。 速算與巧算 小結(jié)知識點 重點 難點1. 加法的簡便運算.(1) A+B=B+A;(2) (A+B)+C=A+(B+C);2. 減法的簡便運算.(1)A-B-C=A-(B+C);(2)A-B+C=A-(B-C).加減法同級運算，括號外面是減號的，添上或去掉括號，括號里的符號：加號要變成減號、減號要變成加號。當所有括號都去掉后，可以將數(shù)與前面的符號一起

22、移動，第一個數(shù)前面為加號。3. 乘法的簡便運算。（1） AB=BA;（2） ABC=ABC;（3） (AB)C=ACBC;4. 除法的簡便運算.(1) ABC=A(BC);(2) ABC=A(BC);(3) AB=(AC)(BC)乘除法同級運算，括號外面是除號的，添上或去掉括號，括號里的符號：乘號要變成除號、除號要變成乘號。當所有括號都去掉后,可以將數(shù)與前面的符號一起移動，第一個數(shù)前面為乘號。例題精講例1 25+53+75+78+47=?例2 91+90+88+92+93+84+85+95+97=?例3 9999+4+97+998+95+7=?例4 1200-856-144=?例5 7869-

23、(234+869)=?例6 1943-(132-57)=?例7 459+78-259+22=?例8 936+(296-636)-596=?例9 3333330000-5769=?例10 1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11-12+13-14+15=?例11 (12578)8=?例12 (125+78)8=?例13 250641259=?例14 95025=?例15 8442(2167)=?例16 7600(3825)=?例17 29150+950=?例18 999222+333334=?例19 765963963-765765963=?例20 2239+239999=?例21 760

24、(38125)80=?例22 (2001+20002002)(20012002-1)=?例23 (1234+2341+3421+4123)5=?例題精講（答案）例1 25+53+75+78+47=?解 原式=(25+75)+(53+47)+78=100+100+78=278例2 91+90+88+92+93+84+85+95+97=?解 原式=909+(1+0-2+2+3-6-5+5+7)=810+5=815例3 9999+4+97+998+95+7=?解 原式=(9999+1)+(97+3)+(998+2)+(95+5)=10000+100+1000+100=11200例4 1200-856

25、-144=?解 原式=1200-(856+144)=1200-1000=200例5 7869-(234+869)=?解 原式=7869-234-869=7869-869-234=7000-234=6766例6 1943-(132-57)=?解 原式=1943-132+57=1943+57-132=2000-132=1868例7 459+78-259+22=?解 原式=(459-2590)+(78+22)=200+100=300例8 936+(296-636)-596=?解 原式=936+296-636-596=936-636-596+296=(936-636)-(596-296)=300-30

26、0=0例9 3333330000-5769=?解 原式=3333300000+(30000-5769)=3333300000+24231=3333324231例10 1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11-12+13-14+15=?解 原式=1+(3-2)+(5-4)+(7-6)+(9-8)+(11-10)+(13-12)+(15-14)=8例11 (12578)8=?解 原式=125788=125878=100078=78000例12 (125+78)8=?解 原式=1258+788=1000+624=1624例13 250641259=?解 原式=(2504)(1258)(92)=

27、1000100018=18000000例14 95025=?解 原式=(9504)(254)=3800100=38例15 8442(2167)=?解 原式=84422167=40267=6例16 7600(3825)=?解 原式=76003825=20025=5000例17 29150+950=?解 原式=(291+9)50=30050=6例18 999222+333334=?解 原式=3333222+333334=333666+333334=333(666+334)=3331000=333000例19 765963963-765765963=?解 原式=7659631001-76510019

28、63=0例20 2239+239999=?解 原式=2000+239+239999=2000+239(1+999)=2000+239000=241000例21 760(38125)80=?解 原式=7603812580=(76038)(12580)=2010000=200000例22 (2001+20002002)(20012002-1)=?解 原式=2001+2000(2001+1)(20012002-1)=(2001+20002001+2000)(20012002-1)=(20012001+2000)(20012002-1)=(20012001+2001-1)(20012002-1)=(20012002-1)(20012002-1)=1例23 (1234+2341+3421+4123)5=?解 原式=1111(1+2+3+4)5=1111105=2222