《精校版人教版數(shù)學(xué)高中選修第2講2 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《精校版人教版數(shù)學(xué)高中選修第2講2 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理（15頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、最新資料最新資料最新資料最新資料最新資料 二圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理 課標解讀 1.了解圓內(nèi)接四邊形的概念． 2.掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、判定定理及其推論，并能解決有關(guān)問題. 圖2－2－1 1．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理 (1)定理1：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補．如圖2－2－1：四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，則有：∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°. 圖2－2－2 (2)定理2：圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對角． 如圖2－2－2：∠CBE是圓內(nèi)接四邊形ABCD的一外角，則有：∠CBE＝∠D. 2．圓內(nèi)接四邊形的判定定理及其推論

2、 (1)判定定理：如果一個四邊形的對角互補，那么這個四邊形的四個頂點共圓． (2)推論：如果四邊形的一個外角等于它的內(nèi)角的對角，那么這個四邊形的四個頂點共圓． 1．“內(nèi)接于圓的平行四邊形、菱形、梯形分別是矩形、正方形、等腰梯形”這種說法正確嗎？ 【提示】　正確．根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補可證． 2．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理和它的判定定理及推論有何關(guān)系？ 【提示】　性質(zhì)定理1和判定定理互為逆定理，性質(zhì)定理2和判定定理的推論互為逆定理． 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì) 　 圖2－2－3 如圖2－2－3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，在AB上截取PA＝AC，以PC

3、為直徑的圓分別交AB、BC、AC于D、E、F.求證：＝. 【思路探究】　先利用PC是圓的直徑，得到PF∥BC，再利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，得到DF∥PC，最后利用平行線分線段成比例證明結(jié)論． 【自主解答】　連接DF、PF. ∵PC是直徑， ∴PF⊥AC. ∵BC⊥AC， ∴PF∥BC，∴＝. ∵四邊形PCFD內(nèi)接于⊙O， ∴∠ADF＝∠ACP， ∵AP＝AC， ∴∠APC＝∠ACP. ∴∠ADF＝∠APC.∴DF∥PC， ∴＝，∴＝. 1．在本題的證明過程中，都是利用角相等證明了兩直線平行，然后利用直線平行，得到比例式相等． 2．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即對角互

4、補，一個外角等于其內(nèi)對角，可用來作為三角形相似或兩直線平行的條件，從而證明一些比例式成立或證明某些等量關(guān)系． 　如圖2－2－4所示，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，延長AB和DC相交于點E，EG平分∠AED，且與BC、AD分別交于F、G. 圖2－2－4 求證：∠CFG＝∠DGF. 【證明】　∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O， ∴∠EBF＝∠ADE. 又EF是∠AED的平分線， 則∠BEF＝∠DEG，∴△EBF∽△EDG. ∴∠EFB＝∠DGF. 又∵∠EFB＝∠CFG， ∴∠CFG＝∠DGF. 圓內(nèi)接四邊形的判定 圖2－2－5 　如圖2－2－5所示，在

5、△ABC中，AD＝DB，DF⊥AB交AC于F，AE＝EC，EG⊥AC交AB于G，求證： (1)D、E、F、G四點共圓； (2)G、B、C、F四點共圓． 【思路探究】　(1)要證D、E、F、G四點共圓，只需找到過這四點的外接圓的圓心，證明圓心到四點的距離相等，可取GF的中點H，證點H即為圓心． (2)要證G、B、C、F四點共圓，只需證∠B＝∠AFG(或∠C＝∠AGF)，由D、E為中點，可知DE∥BC，∠B＝∠ADE，故只需證∠ADE＝∠AFG，由D、E、F、G四點共圓可得． 【自主解答】　(1)如圖，連接GF，取GF的中點H.∵DF⊥AB，EG⊥AC，∴△DGF，△EGF都是直角三

6、角形．又∵點H是GF的中點，∴點H到D、E、F、G的距離相等，∴點H是過D、E、F、G的外接圓的圓心， ∴D、E、F、G四點共圓． (2)連接DE.由(1)知D、G、F、E四點共圓． 由四點共圓的性質(zhì)定理的推論， 得∠ADE＝∠AFG. ∵AD＝DB，AE＝EC， ∴D是AB的中點，E是AC的中點， ∴DE∥BC，∴∠ADE＝∠B， ∴∠AFG＝∠B，∴G、B、C、F四點共圓． 1．解答本題(1)是利用到定點的距離等于定長的點在同一圓上來證明的，本題(2)利用了圓內(nèi)接四邊形判定定理的推論來證明的． 2．判定四點共圓的方法：(1)如果四個點與一定點距離相等，那么這四個

7、點共圓；(2)如果一個四邊形的一組對角互補，那么這個四邊形的四個頂點共圓；(3)如果一個四邊形的一個外角等于它的內(nèi)角的對角，那么這個四邊形的四個頂點共圓；(4)與線段兩端點連線夾角相等(或互補)的點連同該線段兩端點在內(nèi)共圓． 圖2－2－6 　如圖2－2－6，在△ABC中，E，D，F(xiàn)分別為AB，BC，AC的中點，且AP⊥BC于P，求證：E，D，P，F(xiàn)四點共圓． 【證明】　∵AP⊥BC，F(xiàn)為AC的中點， ∴PF是Rt△APC斜邊上的中線， ∴PF＝FC，∴∠FPC＝∠C， ∵E、F、D分別為AB、AC、BC的中點， ∴EF∥CD，ED∥FC， ∴四邊形EDCF為平行四邊形，

8、 ∴∠FED＝∠C，∴∠FPC＝∠FED， ∴E、D、P、F四點共圓. 圓內(nèi)接四邊形的綜合應(yīng)用 　如圖2－2－7，已知△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外接圓劣弧上的點(不與點A，C重合)，延長BD至E. 圖2－2－7 (1)求證：AD的延長線DF平分∠CDE； (2)若∠BAC＝30°，△ABC中BC邊上的高為2＋，求△ABC外接圓的面積． 【思路探究】　(1)利用同弧所對的圓周角相等及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理求解． (2)外接圓的圓心在BC邊的高上，設(shè)出外接圓的半徑為r，用r表示BC邊上的高． 【自主解答】　(1)證明：如圖， ∵A、B、C、D四點共圓

9、， ∴∠CDF＝∠ABC. 又AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， 且∠ADB＝∠ACB， ∴∠ADB＝∠CDF， 又由對頂角相等得∠EDF＝∠ADB， 故∠EDF＝∠CDF， 即AD的延長線DF平分∠CDE. (2)設(shè)O為外接圓圓心，連接AO并延長交BC于H，則AH⊥BC.連接OC，由題意∠OAC＝∠OCA＝15°，∠ACB＝75°. ∴∠OCH＝60°. 設(shè)圓半徑為r， 則r＋r＝2＋，得r＝2，外接圓的面積為4π. 1．解答本題(2)時關(guān)鍵是找出外接圓的圓心位置，然后用外接圓的半徑表示出BC邊上的高． 2．此類問題綜合性較強，考查知識點較為豐富，往往涉

10、及圓內(nèi)接四邊形的判定與性質(zhì)的證明和應(yīng)用，最終得到某些結(jié)論的成立． 　如圖2－2－8所示，AB、CD都是圓的弦，且AB∥CD，F(xiàn)為圓上一點，延長FD、AB使它們交于點E.求證：AE·AC＝AF·DE. 圖2－2－8 【證明】　如圖，連接BD， ∵AB∥CD，∴BD＝AC. ∵A、B、D、F四點共圓， ∴∠EBD＝∠F. 又∵∠DEB＝∠FEA， ∴△EBD∽△EFA. ∴＝.∴＝， 即AE·AC＝AF·DE. (教材第30頁習(xí)題2.2第3題)如圖2－2－9，已知四邊形ABCD內(nèi)接于圓，延長AB和DC相交于E，EG平分∠E，且與BC、AD分別相交于F、G，

11、求證：∠CFG＝∠DGF. 圖2－2－9 (2013·廣州調(diào)研)四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BC是直徑，＝40°，則∠D＝__________. 【命題意圖】　本題主要考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理及圓周角定理的應(yīng)用． 【解析】　如圖連接AC.∵＝40°.BC是⊙O的直徑， ∴∠ACB＝20°，∠BAC＝90° ∴∠B＝180°－∠BAC－∠ACB＝70° ∴∠D＝180°－∠B＝110°. 【答案】　110° 1．四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，延長AB到E，∠ADC＝32°，則∠CBE等于(　　) A．32°　　　　　　　　　B．58° C．122° D．148°

12、 【解析】　根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對角知，∠CBE＝32°. 【答案】　A 2．下列說法正確的有(　　) ①圓的內(nèi)接四邊形的任何一個外角等于它的內(nèi)角的對角； ②圓內(nèi)接四邊形的對角相等； ③圓內(nèi)接四邊形不能是梯形； ④在圓的內(nèi)部的四邊形叫圓內(nèi)接四邊形． A．0個 B．1個 C．2個 D．3個 【解析】　①是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理2，正確．由于圓內(nèi)接四邊形的對角互補，不一定相等，②不正確．圓內(nèi)接四邊形可以是梯形，③不正確；頂點在同一個圓上的四邊形叫圓內(nèi)接四邊形．④不正確． 【答案】　B 3．如圖2－2－10，兩圓相交于A，B，過A的直線交兩圓于點C，D，過B

13、的直線交兩圓于點E，F(xiàn)，連CE，DF，若∠C＝115°，則∠D＝________. 圖2－2－10 【解析】　如圖，連接AB， ∵∠C＝115°， ∴∠ABE＝65°， ∴∠D＝∠ABE＝65°. 【答案】　65° 4．四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶7，則∠D＝________. 【解析】　∵圓內(nèi)接四邊形的對角互補， ∴∠A＋∠C＝180°. 又∵∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶7， ∴∠A＝40°，∠B＝60°，∠C＝140°. 又∠B＋∠D＝180°， ∴∠D＝180°－60°＝120°. 【答案】　120° 一、選擇題 1．

14、如圖2－2－11，ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，延長BC到E，已知∠BCD∶∠ECD＝3∶2，那么∠BOD等于(　　) 圖2－2－11 A．120°　　B．136°　　C．144°　　D．150° 【解析】　設(shè)∠BCD＝3x，∠ECD＝2x， ∴5x＝180°，∴x＝36°， 即∠BCD＝108°，∠ECD＝72°. ∴∠BAD＝72°，∴∠BOD＝2∠BAD＝144°. 【答案】　C 2．如圖2－2－12，在⊙O中，弦AB的長等于半徑，∠DAE＝80°，則∠ACD的度數(shù)為(　　) 圖2－2－12 A．30° B．45° C．50° D．60° 【解析】　

15、連接OA，OB， ∵∠BCD＝∠DAE＝80°，∠AOB＝60°， ∴∠BCA＝∠AOB＝30°， ∴∠ACD＝∠BCD－∠BCA＝80°－30°＝50°. 【答案】　C 圖2－2－13 3．如圖2－2－13所示，圓內(nèi)接四邊形ABCD的一組對邊AD、BC的延長線相交于點P，對角線AC和BD相交于點Q，則圖中共有相似三角形的對數(shù)為(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 【解析】　利用圓周角和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理，可得△PCD∽△PAB，△QCD∽△QBA，△AQD∽△BQC，△PAC∽△PBD.因此共4對． 【答案】　A 圖2－2－14 4．如圖2－2－1

16、4，AB是⊙O的弦，過A、O兩點的圓交BA的延長線于C，交⊙O于D，若CD＝5 cm，則CB等于(　　) A．25 cm B．15 cm C．5 cm D. cm 【解析】　連接OA，OB，OD， ∵OA＝OB＝OD， ∴∠OAB＝∠OBA，∠ODB＝∠OBD. ∵C，D，O，A四點共圓， ∴∠OAB＝∠CDO，∠CDO＝∠OBA， ∴∠CDO＋∠ODB＝∠OBA＋∠OBD， 即∠CDB＝∠CBD，∴CD＝CB， ∵CD＝5 cm，∴CB＝5 cm. 【答案】　C 二、填空題 圖2－2－15 5．如圖2－2－15，以AB＝4為直徑的圓與△ABC的兩邊分別

17、交于E，F(xiàn)兩點，∠ACB＝60°，則EF＝________. 【解析】　如圖，連接AE. ∵AB為圓的直徑， ∴∠AEB＝∠AEC＝90°. ∵∠ACB＝60°， ∴∠CAE＝30°， ∴CE＝AC. ∵∠C＝∠C，∠CFE＝∠B， ∴△CFE∽△CBA. ∴＝， ∵AB＝4，CE＝AC，∴EF＝2. 【答案】　2 圖2－2－16 6．如圖2－2－16，四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，延長AB和DC相交于點P，若＝，＝，則的值為________． 【解析】　由于∠PBC＝∠PDA，∠P＝∠P， 則△PAD∽△PCB ，∴＝＝. 又＝，＝，∴×＝×.

18、∴×＝，∴×＝. ∴＝. 【答案】　 三、解答題 7．如圖2－2－17，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，過點A作AE∥BD交CB的延長線于點E. 圖2－2－17 求證：AB·AD＝BE·CD. 【證明】　如圖，連接AC. ∵AE∥BD，∴∠1＝∠2. ∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠3. ∵∠4是圓內(nèi)接四邊形ABCD的一個外角， ∴∠4＝∠ADC. ∴△ABE∽△CDA， ∴＝， ∴AB·AD＝BE·CD. 8．如圖2－2－18，D，E分別為△ABC的邊AB，AC上的點，且不與△ABC的頂點重合．已知AE的長為m，AC的長為n，AD，AB的長是關(guān)于x的方程x2－14

19、x＋mn＝0的兩個根． (1)證明：C，B，D，E四點共圓； (2)若∠A＝90°，且m＝4，n＝6，求C，B，D，E所在圓的半徑． 圖2－2－18 【解】　(1)證明：連接DE，根據(jù)題意在△ADE和△ACB中，AD×AB＝mn＝AE·AC， 即＝. 又∠DAE＝∠CAB，從而△ADE∽△ACB. 因此∠ADE＝∠ACB. 所以C，B，D，E四點共圓． (2)m＝4，n＝6時，方程x2－14x＋mn＝0的兩根為x1＝2，x2＝12. 故AD＝2，AB＝12. 取CE的中點G，DB的中點F，分別過G，F(xiàn)作AC，AB的垂線，兩垂線相交于H點，連接DH.因為C，B，

20、D，E四點共圓，所以C，B，D，E四點所在圓的圓心為H，半徑為DH. 由于∠A ＝90°，故GH∥AB，HF∥AC. 從而HF＝AG＝5，DF＝×(12－2)＝5. 故C，B，D，E四點所在圓的半徑為5. 9．如圖2－2－19，已知P為正方形ABCD的對角線BD上一點，通過P作正方形的邊的垂線，垂足分別為E、F、G、H.你能判斷出E、F、G、H是否在同一個圓上嗎？試說明你的猜想． 圖2－2－19 【解】　猜想：E、F、G、H四個點在以O(shè)為圓心的圓上．證明如下： 如圖，連接OE、OF、OG、OH. 在△OBE、△OBF、△OCG、△OAH中， OB＝OC＝OA. ∵P

21、EBF為正方形，∴BE＝BF＝CG＝AH， ∠OBE＝∠OBF＝∠OCG＝∠OAH＝45°. ∴△OBE≌△OBF≌△OCG≌△OAH. ∴OE＝OF＝OG＝OH. 由圓的定義可知：E、F、G、H在以O(shè)為圓心的圓上． 10. 如圖，銳角△ABC的內(nèi)心為I，過點A作直線BI的垂線，垂足為H，點E為內(nèi)切圓I與邊CA的切點． (1)求證：四點A，I，H，E共圓； (2)若∠C＝50°，求∠IEH的度數(shù)． 【解】　(1)證明：由圓I與邊AC相切于點E， 得IE⊥AE， 結(jié)合IH⊥AH，得∠AEI＝∠AHI＝90°. 所以，四點A，I，H，E共圓． (2)由(1)知四點A，I，H，E共圓，得，∠IEH＝∠HAI； 在△HIA中，∠HIA＝∠ABI＋∠BAI＝∠B＋∠A＝(∠B＋∠A) ＝(180°－∠C)＝90°－∠C. 結(jié)合IH⊥AH，得∠HAI＝90°－∠HIA＝∠C； 所以∠IEH＝∠C. 由∠C＝50°得∠IEH＝25°. 最新精品資料